А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 12
Текст из файла (страница 12)
напротив, при дифференцировании неравенство (3.73) для гармонического сигнала выполняется при условии (3.86) ыт,«1. (3.87) 1 Рис. 3.9. Амплитудно- н фазочастот- (3.84) ные характеристики днфференпнрующей ВС-цепочки 18 (с(ы) = — ыто. (3.85) Графики АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи изображены на рис. 3.9, а интегрирующей цепи — на рис. 3.12.
Уточним, каковы должны быть требования к величине постоянной времени т„чтобы рассматриваемые ВС-цепи действительно производили дифференцирование и интегрирование. С этой целью выясним, при каких условиях выполняются неравенства (3.73) и (3.76) в случае гармонического сигнала с частотой и.
Так, из неравенства (3.76) следует 3.6. Ди еренцирующие, инте ирующие и пе еходные цепи Если сигналы на входе ВС-цепи негармонические, то для выполнения условий диф- ференцирования или интегрирования неравенства (3.86) или (3.87) должны иметь ме- сто для всех составляющих спектра сигнала. При этом в дифференцирующей цепочке !К(ш)) в ьзт„а в интегрирующей цепи !К(ы)) - 1/шт,.
б) гг, в) Ц Рис. 3.11. Интегрирующая цепочка (а) н ее отклик на прямоугольный импульс (б) при различных отношениях Т/ВС: в) 9Т/ВС « 1; г) Т/ВС 1; л) Т/ВС» 1 Рнс. 3.10. Отклик ВС-цепочки: на прямоугольный импульс (а) прн различных отношениях Т/ВС; б) Т/ВС « 1; в) Т/ВС - 1; г) Т/ВС» ! Если на вход дифференцируюшей цепочки подавать сигнал, для которого выполняется условие, противоположное (3.87), т. е, што» 1, то для такого сигнала цепочка нс только нс будет дифференцируюшей. но и, напротив, для нее будут приближенно выполняться условия неискаженной передачи (3.70).
Действительно, из графика рис. 3.9 и формул (3.84) и (3.85) следует 1К(и)~ в 1, (з(ы) в О. Степень амплитудных и фазовых искажений тем меньше, чем более сильным является неравенство (3.75). Такиы образом, в зависимости от вида сигнала и постоянной времени ВС одна и та же цепь может играть роль дифференцирующей или передавать сигнал почти без искажений. В Яс ... нгнззр. Характер искажения сигналов с широким спектром удобно представить, зная переходные характеристики цепей. Из уравнения (3.71) следует, что переходная характеристика ВС-цепи рис. 3,.8, т. е. отклик на воздействие вида и„, = ц(!), есть г -1г е, 1>0, ~ О, 1<0. (3.88) 46 Глава 3.
Линейные сос едоточенные радио иаические цепи Графики отклика на прямоугольный импульс для этой цепи при различных величинах отношения Т/т, изображены на рис. 3.10. НетРУдно опРеделить пеРеходнУю хаРактеРи- 1к(и)! стику интегрирующей цепи из уравнения (3.75): Н(1) = 1 — е (3.90) На рис. 3.11 изображены графики отклика цепи на входной сигнал в виде прямоугольного импульса.
При условии т„< т, действительно происходит интегрирование, в других же случаях действие цепи сводится к искажению формы импульса ("растягивание" переднего и заднего фронтов). Отсутствие в выходном сигнале скачкообразных изменений напряжения, имевшихся во входном сигнале, тз свидетельствует о том, что высокочастотные составляющие спектра прн'прохождении через нн егри- РИС.
3.12. АЧХ И ФЧХ ИНТЕ РИРУЮШЕа рующую цепь значительно ослабляются. Это подтверждает и вид частотной характеристики. а) Я При расчете характеристик ВС-цепей мы полагали, что на выходных зажимах реализован режим холостого хода. Тайз кое предположение оправданно, если следующее за цепью й устройство имеет входное сопротивление гораздо большее, в чем !!. В других случаях, в том числе и при анализе много~~с звенных ВС-цепей, следует определять полную матрицу параметров четырехполюсника. В частности, лля дифференб) цирующей цепи с учетом соотношений (3.55) — (3.58) имеем е(1) 1 1 1+ уьзВС зыС 1 1 (3.91) Рис 3 13 П ело ьный Сопоставляя (3.72) и (3.55) убеждаемся, что Ап — — 1/К(ы), колеб те,зьн зйконтурка)эк- а определитель матрицы ЦАЦ равен единице.
Свойство внвалентная схема с учетом г)ег А = 1 является общим для всех пассивных четырехпоразличных источников по- люсников. терь; б) приведенная эквнва- Общим недостатком рассмотренных дифференцируюлентная схема щих и интегрирующих цепей простейшего вида является то, что условия (3.73) и (3.76). необходимые лля точного выполнения операций, выполняются только тогда, когда коэффициент передачи мал. Указанный недостаток преодолевается в более сложных схемах.
на базе операционных усилителей (см. Ц6.8). 3.7. Последовательный колебательный контур Рассмотрим простейшую цепь, содержащую сосредоточенньзе, последовательно соединенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (рис. 3.!3). Такая цепь называется последовательным колебательным контуром. Исследуем повеление такой системы под действием источника переменного напряжения. Суммарное сопротивление Н учитывает не только характеристики резистора. но и внугреннес сопротивление источника напряжения и последовательные эквивалентные сопротивления потерь конденсатора и катушки игщуктивностн. 3.7. Последовательный колебательный кон 47 Определим переходную характеристику колебательного контура. Уравнение Кирхгофа для схемы рис.
3.13 имеет вид й 1 Г. Ь вЂ” + 111+ — / (<И = е(Ф). 41 С,7' (3.92) Вместо тока введем новую переменную д = 3 (Ш вЂ” заряд на обкладках конденсатора, а также обозначим шо = 1/ЬС, б = Я/2Ь. (3.93) Тогда уравнение (3.92) преобразуется к виду А'д Ад з и($) — + 26 — + й'09 = —. В' 41 (3.94) Нам необходимо найти решение (3.94) для случая, когда е(Ф) = (Г,о(1), где (7, = 1 В, п(1) — единичная ступенька. До воздействия система находилась в состоянии равнове- сия, ток по цепи не проходил и заряд на конденсаторе отсутствовал: 9(1) = О, 1(1) = — = 0 (1 ~( 0). ~3д 41 (3.95) Поэтому из совокупности решений уравнения (3.94) выберем то, которое удовлетворяет начальным условиям (3.95). Простейшее частное решение неоднородного уравнения соответствует статическому заряду 9,, накопленному на конденсаторе под действием постоянной ЭДС е(1) = ст,.
Из (3.94) очевидно, что ~~о 90= з "~оБ (3.96) Найдем решение однородного уравнения. Оно определяет процесс, происходящий в системе в отсутствие внешних воздействий. Будем искать его в виде 9 = Ае"'. После подстановки в однородное уравнение (3.94) (без правой части) получаем Л'+ 26Л+м0 = 0- (3.97) Ль2 = — 6~ъ,/б'-~оо' (3.98) Нестационарные процессы А,е"" и А,е~", в сумме составляющие общее решение, являются апериодическими и затухают со временем, поскольку оба корня отрицательны. 2) В противоположном случае 6 < ю, корни характеристического уравнения являются комплексными и сопряженными: Л~ з — — — б ~ум, (3.99) где /2 ба (3. 100) Соответственно общее решение однородного уравнения имеет вид д(1) =Ае' "' и+Ве' ' "" (3.101) Таким образом, от дифференциального уравнения мы перешли к алгебраическому (3.97), которое называется характеристическим.
В зависимости от соотношения между величинами б и ы, возможны три случая: 1) Если 6 > ю„то корни характеристического уравнения действительны и равны соответственно 4В Глава 3. Линейные сосредоточенные адиофиаические цепи Поскольку заряд 9(1) является действительной величиной, то коэффициенты А н В связаны между собой: В = А', где А = лез". С учетом этого, решение однородного уравнения для колебательного контура (3.101) преобразуем к виду д(1) = ае 'соя(ы1+ )я).
(3. 102) Таким образом, процесс, происходящий в цепи в отсутствие сторонней ЭДС, представляет собой колебания, затухающие по экспоненциальному закону е ". Коэффициент б называется коэффициентом затухания. Как правило, в контурах выполняется условие 6 < ыь, и процессы в отсутствие сторонней ЭДС называют собственными колебаниями. Колебания (3.102) являются негармоническими, и говорить об их частоте в строгом понимании иеяъзя. Принято, однако, в «аиеетве зстоты собственных зазухакачлх колебаний рассматривать величину и Если затухание мало, 6 « щ, то частота ы стремится к частоте ым которая называется собственной частотой колебательного контура. 3) Может оказаться, что 6 = ыр.
В этом особом случае зависимость заряда от времени имеет вид 9(1) = К1е (3.103) Колебательный контур в режиме критического затухания (6 ж ы) находит применение в некоторых электроизмерительных приборал. Однако в большинстве радиофизических систем колебательные контуры используются в режиме малого затухания (6 « ы). Определив собственные колебания системы, мы можем теперь вернуться к задаче о нахождении ее отклика на внешнее воздействие т(1). Сделаем это для случая колебательного режима (6 < ы,), представляющего основной практический интерес. Общее решение уравнения (3.94) при этом примет вид 9(1) = до + ае " сох(ы8 + ~р).
(3.104) Для определения а н у уравнения воспользуемся (3.95) и (3.96). Тогда (гь — +асозр = 0 и — бсоз~р — ыз(п1Р = О. ю,Т (3.105) Отсюда находил» Рис. 3.14. Отклик колебательного контура на воздействие в визе едн- а = ьт... 1Р = — аГСГд —. (3.106) яичной ступеньки напряляения прн ы,'-Ь ' ы Разных уровнях затухания: а) 6 < ьа' Аналогично можно найти отклик на единичную стуб) 6=мгла) 6>ыо пеньку в случаях большого и критического затухания.
Соответствующие зависил1ости 9(Ф) изображены на рис. 3.14. Зная переходную характеристику, можно определить поведение колебательного конт>ра при воздействии сигналов произвольной формы. В тоже время для решения л~ногих задач удобно исхощпь не из переходной, з из частотной характериелии цепи. Для ее определения воспользуемся методом комплексных амплитуд. Пусть на последовательный колебательнгяй контур воздействует гармоническая ЭДС: ьГ(1) = бе' '. уравнение Кнрхгофа для комплексной амплитуды тока 1, являющегося общим лля всех элементов пепи (И) = 1е. Е гриничает япз 1 = У(ы)Г.
13.107) 3.7. Последовательный колебательный кон р 49 где ./ 1'у 3'(» = г- (ы), г( ) = Х(+ 7' ~ Х вЂ” — ~ . (3.108) юС) Как уже отмечалось в 93.5, роль комплексного коэффициента передачи двухполюсника играет проводимость г'(м) = Я '(ы). Определим модуль и фазу У(ь» = 1г'1ез"'. Х 13'(»!— О юХ вЂ” 1/юС гарМ=— В (3. 109) Зависимости У(ю) и р(ш) изображены на рис. 3.15, Главной отличительной чертой АЧХ является наличие при ьг = ы, максимума, соответствующего условию 1тУ(ю) = О. При этом, как видно из ФЧХ, фазовьгй сдвиг между током и напряжением равен нулю, т. е. колебательный контур представляет на частоте ю, чисто активное сопротивление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
