А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Однако возможности и способы реализации устройств с теми или иными характеристиками существенно зависят от того, из каких элементов создаются различные системы. 32 Глава 3. Линейные сос едоточенные адио изические цепи зависимости от взаимного расположения передающей и принимающей антенн наблюда- ются различные по величине напряженности электрического и магнитного полей, воз- действующие на вход приемника. Кроме того, имеет место запаздывание: сигнал, излу- ченный передатчиком в момент времени Ф, достигает приемника спустя время сМ = 1/с, где! — расстояние между точкой излучения и точкой наблюдения, и = с/ /е)з — ско- рость распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической проницаемо- стью е и магнитной проницаемостью д, с — скорость света в вакууме. В частности, для гармонических процессов запаздывание проявляется как сдвиг фазы электрического или магнитного полей.
Так, если излучаемый сигнал изменяется во времени по закону 7'(1) = сов(<А), то в точке приема колебания имеют вид / ь1,/е)з 'т сов (ы(1 — Ы)) = соа ~ — — ! = сов(ы1 — Ь~р), (3.16) с где Ьр = —;/е,ц1. Системы, характерные размеры которых велики или сравнимы с е длиной волны в среде, носят название распределенных. Поскольку длина волны обратно пропорциональна частоте сигнала: 2кс Л= —, (3.17) ыЩ в диапазонах ультравысоких частот УВЧ (метровые волны) н особенно на сверхвысоких частотах СВЧ (дециметровые, сантиметровые и миллиметровые волны) большинство радиофизических устройств необходимо рассматривать как распределенные системы„т.
е. учитывать зависимость напряженности электромагнитных полей от координат (см. гл. 1Х). Сейчас же мы обратимся к другому классу систем — сосредоточенным линейным системам. Сосредоточенными называются системы, размеры которых малы по сравнению с длиной волны на характерной рабочей частоте. Иными словами, сосредоточенные системы удовлетворяют условию квазистационарности: — <1, (3.18) где 1 — наибольший размер системы, Л вЂ” длина волны соответствующей частоты. При выполнении условия квазистационарности гармоническое возмущение электромагнитного поля в любой точке системы порохщает в других точках такой отклик, что сдвиг фазы оказывается малым, и запаздыванием можно пренебречь.
Действительно, из (3.16) и (3.17) при условии (3.18) следует ы 2к1 Ь1д" —;/Щ = — ч. 2я. (3.19) с Л Выполнение условия квазистационарности позволяет значительно упростить описание электромагнитных процессов в системе. Прежде всего для любой пары точек сосредоточенной системы можно однозначно указать электрическое напряжение или разность потенциалов. Далее, во многих случаях электрические и магнитные поля, а также электрические токи можно считать локализованными в отдельных частях или элементах состедоточенных систем, причем для таких элементов связь между электрическим напряжением и током удовлетворяет простым линейным соотношениям.
Основными элементами линейных сосредоточенных электрических систем являются резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Резистор представляет собой элемент, изготовленный из материала с конечной проводимостью, в котором при прохождении электрического тока ((1) возникает падение напряжения и(1), удовлетворяющее закону Ома: (3.20) 3.2. Линейные стациона ные элементы и законы электрических цепей ЗЗ Постоянная величина Я является характеристикой резистора и носит название сопро- тивления. В целом ряде случаев вместо Л удобно вводить обратную величину — прово- димость б (С = 71 '). Используя понятие проводимости, связь между током и напря- жением на выводах резистора можно записать в виде (3.21) При прохождении тока через резистор сторонние силы элекрического поля соверша- ют работу по перемещению носителей заряда.
Соответственно в резисторе выделяется теплота, мощность источников которой, согласно закону Джоуля — Ленца, равна Р = г' В, нли (3.22) Резистором может служить металлическая проволока, угольная, металлическая, а иногда и полупроводниковая пленка, нанесенная на подложку и присоединенная к выводам, обладающим пренебрежимо малым сопротивлением. Конденсатор — это элемент, в котором накапливается электрический заряд, пропорциональный разности потенциалов между его выводами или обкладками: д = Си, (3.23) где С вЂ” емкость конденсатора. Поскольку заряд может быть выражен через ток (д = 3 (Ф), получаем следующую зависимость между током, текущим через выводы конденсатора, и напряжением на его обкладках: (3.24) или Ии ( = С вЂ”. ~В (3.25) Соотношения (3.24) и (3.25), так же как и (3.23), являются линейными (операции интегрирования и дифференцирования удовлетворяют условию линейности).
Конденсатор в электрических схемах играет роль накопителя электрической энергии. Ее запас ФУв составляет величину Я )т'в — — -Си, или йгв = —. 2 2С (3.26) Катушка индуктивности представляет собой элемент, падение напряжения на котором связано с изменением магнитного потока законом электромагнитной индукции: ЙФ и= —, Ж' (3.27) где Ь вЂ” коэффициент самоиндукции, или индуктивность. Как следует из (3.27) и (3.28), между падением напряжения и током, проходящим через катушку, существует связь вида 1 Г 1= — ( ай.
2,/ (3.29) или Заметим, что в (3.27) — (3.29) величина и означает не ЭДС индукции, а падение напряжения, поэтому знак "минус" в правой части (3.27) отсутствует. Катушка индуктивности 2 зак 1484 где Ф вЂ” магнитный поток, охватываемый витками катушки. нальна току, текущему через катушку: ВеличинаЯ' пропорцио- (3.28) 34 Глава 3. Линейные сосредоточенные радиофизические цепи обладает свойством запасать энергию магнитного поля, которое возникает при прохо- ждении электрического тока.
Запас магнитной энергии йтл в катушке индуктивности равен <$1„, 1 Г. и„= Մ— "+В„(„+ — / („Ж. (3.31) Все звенья электрической цепи образуют тп замкнутых контуров. Обходя й-й кон- тур, суммируем падения напряжения на звеньях и и приравняем их сумме сторонних ЭДС е„, которые могут действовать в кажлом звене. В результате, согласно второму закону Кирхгофа, получим и„ь =~) е„, (1=1, ...,тп), (3.32) ь или в развернутом виде: (3.33) Каждое из уравнений (3.33) сводится к дифференциальному уравнению второго поряд- ка, и число таких уравнений для цепи с пт замкнутыми контурами равно гп. Не все из уравнений (3.33) могут быть независимыми.
Согласно первому закону Кирхгофа, токи („, проходящие через у-й узел цепи, связаны соотношениями (3.34) т фт И'„, = — И, или И"л — — —. 2 2Е (3.30) Важнейшим свойством сосредоточенных элементов является то, что для них связь между напряжением и током не включает явной зависимости от пространственных координат. Это позволяет при анализе сосредоточенных систем не рассматривать пространственное распределение напряжений и токов, а разнообразные сосредоточенные электрические системы рассматривать как цепи, т. е.
результат соединения элементов рассмотренных выше трех типов. Для сосредоточенных цепей уравнения Максвелла, которые являются уравнениями в частных производных, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые содержат производные по времени, но не содержат зависимости от пространственных координат. Общее правило нахождения уравнений, которым подчиняются токи и напряжения в сосредоточенных цепях, может быть сформулировано в виде двух законов Кирхгофа.
Первый закон утверждает, что в каждой вершине цепи (т. е. в точке, где соединено три или более элемента цепи) алгебраическая сумма токов равна нулю. Второй закон утверждает, что при обходе участка цепи по замкнутому контуру сумма падений напряжений на элементах этой цепи равна алгебраической сумме действующих в этом контуре сторонних ЭДС. Для нахождения уравнений, связывающих электрические токи и напряжения в цепи, можно поступить следующим образом. В качестве неизвестных величин выберем токи („„текущие в различных звеньях цепи (т.
е. на участках, соединяющих соседние вершины). Выразим падение напряжения в каждом звене через токи („с помощью соотношений (3.20), (3.24) и (3.29). При этом, если в одном звене располагается несколько однотипных элементов, можно ввести суммарные эквивалентные величины по правилам последовательного или параллельного соединений. В результате падение напряжения в и-м звене цепи будет выражено в виде 3.3. Метод комплексных ампли д 35 Уравнения (3.34), являющиеся следствием закона сохранения заряда, позволяют исключить из системы (3.33) а — 1 переменных (токов), где в — число узлов цепи.
Таким образом, сосредоточенная электрическая цепь, содержащая гп замкнутых контуров и в узлов, может быть описана с помощью (т — а + 1) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Порядок системы может быть еше понижен, если в некоторых замкнугых контурах имеется неполный набор типов элементов.
Законы Кирхгофа остаются справедливыми в нелинейных системах при выполнении условий квазистационарности. 3.3. Метод комплексных амплитуд (3.35) О„= г„(ы)1„. (3.37) Рассмотренные уравнения Кирхгофа для цепи, состоящей из резисторов, конденса- торов и катушек индуктивности, характеризуют эту цепь как линейную систему с посто- янными параметрами. В ней выполняется принцип суперпозиции, и реакция линейной системы на гармоническое воздействие представляет собой гармоническое колебание, частота которого равна частоте стороннего воздействия. На этом факте основан общий метод исследования поведения линейных цепей при гармоническом внешнем воздей- ствии, который носит название метода комплексных амплитуд.
Пусть в цепи действуют сторонние источники ЭДС е„= Е„соз(ы1+ р„), стацио- нарные токи имеют ту же частоту: („= 1„сов(ы1+ (л„). Запишем величины е„и („в комплексной форме: е„(1) = -(Е„е' '+Е;,е ' '), 1„(1) = -(1„ез '+1'„е ' '). 2 " ' " 2 Здесь Е„, 1„— комплексные амплитуды: Е = Е е'"" 1 =1 ез~".
а и 1 » н Подставим выражения (3.35) в равенства (3.31) и сгруппнруем члены с зависимостью е' ' и е ' '. Для членов, пропорциональных е' ', имеют место очевидные тождества: 1 а Таким образом, получаем следующее соотношение: О„= В„+ 7' ы1 „— — 1„. (3.36) Аналогично с точностью до знака при З можно получить выражение для членов, про- порциональных е ' '.
Это уравнение, будучи комплексно сопряженным (3.37), не несет по сравнению с ним нового физического содержания. Поэтому при расчете напряжений и токов в цепи достаточно рассматривать лишь зависимость в виде е' '. Выражение в квадратной скобке (3.36), которое мы обозначим: 1 Я„(ы) = Е„+1 ы1„— — 1, н называется комплексным сопротивлением (импедансом) участка цепи на частоте ы.
В частности, катушка индуктивности и конденсатор обладают мнимым сопротивлением, равным соответственно уыЬ нли 17уыС. Элементы, обладающие мнимым сопротивле- нием. называются реактивными, в отличие от ннх действительное омическое сопроти- вление называется активным'. Определив комплексное сопротивление звена электрической цепи, можно соотно- шение (3.36) записать в виде Зб Глава 3. Линейные сос едоточенные радиофизические цепи 1 Е У уыС 2'ыСВ (3.39) По условию 1Ул! = 60 В. Однако 22 Е !и 1=Š— = Ж! 1+ < згс>з 60 В еП) 220 В Отсюда Рнс.
3.2. Пример лля расчета методом комплексных ампли- туд Таким образом, 1 1 С= — = 16 1О Ф = 16 мкФ. 2я~22 6,28. 50 200 При этом 1Ус! = — «-à — = ЕГ(,039 = 212 В. Примечательно, что в этом случае ~~~ ясл отличие 1Ус! от Е весьма мало, причем ЭДС, приложенная к цепи, заведомо не равна сумме падений напряжений на отдельных элементах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
