А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Теорема,'дуальная теореме о свертке, позволяет утверждать, что С(ьг) есть преобразование Фурье его автокорреляционной функции: С(си) = ф(ьг)~' = у(т)е '"' дт, (1.21) Для экспериментального определения автокар- «(г) реляционной функции сигнала к(1) необходимо А Н иметь устройства трех типов: одно из них обеспечивает регулируемую задержку сигнала к(1 — т), второе (перемножитель) вырабатывает сигнал, пропорциональный произведению действующих входных сигналов х($) и к(1 — т), и третье (интегратор) осуществляет интегрирование, в результате чего и получается сигнал, пропорциональный у(т) (1.20). Знание автокорреляционной функции оказывается полезным при исследовании им- А Гн пульсных процессов, в частности для определения времени запаздывания сигнала в радиолокации, а также при измерении длительности предельно коротких импульсов.
Нетрудно установить, что автокорреляцион- И ная функция импульса длительностью т, макси- !э ы! мальна при т = 0 и обращается в нуль при Рис.1.6. Прямо)((ольг(ыйимпульсиего 1т! ) то (см. рис. 1.б). Определив автокорреляци- автокорреляииопная Функция онную функцию, можно установить длительность импульса. В частности, подобным образом определяют длительности сверхкоротких лазерных импульсов, которые составляют единицы и доли пикосекунд (1пс = 10 "с). Измерение столь малых промежутков времени другими способами драктически невозможно. Определение же автокорреляционной функции светового импульса возможно, если для реализации временной задержки использовать разностддода световых лучей, а для псремножения сигналов — ' эффект смешения частот (см.
гд.,ф Глава 1. Сигналы и спект 1.3. Спектры одиночных импульсов Рассмотрим пример, часто встречаюшийся в теории сигналов и в приложениях,— спектральное разложение прямоугольного импульса (рис. 1.7,а), опредеяяемого следующим образом: (А, — —, <1< -',, (!.22) В соответствии с (1.13) +~/2 Я (ы) = А „( е ' ' Ю = — (хе ' Т вЂ” е' Т) = — яп — = Ат,' = Ат гйпс —.
2 з /2 (1.23) Спектральная плотность сигнала (1.22) изображена на рис. 1.7,б. Она обрашается в нуль в точках 2япгт (п = 1, 2, ...) и принимает максимальное значение при ы = О. Абсолютные величины Я(ы) убывают пропорционально ~ы~ '. Расчет, проведенный с использованием (1.18), показывает, что в интервале частот от 0 до 2я/т сосредоточено 90% энергии сигнала. Указанный интервал Ьш = 2ягт можно рассматривать как а) г/2 0 яз Рис. 1.7. Прямоугольные видео- и радиоимпульсы (а, в) и их Рис.
1,8. Треугольный имспектры (б, г) пульс (а), его производная (б) и его спектр (в) меру ширины спектра прямоугольного импульса. Чем меньше длительность импульса, тем более широкий интервал частот занимает его спектр. При этом произведение длительноспг т на полосу Ьы остается постоянным: (1.24) тЬы = 2х = сонм, или тЬ| = 1. Особый интерес представляет предельное поведение спектра для очень коротких импульсов. Будем полагатй, что произведение Ат — постоянная величина, а длительность т стремится к нулю, Пф» этом спектр импульса во все большем интервале частот приближается к равномерному (Я(ы) = Я(0) = соим), величина же спектральной плотности Я(0) = Ат остается неизменной.
1.3. Спект ы одиночных импульсов В качестве другого примера рассмотрим спектр радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис. 1.7, в). Зависимость мгновенного значения сигнала от времени описывается формулой т т — — (1 ( —, 2 2 т т 1( — — и 1 > -. 2 2 А сов ьг,1, х„(Ю) = О, (1.25) .~-~с -~х хг(а() = — Вг(аг)е' 'г(аг = — 1 Вг гУ-гг е'"'г1гг, (1. 27) где и = аы, или хг(аг) =' -Я,(к). Если для сигналов определенной формы можно ввести характеристики длительности т и полосы частот ггьг, то при изменении масштаба времени произведение тЬьг для них остается постоянным: т(зы = С = сопя, Теперь рассмотрим связь между спектром сигнала и спектром его производной по времени. Пусть х,(1) =' Яг(ы).
Найдем спектр сигнала х,(1) = г1х/гй =' Яг(аг). Интегрируя по частям, получим гг г=) — г гг=*, ' '/ ~г /*, г" й=г г( г. (~ггг Итак, спектр производной получается путем умножения спектра исходного сигнала на гьгг хг(г) = уыил~(ы). Аналогично можно показать, что спектр сигнала хг($), получаемого в результате интегрирования х,(1) по времени, равен 1 х<1) АГ =' —, Вг(ы). 7'ьг (1.29) Воспользовавшись (1.13), получим 1 т тз Я (1) = -А ~з)пс(ы+ ьг,) — + з)пс(ы — ьг,)-~ .
2 2 2 (1.26) Отсюда видно, что форма спектра вблизи ьг, и — ы, подобна спектральной функции Я(ы) для прямоугольного видеоимпульса. У видеоимпульсов значительная доля энергии сосредоточена в спектральных составляющих вблизи нулевой частоты. В отличие от этого у радиоимпульсов основная доля энергии заключена вблизи частоты ьг,„а вклад низких частот (ы — 0) незначителен. По мере увеличения длительности импульса происходит сужение частотных интервалов, где его спектральная плотность отлична от нуля.
Максимальные значения Я(ы) (при ы = хьг,) при этом возрастают пропорционально т. Таким образом при т — оо функция спектральной плотности имеет тенденцию обратиться в два бесконечно узких (г."гаг т ') и одновременно бесконечно высоких "всплеска", где Я(хаги) - Ат. Непрерывный спектр "отрезка" синусоиды переходит в дискретный спектр неограниченного во времени гармонического колебания. Рассмотренные примеры дают возможность для обобщений.
Оказывается, что соотношение (1.24) является проявлением общего свойства изменения масштабов, которое можно сформулировать следующим образом. Пусть сигнал хг(1) имеет спектр Яг(ы). Тогда сигнал х,(1), получаемый из первоначального сжатием по времени в а раз (хг(Й) = хг(аг)), имеет спектр Бг(ы) = -Яг(к), что соответствует спектру первоначального сигнала, растянутого по частоте в а раз.
Действительно, из (1.12) следует Глава 1. Сигналы и спектры В качестве примера применения соотношений для спектра интеграла и производной определим спектр импульса треугольной формы (рис. 1.8): -А (1+ -), О, ЗА (-", — 1), --' <1<0, 2 э,(1) = (1.30) Заметим, что сигнал, равный производной функции х,(1), можно представить суммой двух прямоугольных импульсов противоположной полярности длительностью т/2. Центр импульса положительной полярности сдвинут влево на т/4 относительно начала отсчета времени, а центр импульса отрицательной полярности сдвинут на т/4 вправо.
Используем известное выражение (1.23) для спектра прямоугольного импульса и учтем, что в силу теоремы смещения временной сдвиг на ~т/4 приводит к умножению спектральной плотности на е+'" ~'. Для спектра производной сразу получим ( ' ) е~ ~~4 — 1 (4) а(п(ыт/4) ыт/4 Разделив последнее выражение на уы, найдем спектральную плотность треугольного импульса: 2А з(п(ит/4) г . 4 . ~4~ / з(п(шт/4) \ 8(ь) = —. (1.31) уы ыт/4 ~, ыт/4 ~зфь (1 10) ~ ( )~~1' (1.33) При ы — со значения спектральной плотности в боковых максимумах убывают как ы ', т. е. быстрее, чем у прямоугольного импульса.
Отмеченное свойство треугольного импульса является проявлением общей закономерности: если сигнал в(1) имеет (п — 1) непрерывных производных, а п-я производная имеет разрывы, то при ы — сю спектральная плотность сигнала будет убывать по закону 5(ы) ы '"+". (1.32) Зависимость вида (1. 33) имеет место для частот заведомо больших, чем основная ширина полосы Ьы, определяемая длительностью импульса (см. (1.28)). В соотношении таю = С не конкретизированы правила определения длительности импульса и ширины спектра. Рассмотрение спектра треугольного импульса показывает, что такая конкретизация необходима, поскольку доля энергии, заключенная в заданном интервале частот, зависит не только от длительности импульса, но и от его формы. Так, в интервале частот ( — 4х/т,4я/т) вблизи главного максимума Я(ю) сосредоточено 89% энергии импульса треугольной формы и 95% энергии импульса прямоугольной формы.
Кроме того, рассматривая импульсы произвольной формы, можно столкнуться со случаями, когда Я(ы) нигде не обращается в нуль, и тогда величину Ью нельзя определить по аналогии с прямоугольным импульсом. Введем понятие эффективной длительности и эффективной ширины спектра. Будем рассматривать сигналы единичной энергии: | э'(1) 41 = — (5(ю)(' ды = 1. с о Для таких сигналов эффективная длительность т ьь определяется выражением 1.3. Спект ы одиночных имп льсов 17 где 1, — середина импульса„которая находится из условия (1.34) Аналогичным образом определяется эффективная ширина спектра й,ьь..
(1. 35) (1.36) Спектр гауссовского импульса имеет вид Я(ы) = ъГ2ттАе ~' (1.37) (рис. 1.9). Нетрудно установить, что импульс с единичной энергией имеет амплитуду, равную Аь —— = 1/~/2тт'. Вычислим его эффективную длительность. Очевидно 1, = О, тогда согласно (1.34) имеем Рис. 1.9. Колоколообразный (гауссовский) импульс и его спектр +О.
ъ/2тт' 2 (!.38) Для нахождения интеграла обозначим + 1 1(а)= е * Ах, -ьо тогда — = — ~ хе" Ах, да и приходим к интегралу того же вида, что и пульса при удалении компонент его спек- (1.38). Известно, чта 1(а) = ~/~г/2а. С учетом тра выше частоты ы: 1) и = 2х/т; 'этого обстоятельства таз — — т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
