А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Метод комплексных амплитуд можно применять при описании энергетических характеристик процесса. Рассмотрим в этой связи определение мощности, развиваемой в цепи при прохождении гармонического тока. В общем случае мгновенная мощность Р(1) = н(1)1(1). Пусть н(1) и 1(1) изменяются по гармоническому закону (3.35). Тогда Р(1) = и(1)((1) = — 1(01' + 0'Х) + (01е" ' + О 1'" е " ')~ . (3.40) 4 Как видно из (3.40), мгновенная мощность зависит от времени. Поскольку среднее значение величины еац ' равно нулю, для средней мощности получаем выражение в Р= -(01 +0*1). (3.41) 4 Такая запись представляет собой обобщение закона Ома для участка цепи на случай реактивных элементов и комплексных амплитуд.
Она позволяет легко найти отношение амплитудных значений напряжения и тока и сдвиг фаз между ними. Подставив комплексные представления напряжений, токов и сторонних ЭДС в систему дифференциальных уравнений Кирхгофа (3.32) и (3.34), сведем ее к линейным алгебраическим уравнениям вида ~> г„«(ы)1„„= > Е„, (л = 1, ..., гп). (3.38) «ь « Тем самым, введение комплексных амплитуд дает способ находить установившийся отклик системы (токи и напряжения в цепи) по входному сигналу (стороиним ЭДС) и определять комплексный коэффициент передачи.
В качестве примера расчета методом комплексных амплитуд рассмотрим следующую задачу. В сети электропитания (Е = 220 В Г = 50Гц) необходимо использовать лампу накаливания с рабочим напряжением 60 В. Для гашения избыточного напряжения последовательно с лампой в цепь включается конденсатор С (рис. 3.2). Какой должна быть емкость конденсатора, если сопротивление лампы 22 = 200 Ом? Каким будет падение напряжения на конденсаторе? Полный импеданс цепи составляет Я = Е+ —, так что Е = Я1. Запишем формулы 2«с для напряжений Ул и Ус.' 3.4. Гене ато ы нап яження н тока. Понятие о согласовании импедансов 37 В (3.41) входят не только комплексные амплитуды, но и сопряженные им величины 0 и Р.
Пусть известно, что между током и напряжением есть сдвиг Фаз, равный (р: 1/О = = 1У~е', где величина У представляет комплексную производимость У(ы) = 1/Я(ы). С учетом этого преобразуем (3.41): Р = — 101У10'е ' + О 1У10ез") . 4 б) 3 ! 1 ~рг Р = — — сов уо = — 1Ц'КеУ(ы) 2 1Я(ы)~ 2 1 (ь3.4. Генераторы напряжения и тока (3.46) Понятие о согласовании импедансоа Говорят, что в электрической цепи действует стороннее напряжение е или задается сторонний ток Т, если в ней есть элементы, которые, в отличие от резисторов, пе потребляют мощности, а, напротив, обладая внутренним источником энергии, способны вызывать прохождение электрического тока в замкнугой цепи.
Такие элементы называют активными, противопоставляя их пассивным элементам — резисторам, конденсаторам, катушкам индуктивности. Оказывается, что такое представление не всегда достаточно. Предположим (рис. 3.3), что сторонний источник создает на выводах простейшей цепи, состоящей из одного резистора Л„, напряжение еосозр$. Рассмотрим, как будет зависеть мощность, отдаваемая источником в нагрузку, от величины сопротивления. Согласно (3.46) имеем 1 ео 2 Р = — —. лн (3.47) Итак, средняя мощность зависит от сдвига фаз между напряжением и током, причем при нулевом фазовом сдвиге получаем выражение Р = ~ ~01!Т~, что отличается от случая постоянного тока множителем 1/2. Для того чтобы вести вычисление мощности синусоидального тока по той же формуле, что и для постоянного, часто пользуются не амплитудными, а эффективными значениями тока и напряжения.
В качестве эффективных значений синусоидального тока и напряжения принимают величины 1„оо — — ')1~/ /2, (/,оо — — !О!/т/2. (3.43) При этом средняя мощность определяется по а) Формуле Р = 1„,1/ (3.44) В заключение приведем еще две широко упо- ео требляемых Формы записи выражения для опре- е еоорг деления мощности. Если известен импеданс ео сох рГ,' участка цепи, то, найдя амплитуду и фазу на- 1 1 пряження, из (3.42) получим 1 2 Рис. З.З. Схема включении генератора на- Р = — ~ХЦЯ(ое)~ сов(е = — '1Ц~КеЕ(ы).
(345) пряжения в электрическую цепь: а) в пре- 2 небрежении внутренним сопротивлением Реальную часть комплексного импеданса соста- генератора; б) с учетом )Го вляет активное сопротивление. Таким образом, (3.45) является обобщением закона Джоуля-Ленца на случай комплексных амплитуд и цепей с реактивными элементами. Его можно записать и в виде ЗВ Глава 3. Линейные сос едоточенные адис иаические цепи 0 ео ео 11! = — = В В;+В„Во (3.50) В такой ситуации источник стороннего воздействия целесообразно представить как идеализированный генератор тока, Юо ~ 1о Ло ~ и свойствами котоРого ЯвлЯютсЯ способность отдавать во внешнюю цепь ток с амплитудой 1, (1, = е,/В,), не завися- $ шей от сопротивления нагрузки, и бесконечно большое внутреннее сопротиРис. 3.4.
Схема включения генератора тока в алек- (, 4 б) р трическую цепок а) в предположении бесконечно большого внутреннего сопротивлении; б) с учетом нагРУзке моШность составляет при этом конечности В; величину Р = 1оВ. 2 Итак, источник стороннего электрического сигнала в зависимости от соотношения его внутреннего сопротивления и сопротивления нагрузки можно представлить в виде генератора тока или генератора напряжения. В обшем случае при определении напряжения на нагрузке или протекавшего через нее тока следует учитывать реальное соотношение между В; и В„. Выясним, при каком значении сопротивления В„в нагрузке будет выделяться максимальная мошность.
Рассматривая (3.49), нетрудно найти, что экстремум (г(Р/г(В„=О) достигается, если (3.51) Если величину В„уменьшать до сколь угодно малых значений, то мошность, рассеиваемая в нагрузке, будет неограниченно возрастать. Однако устройство, обладающее неограниченной мощностью, физически нереализуемо. Даже при коротком замыкании (В„- О) ток, развиваемый источником, остается ограниченным, хотя и может быть очень большим. Каждый реальный источник напряжения обладает некоторым неустранимым внутренним сопротивлением В;, которое включается в схему так, как показано на рис.
3.3,6. При учете внутреннего сопротивления источника падение напряжения между точками 1 и 2 равно Ф~= (3.48) В, +В„ Вычислим мошность, рассеиваемую в нагрузке: Р= — —— ~О~~ 1 е~оВ (3.49) 2В„2 (В;+ В„)' Рассмотрим (3.48) и (3.49) при различных соотношениях между внутренним сопротивлением и сопротивлением нагрузки.
Если внутреннее сопротивление мапо по сравнению с сопротивлением нагрузки (В; « В„), то падение напряжения ~О~ практически не отличается от е„а формула для рассеиваемой мощности (3.49) переходит в (3.47). В этом случае сторонний источник можно заменить идеализированным генератором напряжения, который характеризуется двумя свойствами: независимостью генерируемого напряжения на нагрузке от ее величины и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. В другом предельном случае, когда сопротивление нагрузки много меньше внутреннего сопротивления (В„« В,), ток, проходяший по цепи, оказывается практически независимым от сопротивления нагрузки.
Действительно: 3.5. Дв полюсники, четырехполюсники, аквивалентные схемы 99 При этом максимальная рассеиваемая мощность равна — ея ал,' (3.52) еол Р= 2((о + К )г + Х~) ' (3.53) Становится очевидным„что рассеиваемая мощность максимальна при отсутствии реак- тивной компоненты (Х„= 0). 3.5. Двухполюсники, четырехполюсники, эквивалентные схемы Для того чтобы воздействовать на электрическую цепь, необходимы по крайней мере два вывода (зажима или контакта), к которым можно подключить генератор напряжения или тока.
Цепь, имеющая две точки контакта с другими устройствами, называется двухполюсником. Откликом двухполюсника на действие генератора напряжения является ток, проходящий через входные зажимы. Если входное воздействие задается источником тока, то откликом является напряжение на зажимах двухполюсника. Отклик двухполюсника может быть измерен на тех же зажимах, что и входной сигнал. В этом смысле говорят, что у двухполюсника вход и выход совмещены. Отношение спектров выходного и входного сигналов представляет собой частотную характеристику линейной системы (см. (3.13)). В частности, если входной сигнал — гармонические колебания напряжения и(1) = 0е' ', а выходной — ток 1(1) = 1ез ', то имеем Рис.
3.5. Четырехполюсник: на схеме а) стрелками обозначены положительные направления тока и возрастания напряжения; б) четмрехполюсник с общими выводами 1 К(со) = = = — = У(ы). 0 л(~) Таким образом, частотная характеристика двухполюсника совпадает с комплексной проводимостью У(ь ). В случае, когда входное воздействие задается источником тока, роль частотной характеристики играет импеданс Я(ы). Итак, каково бы ни было устройство двухполюсника, его отклик на внешнее воздействие характеризует одна величина— частотная зависимость комплексного сопротивления. Более разнообразные возможности появляются в случае, когда связь электрической цепи с внешними устройствами осуществляется 'через две пары зажимов (рис.
3.5). При этом из ~етырех выводов два могуг быть и общими, как на рис. 3.5,б. Чаше всего одна пара выводов является входом, а другая — выходом. При этом входное воздействие будет задавать напряжение и ток на входе (1Г, и 1,), а откликом системы явится— Соотношение В„= В; определяет условие согласования нагрузки с генератором.
В радиофизике при решении задач о передаче слабых сигналов от одного устройства к другому, как правило, стремятся к его выполнению. Это позволяет добиться максимального отношения мощностей сигнала и шума, и следовательно — наивысшей пропускной способности системы связи. Может возникнуть вопрос, нельзя ли превзойти предел (3.52), если в качестве нагрузки взять не омическое сопротивление, а комплексный импеданс В„= )т„+ 1Х„? Несложный расчет показывает, что тогда 40 Глава 3. Линейные сос едоточенные радиофиаические цепи выходной сигнал — напряжение и ток на выходе (ЕЕ, и Х,). Цепи с двумя парами выводов называются четырехполюсниками.
Понятие четырехполюсника является одним из основных понятий теории цепей. Рассматривая линейные системы с постоянными параметрами, мы уделяем основное внимание случаю гармонических колебаний и считаем, что ЕЕ„Х, и Ц, 1, — комплексные амплитуды. Линейная зависимость между входными и выходными величинами может быть представлена для четырехполюсника в виде Ц = Ап(12+ Ап1„Х, = Апд, + АпЕь (3.54) ЕЕ, Ап — — =. (3.55) Поставив в качестве нагрузки большое сопро- Р!! тивление, при котором 1, — О, можно определить отношение Ц/ЕГ„которое и будет искомым коэффициентом Ап. С другой стороны, при ЕЕ, = 0 имеем Рис. 3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
