В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поскольку рассматривается слабый ток, мы можем пренебречь создаваемым им магнитным полем. Поэтому можно сказать, что его плотность определяется гради- торого имеют толщину порядка сотен нм, а пленка собственно мостика — десятки нм (рис.20.1, д), и, наконец, точечный контакт, возникающий в результате слабого касания острого конца сверхпроводящей проволоки и плоского участка поверхности другого сверхпроводника (рис. 20.1, е) — тоже примеры слабых связей. ГЛ.
1У. СЛАБАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 116 ентом фазы ~70 волновой функции сверхпроводящих электронов (согласно теории Гинзбурга — Ландау). Характерное свойство слабой связи как раз заключается и том, что этот градиент очень велик внутри слабой связи по сравнению с величиной градиента фазы в сверхпроводниках, между которыми установлена слабая связь. (Будем называть их в дальнейшем «берегами«.) Для туннельного перехода вообще нельзя говорить о градиенте фазы, а надо просто говорить о скачке фазы на переходе. Поэтому в дальнейшем всегда будем интересоваться скачком фазы у на слабой связи: р=В,-В„ где 01 — фаза волновой функции сверхпроводящих электронов первого берега, а дз — второго берега.
Теперь нам предстоит установить, как связаны между собой ток через слабую связь 1, и разность фаз берегов перехода ~р. Установим некоторые самые общие и почти очевидные соотношения. 1) Если ток через переход отсутствует, 1, = О,то и разность фаз у = О. 2) В силу того что изменение фазы В одного из берегов на 2я ничего физически не изменяет, ясно, что функция 1,(у)-- периодическая с периодом 2я., т. е. 1«(у) = 1«(~р + 2х). 3) Изменение знака тока должно изменить и знак разности фаз, поэтому 1,(~р) = — 1,( — ~р).
На рис. 21.1 показаны различные токо-фазовые соотношения, удовлетворяющие условиям 1) — 3). Наиболее простым и часто встречающимся является синусоидзльное токо-фазовое соотношение, показанное на рис. 21.1, сс (21.1) 1,(«р) = Е,е«п«р, где 1, — максимальный бездиссипативный ток (иначе — критический ток).
Такая зависимость 1,(у), как мы покажем ниже, характеризует обычный туннельный джозефсоновский переход при всех температурах, а также и другие типы слабых связей 121. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА Рис. 21.1. Различные токо-фазовые зависимости: а — синусоидальная, б — пилообразная, в — многоэначная. вблизи Т„т. е. в области применимости теории Гинзбурга — Ландау. Пилообразной токо-фазовой зависимостью, рис.
21.1, б, обладает при очень низких температурах ЯЖЯ-сэндвич с прослойкой из чистого металла (46, 47, 48). В этом случае в пределах одного периода (например, от — я до я) ток линейно растет с увеличением разности фаэ, т. е. прямо пропорционально градиенту фазы 0 параметра порядка, наведенного в М-слое за счет эффекта близости. Для плотности сверхпроводящего тока тогда имеем (21.2) 2 то 2гн где н,,ч †плотнос сверхпроводящих электронов в Ф-слое, а ~/,ч †е толщина. Зависимость (21.2) имеет место для сэндви- ГЛ.
1У. СЛАБАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 118 дФ И вЂ” = НФ, д1 (21.3) где Й вЂ операт Гамильтона рассматриваемой системы. Если эта система может находиться только в дискретных состояниях ф (а — набор индексов, характеризующих данное дискретное состояние), то волновую функцию системы можно разложить по полному базису (ууа): (21.4) Подстановка этого разложения в формулу (21.3) дает (21.5) Здесь и = Ф" йФ„а~. чей с толщиной, удовлетворяющей неравенству ~е << дч << С„ при температурах Т « Лег/йвдь .
При увеличении температуры плотность сверхтока резко падает, см. (48]. Неоднозначная токо-фазовая зависимость типа изображенной на рис. 21.1, в характерна для тонкопленочных сверхпроводящих мостиков с размерами сужения, заметно большими длины когерентности ЦТ) в сверхпроводнике [44]. Срывы с одной ветви многозначной функции на другую, показанные на рис. 21.1, в, соответствуют изменениям разности фаз на 2х (или число, кратное 2х в общем случае) и связаны с проникновением в область мостика квантов магнитного потока, т.е. вихрей Абрикосова (см.
следующую главу). Приведем теперь два доказательства соотношения (21.1). Но сперва †небольш напоминание из квантовой механики (49]. Эволюция квантовомеханической системы во времени определяется волновой функцией Ф(1), которая является решением уравнения Шредингера: 121. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА 119 При этом Няд — это энергия системы в состоянии фя, а Ня„— матричный элемент, характеризующий вероятность перехода системы из состояния ф в состояние 91я. Функция С (1) представляет собой амплитуду состояния 91,„, а ~С,„~э — вероятность найти систему в состоянии ф,„, Рис.
21.2. Энергетическая схема туннельного джозефсоновского перехода, к которому приложено напряжение Уровни 1 и 2 разделены интервалом 2ер. 1Д вЂ” = еЪ'С1 ($) + КСг(1), , НС1 пг 15 — = КС1 ($) — ер'Сэ(1). НСг ~й (21.5) Здесь С1 и Сэ — амплитуды состояний пар на уровнях 1 и 2, а )С1(~ и ~С9(~ нормированы так, что )С1(~ = (Сэ~~ = п„где и,— плотность сверхпроводящих электронов в сверхпроводящих обкладках перехода.
Для простоты предполагаем, что обе обкладки Вернемся теперь к джозефсоновскому туннельному переходу. Пусть в общем случае ток через туннельный переход столь велик (1, ) 1,), что на переходе возникла разность потенциалов Ъ'. Энергетическая схема такого перехода изображена на рис. 21.2 (см. 9 46).
Будем рассматривать (согласно Фейнману [50)) систему сверхпроводящих электронов (куперовских пар) как двухуровневую квантовомеханическую систему, т. е. положим, что пара может находиться или на уровне 1, или на уровне 2. Ее энергия будет тогда, соответственно, Нм или Н;и, причем Нм = еЪ', Нэз = — еЪ'. Переход пары с уровня 1 на уровень 2 определяется величиной матричного элемента Н19 = Н91 = К. Уравнение (21.5) в этом случае будет иметь вид ГЛ. 1Ч.
СЛАБАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 120 сделаны из одного и того же материала. Представляя амплитуды Сг и Сг в виде Сг =,/п,е ~' С1 = ~/й,е ~', и подставляя в уравнения (21.5), получим после разделения веще- ственной и мнимой частей следующие выражения: Ып, 2Кп, — вшу, й 6 п91 К еУ вЂ” = — — сов у — —, й Л Ь ' Ыдг К еЪ' — = — — сову+ —, й й Л' (21.6) (21.7) (21.8) (21.9) 18 — 1с в~п у. Другой вывод этого равенства, применимый к коротким пленочным мостикам, был сделан Асламазовым и Ларкиным (51). Пусть мостик (рис.21.3) настолько короткий, что его длина 1 « 4.
Применим к такому мостику первое уравнение теории Гинзбурга- Ландау (14.16), которое в отсутствие магнитного поля примет вид — 1"7'Ф вЂ” Ф+ Ф~Ф~' = О. (21.10) где д = дг — 6,. Ток через туннельный переход пропорционален Ип,/сМ. Действительно, при включении тока, в первый момент протекания тока, плотность сверхпроводящих электронов начнет изменяться со скоростью йп,/й и возникнет ток 1, ос Ип,/Ж. Конечно, этот уход электронов из сверхпроводящей обкладки будет тотчас же компенсирован приходом новых электронов из источника тока, поскольку переход включен в замкнутую электрическую цепь, и концентрация п, будет оставаться постоянной из-за электро- нейтральности всей системы. Однако для определения сверхтока достаточно принять, что Х, х оп,/п1.
Тогда из формулы (21 6) сразу получаем уравнение стационарного эффекта Джозефсона 121. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА 121 В нашем коротком мостике существенное изменение параметра порядка происходит на длине мостика Ь. Сделаем оценку величины ~~4 для этого случая: 1у2 ~ ~1б2 Рис. 21.3. Короткий мостик с длиной Ь « С соединяет широкие пленки 1 и 2. С другой стороны, сама величина параметра порядка ~ф- 1. Поэтому первый член в (21.10) будет главным, так как его порядок будет ~21у 2 р 1 а все остальные слагаемые порядка единицы.
Поэтому уравнение (21.10) можно упростить: (21.11) Пусть далеко от мостика в пленке 1 параметр порядка 9 равен ф ф е1в~ а далеко от мостика в пленке 2 ,~, в, Здесь ф1, ф2, 01 и 02 — постоянные, не зависящие от координат. Ясно, что на самом мостике происходит интерференция этих двух волновых функций; решение уравнения (21.11) ищем в виде ф = ф1ем'~(г) + ф2е1 '(1 — 1(г)), (21.12) причем 1"'(г) — + 1 в глубине пленки 1 и 1(г) — ) 0 в глубине пленки 2. ГЛ. 1Ч. СЛАБАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 122 Подставляя (21.12) в (21.11), получим уравнение относительно У(): туз~(т) = б. 1.
= 1 (Ф'~Ф) )а)йе 13«п Подставляя сюда формулу (21.12), получим после простых пре- образований выражение для плотности сверхтока через мостик в виде (21.13) 3 =.««оп'Р> гДе е» = О« — 02. Таким образом, и для случал мостика мы снова приходим к тому же простому соотношению между сверхтоком и разностью фаз волновых функций сверхпроводников на «берегах» перехода.
В дальнейшем мы будем предполагать, что выполняется синусоидальное токо-фазовое соотношение. 2 22. Нестационарный эффект Джозефсона. Резистивные характеристики джозефсоновских пе- реходов Если ток, задаваемый внешним источником, превысит критическое значение 1„на слабой связи появится напряжение 1'. К каким это приведет последствиям? 22.1. Джозефсоновская генерация. Поведение квантовомеханической системы определяется решением уравнения Шре- дингера «'Л вЂ” = Н«д, .
д4~ д1 (22.1) Однако нам нет необходимости решать это уравнение. Доста- точно знать, что решение существует, и перейти к вычислению сверхтока, который, согласно второму уравнению Гинзбурга— Ландау, можно записать в виде 122. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА 123 где Н вЂ” гамильтониан системы. Волновая функция стационарного состояния ф~ удовлетворяет уравнению йР, = Е~„ где Š†энерг этого стационарного состояния, ф = ф~ем(~), причем ф~ не зависит от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
