А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний на характерной для данной системы частоте ш0 носит название резонанса, а сама частота ы, называется сезонансной частотой. пгггьт ' Р -- ° ~ ° ° ° ~п рис. 3.15 описывает также и частотную зависимость падения напряжения на активном сопротивлении, поскольку Ол = Х)1. В резонансе его величина точно равна О.
Представляют интерес частотные зависимости падения напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности: Ос = )ыХХ, Ос = — Х. С учетом (3.107) 3 с величина !Оь! равна е я/2 !О!. (3.110) 1О,! = Аналогично 1/ыС !О1, (3.111) 1Ос1= Рис. 3.15. Амалитудно-частотная (а) и фаза-частотная (б) характеристики последовательного колебательного контура откуда при резонансе ы0Х вЂ” 1 Пà — р !О,! = — !О1= -~7-!О1 = -!О! л ВЧС и Величина р = ~ггХУС имеет размерность сопротивления и называется характеристическим сопротивлением колебательного контура. Зависимости !Ог(ы)1 н 1Ос(ю)! в общих чертах сходны с амплитудно-частотной характеристикой !Уя(ь»! (рис.
3.!6). Вместе с тем, исследуя (3.110) н (3.111), нетрудно установить и отличия этих зависимостей от резонансной кривой рис. 3.15. Гак, при ы — 0 амплитуда напряжения на конденсаторе стремится к величине, равной 1О1. Этот результат вполне понятен: приложенное к колебательному контуру переменное напряжение при ы — О полностью падает на конденсаторе. при этом тока в иепн не будет. Аналогично при ы — зс 'Ог! — !О!. На частотах, гораздо больших резонансной, практически все падение напряжения в нели происходит на индуктивном сопротивлении. Глава 3. Линейные сосредоточенные адис иэические цепи Частоты, при которых достигается максимум амплитуды Ос и Ос, несколько отличаются от ыо.
Величина этого откпонения для зависимости !Оь(гв)!, как показывает расчет, равна (3. 112) огъ ого 1+ — г (3.! 14) Малым отличием ого и ого от ого в большинстве случаев можно пренебречь. Падения напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности на резонансной частоте ого равны по амплитуде, но противоположны по фазе, так что они компенсируют друг друга, в то же время падение напряжения на активном сопротивлении О, = ЯХ оказывается равным ЭДС О.
Таким образом, на частоте ого отношение амплитуды напряжения на реактивном элементе (емкости или индуктивности) к амплитуде напряжения сторонней ЭДС может быть записано в одной из эквивалентных форм: !О,! Ос р!О! р 1 Гй ы, (3.115) !О! О В~О! !2 Л М С 26' При слабом затухании (ово » 6) это отношение гораздо больше единицы. Подчеркивая то обстоятельство, что напряжения на реактивных элементах при резонансе гораздо больше, чем приложенная ЭДС О, резонанс в последовательном контуре часто называют резонансом напряжений. При резонансе в последовательном контуре падение напряжения на реактивном элементе в Я раз больше, чем амплитуда сторонней ЭДС, где 1 Г в (3.1!6) л'у с' Величина (') называется добротностью.
Это весьма важная характеристика колебательного контура. Помимо соотношений (3,115) и (3.116) добротность можно определить и другим способом — как умноженное на 2х отношение запаса энергии в колебательной системе )т' к величине потерь за период колебаний на резонансной частоте: Иг Д = 2я —. Иг„ Запас энергии йг гармонических колебаний с частотой ово равен 1 —, ! Ю И = - Т,!Х!г оо - С!О!о 2 ' 2 (3. 117) г г г ого ыо ~4 ого = ~ лгс ог .
1 — - — 1 — 2-, с ос ногог Итак, максимум амплитуды напряжения на индуктивноРис 3 16 Часто ые зависимо- сти достигаетсЯ пРи частоте огс большей чем Резонанс- . стиамплитулпадениянапряже- ная частота ого. Аналогичным образом можно показать, ния иа индуктивности и емко- что максимум амплитуды Ос имеет место на частоте ого, сти колебательного контура которая лишь немного ниже чем гво: бг ъ ыс=ыо 1 — — ~.
(3.113) г~ а При малом затухании различие между этими частотами — величина второго порядка малости. Действительно, при 6/ого (< 1 3.7. Последовательный колебательный ко р (энергия периодически переходит из катушки индуктивности в конденсатор и обратно). При этом энергия потерь за период колебаний равна й', = РТ = — Я~1~''Т. 2 В соответствии с определением (3.117) имеем 2ят т Я= — — = —. яТ Т (3.118) Таким образом, добротность пропорциональна отношению времени затухания к "периоду'* собственных колебаний. Добротность определяет время переходных процессов не только при действии ступенчатых импульсов, но и для процессов любой лругой формы.
Наконец, добротность служит характеристикой частотной избирательности колебательного контура. Действительно, преобразуем формулу (3.108) для импеданса контура: Я = Л(1+ т'(2~),, цз где введена новая величина — расстройка частоты: ооо ыо (3.119) При ы = ыо расстройка обрашается в нуль. Если частота ы отличается от юо на малую величину бы: (бы ~К ьь), (3. 120) то расстройка приближенно равна удвоенному отношению бы к ыо. Действительно, из (3.! 19) с учетом (3.120) следует ы — ыо (ы + ыо)(ы — ыо) 2йи (3.121) с4оы М> Воспользовавшись (3.118), формулы (3.109) лля АЧХ и ФЧХ контура можно представить в более компактном виде: Щ 1 1У(ы)) = = = ф~ Л(1+ ~одо)ьц' 18Р= Ж (3.122) ' Частотную избирательность радиофизических систем принято характеризовать полосой пропускания.
которая определяется как интервал частот, в пределах которого модуль коэффициента передачи по мошности уменьшается по сравнению со своим максимальным значением в 2 раза. а по току или напряжению а ч'2 раз. Исходя из этого что совпадает с (ЗЛ1б). Добротность колебательного контура можно определить, наблюдая затухание в нем собственных колебаний. При малом затухании полное колебание в контуре происходит за время Т = 2я/оо - 2я/ооо. Амплитуда колебаний уменьшается в е раз за время т = 1/6.
Из (3.115) следует, что 9 = ю/2б. С учетом сказанного находим 52 Глава 3. Линейные сосредоточенные адиофизические цепи определения, найдем полосу пропускания колебательного контура. Из (3.122) следует, что границы полосы пропускания соответствуют условию (У(ь,)! = 1/2)ь, т.
е. (3.123) При (~ )) 1 (высокая добротность, малое затухание) полоса пропускания контура лежит в в интервале частот от (ы, — ы) до (ю, + ы), где из (3.123) с учетом (3.122) бьз 1 ьзо 2 — = —, или 9= —. (3.124) 2бьз Величина 2бьз/и, представляет собой относительную ширину полосы пропускания контура.
Итак, чем выше добротность и меньше затухание контура, тем уже его полоса пропускания и больше частотная избирательность. Колебательные контуры с высокой добротностью Я ~ 1 широко применяются в частотно-избирательных радиофизических цепях. 3.8. Параллельный колебательный контур Рассмотрим параллельный колебательный контур (рис. 3.17), подключенный к генератору тока ((1). При исследовании процессов, происходящих в параллельном колебательном контуре, предпочтительно учитывать потери реактивных элементов с помошью параллельных эквивалентных схем.
При этом обшая проводимость контура С складывается из эквивалентных реактивных проводимостей конденсатора и катушки (Сс и Сь), проводимости генератора тока Сч и проводимости шунтируюшего резистора Сл = Л ' (если он есть в схеме), наличие которого связано с входным сопротивлением устройства, подключаемого к контуру. Итак: а) Рис. 3.17. Параллельный колебательный контур: а) приведенная эквивалентная схема; б) эквивалентная схема с учетом различных источников потерь С = 6 + Сс + бь + Сл.
(3.125) Ыи 1 (с=С вЂ”, (с=Си, (ь= — / и(1. (1' ' Т/ Тогда уравнение Кирхгофа (3.34), записанное с учетом выбора направления токов на рис. 3.17, получим в виде Й~ 1 Г С вЂ” + би+ — / иЖ = ((1). Ф Ъ,| (3.126) Уравнение (3.126) полностью совпадает по форме с уравнением колебаний лля последовательного колебательного контура (3.92), хотя н отличается от него по смыслу входяшнх величин.
Можно составить' таблицу величин. которая позволяет перейти от уравнения зля параллельного контура к уравнению посзсловатсльцого контура при одновременной замене местамн сс столбцов: Токи. протекающие через ветви схемы, люгут быть выражены через обшую для всех элементов величину — напряжение ек 3.8. Па ллельный колебательный конту 53 1(С) и(1) и(1) 1(1) Ь С С Ь Эта аналопгя носит название принципа дуальности линейных параллельных и последовательных электрических цепей.
Используем ее для анализа процессов в параллельном контуре. При воздействии гармонического тока ((1) = 1е' ' комплексная амплитуда напряжения у (и(1) = Без"') равна (г = В1(ы)1, (3.127) где Я1(ы) = Ъ~~ '(ы) — импеданс параллельного контура, причем 1 '~ 2'~~(ы) = С+ 7' ыС вЂ” — ~ . ыЬ (3.
128) Сопоставляя (3.127) и (3.!28) с аналогичными соотношениями для последовательного контура (3.107) и (3.108), можно продолжить ряд аналогий: 1 (г О Я(ы) Ъ'~~(ы) У(ы) Я1 (ы) Очевидно, что нам нет необходимости заново заниматься поиском переходной и частотной характеристик параллельного контура, поскольку все нужные соотношения могут быть получены с помощью указанной аналогии. Здесь лишь ограничимся замечаниями о качественных отличиях резонанса в параллельном колебательном контуре от резонанса в последовательном контуре. 1. В отличие от последовательного контура, в параллельном контуре имеет место резонанс токов: на частоте ьь через катушку нндуктивностн и конденсатор проходят токи, амплитуды которых в (~ раз больше, чем амплитуда входною воздействия сигнала )1(.
Эти токи находятся в противофазе и при резонансе полностью компенсируют друг друга, в то же время ток через активные проводимости равен стороннему 1. При удалении частоты ы от резонанса баланс токов (с и (г нарушается, через реактивные элементы проходит часть тока генератора. Соответственно уменьшается величина тока, ответвляющегося в омическое сопротивление, и амплитуда напряжения на контуре. Итак, при резонансе токов напряжение на контуре резонансным образом зависит от частоты, так же как и ток в системе при резонансе напряжений. Термины "'резонанс напряжений*' и "резонанс токов'* подчеркивают тот факт, что напряжения или токи в реактивных элементах в () раз больше, яем соответствующие величины, задаваемые генератором колебаний.
2. Определение фазо-частотных характеристик показывает, что они одинаковы и для последовательного, и для параллельного контуров. Но в последовательном контуре ФЧХ характеризует сдвиг фазы тока относительно напряжения, а в параллельном описывает сдвиг фазы напряжения относительно тока. Поэтому в противоположность случаю последовательного контура в параллельном контуре на частотах ниже резонансной напряжение будет опережать по фазе ток. а на частотах выше резонансной отставать по фазе от тока генератора. Соответственно сопротивление контура при ы ( ьь будет носить индуктивный характер. а прн, > ы„— емкостный.
54 Глава 3. Линейные сосредоточенные вдиофиаические цепи 3. Пользуясь отмеченной выше аналогией уравнений для последовательного и параллельного контуров, нетрудно найти выражение добротности параллельного контура в виде (3.129) В то время как в последовательном контуре добротность тем выше, чем меньшее омнческое сопротивление включено в контур, в параллельном контуре добротность тем выше, чем меньшая проводимость шунтирует контур, т. е. чем больше омическое сопротивление, Эквивалентная схема рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
