С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 22
Текст из файла (страница 22)
105а, фазовая диаграмма — на рис. 105б.б)PSfrag replacementsа)replacementsq̇/ω0Aа)LCRнелLACδqUфлRRнелq0φRqUфлРис. 105: Принципиальная схема LC-генератора (a). Фазовая диаграмма колебаний заряда (б).Уравнение для заряда q имеет вид:Lq̈ +q(R + Rн ) q̇ +| {z }Cв среднем =0= UфлАмплитуда колебаний определяется нелинейностью отрицательного сопротивления. В общем случаеколебания заряда на конденсаторе описываются формулой:q(t) = (q0 + ∆q) cos(ω0 t + ∆ϕ),12 ГЕНЕРИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ107где q0 — средняя амплитуда, а ∆q и ∆ϕ — флуктуационные добавки к амплитуде и фазе.Заметим, что по отношению к амплитудным флутуациям система обладает "жесткостью": случайное,например, увеличение амплитуды приводит к уменьшению подкачки энергии в контур через цепь обратнойсвязи, и следовательно, к уменьшению амплитуды.
В результате система двигается на фазовой плоскостивблизи окружности радиуса q0 .Однако по отношению к флуктуациям фазы система ведет себя пассивно: эти флуктуации со временемнакапливаются и нет механизма, который бы следил за тем, чтобы фаза возвращалась бы к какому-либостационарному значению. В результате за каждый период фаза колебаний будет получать случайный малый толчок. Причем в следующий период она получит толчок, никак не связанный с предыдущим толчком. В результате мы приходим к задаче об абсолютно пьяном человеке (задача о случайных блужданиях).Мы применим не строгий полукачественный вывод, который, однако, дает правильный результат.Сначала оценим величину случайного изменения фазы за некоторое время t0 , которое будем полагатьбльшим периода, но меньшим времени релаксации. Очевидно, что влиянием нелинейности и потерь (мысчитаем, что контур имеет большую добротность) для рассмотрения в течение времени t 0 можно пренебречь и мы оценим фазовую добавку δqϕ (см.
рис. 105б) исходя из уравнения осциллятора в линейномприближении. Cначала решим вспомогательную задачу, считая, что на осциллятор действует некотороерезонансное напряжение амплитуды U0 в течение времени t0Lδ̈qϕ +δqϕC= U0 cos(ω0 t),δqϕ (t) =√ω0 = 1/ LC,U0 tsin(ω0 t),2ω0 Lδqϕ (t0 ) =U 0 t0.2ω0 LТеперь заменимp U0 средне-квадратичным флуктуационным напряжением, найденным по формуле Найквиста: U0 = 4κTR/t0 . Тогда флуктуационное измерение заряда δqϕ T и фазы δϕT за время t0 будутравны:p√qq4κTR t0h(δqϕ t0 )2 i22hδqϕ (t0) i 'h(ϕt0 ) i ',.(167)2ω0 Lq0Таким образом каждый отрезок времени t0 фаза изменяется на случайную величину δϕt0 .
Теперь мыпредставим тепловой шум как воздействие на наш контур случайной последовательности таких цуговнапряжения. Тогда каждый раз фаза будет получать случайное приращение ±δϕ t0 .Вспомним задачу об асолютно пьяном человеке: человек сделал N шагов, каждый длины ∆x, причемкаждый последующий щаг был не связан с предыдущим. Вопрос: на какое расстояние y ушел человек отначальной точки.
Нетрудно записать:NXy=∆xi ,i=1где ∆xi изменение координаты человека после i-того шага. Нетрудно найти, что среднее hyi = 0, т.к.h∆xi i = 0 (человек с равной вероятностью может сделать шаг как направо, так и налево). Однако дисперсия hy2 i 6= 0. Рассчитаем ее:2hy i=*NXi=1∆xi!2 +=Xi6=jh∆xi ∆xj i +| {z }=0NXi=1h(∆xi )2 i = N(∆x)2Поскольку толчки фазы в течение каждого отрезка времени t0 никак не связаны между собой (некоррелированы), то очевидно, что за время t t0 величина вариации фазы (∆ϕ)2 может быть найденаиз задачи об абсолютно пьяном человеке:t(∆ϕ)2 = h(ϕt0 )2 i × N = h(ϕt0 )2 i ,t0√√q4κTRtκTRtt0(∆ϕ)2 '×=,2q0 ω0 Lt0Lq0 ω02WQω2 q2 R2WI2 R,W = 0 = 0 0 ⇒ q20 = 2 = 2 ×22ω0 Lω0 Rω012 ГЕНЕРИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ(∆ϕT )2 = Dt,D=108κTω20.2Q2 W(168)Здесь W — средняя мощность, рассеиваемая в контуре, Q — добротность контура, а индекc T показывает,что флуктуации фазы вызваны тепловыми флуктуации.Формула (168) описывает закон диффузии фазы, D — коэффициент диффузии.
Заметим, что формула (168) аналогична формуле для случайных блужданий броуновской частицы (т.е. фаза “гуляет” какброуновская частица).Введем время когерентности τког как время, за которое фаза изменится на величину π:(∆ϕT )2= π2 = Dτког ,Lког = cτког .(169)Здесь также приведена формула для длины когерентности Lког , которая определяется как расстояние, накотором фаза волны, вышедшая из генератора, изменится на ту же величину π.Коэффициент диффузии фазы также определяет наименьшую ширину линии автогенератора, котораяназывается естественной шириной линии ∆ωест :∆ωест = D =κTω202Q2 WОчевидно.
что случайные блуждания фазы эквивалентны флуктуациям частоты. Получим формулудля естественных относительных флуктуаций частоты автогенератора:r∆ϕD∆ωT '=,ttss∆ωT∆ωTκTh̄ω0', при T → 0'(170)ω02Q2 Wtω02Q2 WtПоследняя формула для квантовых флуктуаций носит имя формулы Таунса. Обратим внимание, чтоесли в первой формуле (170) формально заменить κT → h̄ω0 /2 (как в формуле Найквиста), то получимнеправильный результат.
Это связано с тем, что при этом мы не учитываем квантовые шумы обратнойсвязи (усилителя). Корректный учет этих шумов приводит к правильной формуле (170).Несмотря на нестрогий вывод эти формулы являются точными. Они получены с учетом только одногоисточника — тепловых (и квантовых) флуктуаций. В реальном автогенераторе есть и другие источники. При создании высокостабильных автогенераторов формулы (170) являются тем фундаментальнымпределом, к которому надо стремиться.Приведем численный пример. Пусть генератор обладает следующими параметрами Q = 10 2 , W =1 mW, T = 300 K◦ , t = 1 сек, ω0 = 107 сек−1 . Тогда предельная нестабильность частоты, время и длинакогерентности будут равны∆ωT' 1.4 · 10−11 ,ω0τког ' 5 · 108 сек,Lког ' 1.5 · 1017 м.В кварцевом генераторе добротность может быть больше: Q ' 10 7 .
В этом случае получаем следующую1−16Tоценку: ∆ω(за 1 сек).ω0 ' 4 · 10На рис. 106 приведена характерная зависимость нестабильности частоты кварцевого генератора взависимости от времени наблюдения.12.9Водородный стандартСтабильность частоты генератора LC типа основана на воспроизводимости и высокой добротности используемого резонатора (контура). Можно сказать, что резонатор “хранит” частоту. Такие генераторыдемонстрируют высокую кратковременную стабильность на уровне вплоть до (170). Главным недостаткомих являются довольно значительные технические уходы за большие времена больше нескольких минут, атем более больше часов, что продемонстрировано на рис. 106.В настоящее время в качестве “хранителя” времени используют различные, генераторы, использующиестабильность переходов одиночных атомов (цезий, рубидий, водород).
Главным достоинством таких стандартов частоты является их долговременная стабильность. Именно на них построены службы времени вразличных странах. Недостатком является, как правило небольшая мощность и высокая стоимость.12 ГЕНЕРИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ109dωTωreplacements 10−9AТепловые флуктуацииДрейфы10−10Если бы не было дрейфов10−11t сек10−11101102103Рис. 106: Пример нестабильности частоты кварцевого генератора в зависимости от времени наблюденияРассмотрим в качестве примера работу водородного стандарта частоты.
В нем используется атомныйпереход между двумя состояниями атома с различными ориентациями спинов ядра и электрона, показанных на рис. 107 вверху. Частота f00 этого воспроизводима до 13-ого знака (метрологическая точность):f00 = 1 420 405 751, 786 ± 0, 004 Гц,∆f00' 3 · 10−13f00На рис.
107 внизу приведена принципиальная схема водородного мазера. Атомы водорода возбуждаютсяСВЧ полем, затем в мощном поле фокусируются только возбужденные атомы, а невозбужденные — дефокусируются и выходят из игры. Возбужденные атомы поступают в тефлоновую колбу, находящейся вСВЧ резонаторе, где и отдают энергию. Тефлон в качестве материала выбран потому, что при соударениис ним атомы практически не "сбивают"фазу своего атомного перехода.
Атомы, находясь в колбе когерентно излучают свои кванты (вынужденное, оно же индуцированное излучение) — так называемы мазерныйэффект: Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation = MASER. Подчеркнем, что ширина используемого атомного перехода значительно у́же, чем ширина полосы резонатора, и стабильностьобеспечивается стабильностью атомного прехода.Мощность W водородного мазера невысока и определяется небольшой интенсивностью потока атомов,влетающих в резонатор: W ' 1012 × 2πh̄f00 ' 10−12 Вт.Водородный мазер является сложным прибором, крайне чувствительным к изменению параметров.Так, например, изменение магнитного поля на величину ∆B ' 10−3 Гс приводит к изменению частоты∆ω−12.
А изменение температуры пучка атомов на величину ∆Tпучка ' 1 K◦ изменияет частотуω ' 3 · 10−13на ∆ω.ω ' 1.5 · 10Рекордная величина нестабильности частоты, которая была продемонстрирована в водородном мазересоставляет:∆ω' 3 · 10−16 за 3 часаωЗаметим, что примерно столько же дают СВЧ автогенераторы, стабилизированные сверхпроводящимирезонаторами. Сейчас перед исследователями стоит цель (на 4-5 лет) — улучшить нестабильность частоты−17водородного мазера до уровня ∆ω. . . 10−18 (!)ω ' 10Водородный мазер в 1976 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
