В.Н. Жарков - Внутреннее строение Земли и планет (1119250), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При силе плавучести такого масштаба значение η0 в законеизменения вязкости с глубиной η = η0 N(z) (функция N(z) дана на рис. 71) равно η0 = 1020 и η0 = 3.3 ⋅ 1019 г/(см ⋅ с) для моделей с изменением вязкости в 10и 50 раз соответственно (скорость плиты U = 8 см/год).Последний вопрос, который был исследован Рихтером, — это подбор такогопрофиля вязкости, который позволил бы получить достаточно малый горизонтальный градиент давления∂p≲ 0.07 г/(см2 ⋅ с2 ) = 7 ⋅ 10−8 бар/см,∂x(157)приводящий в движение обратное течение в мантии.
Чтобы выполнялось условие (157), к основанию океанической литосферы должна примыкать зона мантиимощностью ∼ 350 км с пониженной вязкостью, а подстилающий эту зону слойдолжен иметь вязкость, в 20 и более раз большую. Исследованные модели показали, что континентальные плиты, примыкающие к океаническим желобам,259приводятся в движение потоками, возникающими в подстилающей их мантиивследствие погружения океанической плиты, Скорости этих плит на порядокменьше скоростей океанических плит и не зависят от площадей плит, так какинтеграл по площади плиты от вязкой силы, действующей па основание континентальной плиты, близок к нулю.8.4.5. Конвекция в нижней мантии. Автономность конвекции в нижней мантии от конвекции в верхней мантии при ее возникновении, видимо, была обусловлена скачком вязкости на 1–2 порядка на глубине второго фазового переходаl ∼ 650 км (см.
§7.6). Из-за выделения коры из верхней мантии эта граница является также слабой химической границей.Начнем с выбора физических параметров. Для верхней мантии оценки параметров даются (139). Оценки параметров для нижней мантии можно составитьс помощью данных §§ 7.3, 7.5–7.7, 8.4.2:g ≈ 103 см/с2 ,α ≈ (1–2) ⋅ 10−5 K−1 ,c p ≈ 1.2 ⋅ 107 эрг/(г ⋅ K),ρ ≈ (4.4–5.5) г/см3 ,ᾱ ∼ 1.5 ⋅ 10−5 K−1 ,q ∼ 2.4 ⋅ 10−7 эрг/(см3 ⋅ с),ρ̄ ∼ 5 г/см3 ,d1 = 2.2 ⋅ 108 см,ν ∼ (1–10) ⋅ 1022 см2 /с,ν̄ ∼ 2 ⋅ 1022 см2 /с,χ ∼ (1–3) ⋅ 10−2 см2 /см,χ̄ ∼ 2 ⋅ 10−2 см2 /с(158)Средняя кинематическая вязкость нижней мантии ν̄ ∼ 2 ⋅ 1022 см2 /с принятав соответствии с данными §7.6, согласно которым η̄ ∼ ρ̄ ⋅ ν̄ ∼ 1023 пуаз.
Неопределенность ν̄ ясна из рассмотрения, проведенного в §7.6. При оценке интервалазначений для χ использовалась формула (70) для ϰ и данные для коэффициента Грюнайзена γ и дебаевской температуры Θ в нижней мантии, приведенныев §§7.5 и 7.7.В §7.7 был оценен тепловой поток из ядра в мантию Qя ≈ 4.35 ⋅ 1019 эрг/с.Поделив его на площадь поверхности ядра 4π R2я , найдем Fя–м :Fя–м = 28.5 эрг/(см2 ⋅ с).(159)Величину (159) следует рассматривать как нижнюю оценку потока из ядра вмантию.
Однако еще никому не удалось предложить значимые тепловые ресурсыдля энергетики земного ядра, исключая выделение энергии при кристаллизациивнутреннего ядра. Поэтому мы принимаем для Fя–м оценку (159).В рассматриваемой задаче нижняя мантия моделируется плоским слоем толщиной d1 (158). То, что на самом деле нижняя мантия представляет собой сферическую оболочку с внешним радиусом R2 ≈ 5670 км и внутренним радиусом260R1 = 3486 км, мы при расчетах параметров погранслоев на ее границах эффективно учтем, пользуясь локальными значениями тепловых потоков при r = R1 иr = R2 . Объем нижней мантии Vнм = (4π 3)(R32 − R31 ) = 6.3 ⋅ 1026 см2 . Выделениев ней тепла за счет радиоактивности Qнм ∼ q ⋅Vнм = 15.1 ⋅ 1019 эрг/с примернов четыре раза больше тепла, вводимого в мантию из ядра.
Если еще учесть,что тепловая инерция нижней мантии велика, ∼ (1–2) ⋅ 109 лет (см. §8.4.2), то,согласно рис. 65, эффективное тепловыделение в ней могло быть в 1.5–2 разабольше современного. Таким образом, основной ввод тепла в нижнюю мантиюосуществляется за счет внутреннего радиоактивного разогрева.Тепловой поток из ядра в мантию создает тепловой погранслой у подошвымантии (Джинлоз, Рихтер, 1979 г.). Оценим толщину этого погранслоя δ1 и нададиабатическую разность температур (ΔT1 ) у границы с ядром. Предположим,что этот слой находится на грани конвективной неустойчивости, когда для негодостигается критическое значение числа Рэлея по потоку RFc (150), RFc ∼ 103 .Разрешая (150) относительно d = δ1 , найдем(2 )1/41/4 ρ c p χ ν−1/4δ1 ≈ RFcFя–м ≈ 4.5 ⋅ 107 см = 450 км,(160)αgгде для области у подошвы мантии мы приняли α = 1 ⋅ 10−5 K−1 , χ ∼3 ⋅ 10−2 см2 /с, ν ∼ 2 ⋅ 1022 см2 /с, ρ ∼ 5.5 г/см3 .
В тепловом погранслое теплоперенос осуществляется за счет обычного механизма теплопроводности. Следовательно,() ΔT1,Fя–м ∼ ρ c p χδ1или Δ1 ∼Fя–м δ1∼ 650 K,ρ cpχ(161)Оценки (160) и (161), видимо, следует рассматривать как верхние границы δ1и ΔT1 . Уменьшив их в два раза, будем считать, что δ1 и ΔT1 лежат в интервалахδ1 ∼ 200–450 км,ΔT1 ∼ 300–650 K.(162)Перейдем теперь к рассмотрению конвекции в нижней мантии, считая, чтоона вызывается внутренним подогревом.
Если в плоском слое содержатся источники тепла мощностью q, то тепловыделение в столбе, опирающемся на() ΔT, где харакединицу площади, формирует тепловой поток F = qd1 = ρ c p χd1терная разность температур ΔT определена так, чтобы тепловой поток в слое засчет молекулярной теплопроводности был равен F:ΔT =qd12.ρ cpχ(163)261В этом случае вместо числа Рэлея Ra (138) удобно ввести новое безразмерноечисло Rq, которое получается из Ra (138) при замене в нем (T2 − T1 ) на ΔT (163):Rq =α gqd15.ρ cp χ 2ν(164)Если в слой тепло вводится как за счет внутреннего подогрева qd1 так и засчет потока f0 , подводимого к нижней границе, то полный поток тепла, вводимый в слой, будет F0 = f0 + qd1 и мы приходим к обобщенному числу Рэлея попотокуα g( f0 + qd1 )d14.(165)RF0 =ρ cp χ 2νВ рассматриваемой задаче мы будем считать, что конвекция возникает толькоиз-за наличия внутренних источников тепла.
Критическое значение Rq для случая фиксированных границ составляет 2772 (для свободных границ оно меньше;см. данные для обычной задачи Рэлея в табл. 17). Критическая ширина ячейкипри этом получается равной λc = 2.39d1 , т.е. ненамного превосходит значениеλc = 2.016d1 получаемое в задаче Рэлея с фиксированными границами. Подставляя в (164) значения (158), найдем Rq ∼ 3.9 ⋅ 106 , т.е. Rq ≫ Rqc .Следовательно, аналогично ранее рассмотренным задачам, можно ввестиприближение погранслоя. Наиболее существенная особенность конвекции, вызванной внутренними источниками тепла, состоит в том, что все слои жидкостидолжны выноситься к верхней границе, где они теряют тепло.
В этом случаемодель конвективного движения имеет следующие черты. К верхней границеячейки примыкает тонкий погранслой, который переходит в узкий нисходящийпоток, примыкающий к правой вертикальной границе ячейки. (Рассматриваетсяячейка, движение в которой происходит по часовой стрелке.) В остальной частиячейки жидкость поднимается вверх.
Таким образом, восходящий поток охватывает почти всю ячейку, и конвективное движение обладает явной асимметрией —отсутствуют нижний погранслой и горячий восходящий поток, примыкающийк левой вертикальной границе ячейки.Как и раньше, ширина погранслоя у верхней границы обозначается черезδ , ширина нисходящего потока также примерно равна δ .
Соответственно горизонтальная скорость погранслоя ux и вертикальная скорость uz в нисходящемпотоке примерно равны, ux ∼ uz . В рассматриваемой задаче число Прандтля Pr(141) можно считать равным бесконечности, и все физические характеристикиконвекции (δ , ux , uz и число Нуссельта) являются функциями только числа РэлеяRq (164):ux = b1 Rq2/5262χ̄χ̄, uz = b2 Rq2/5 , δ = b3 Rq−1/5 d1 , Nu = b4 Rq1/5 ,d1d1(166)где константы bi (i = 1, 2, 3, 4) можно определить, лишь используя результаты численных моделирований конвекции (т.е. решений точных уравнений длярассматриваемой модели на вычислительных машинах). Формулы (166) похожи на соотношения Туркотта и Оксбурга (142), полученные для задачи Рэлея.Численное моделирование задачи рассматриваемого типа для верхней мантииd = 700 км было выполнено в фундаментальной работе Маккензи, Робертс иВейса (1974 г.).Свои численные результаты они описали зависимостями⎧lg T̄ = 0.76 lg E + 3.58,⎨ lg ux = 0.54 lg E + 1.85,(167)lg ux = 0.65 lg E + 2.28, δ⎩lg = −0.15 lg E − 1.25,dгде E = qd — тепловой поток, соответствующий мощности внутренних источников тепла, — в Вт/м2 , ux и uz — в мм/год, T̄ — перепад температуры в погранслоеу верхней границы — в K.
Мы видим, что T̄ ∼ Rq0.76 , ux ∼ Rq0.54 , uz ∼ Rq0.65 иδ ∼ Rq−0.15 показатели степени несколько отличаются от теоретических зависимостей (166). Однако у нас в задаче о конвекции в нижней мантии имеютсяи другие отличия от задачи Маккензи и др., но оценка постоянных в (168)по данным (167), можно думать, будет приводить к качественно правильнымрезультатам, тем более, что в обоих случаях мы полагаем E = qd = q1 d1 ≈60 эрг/(см2 ⋅ с) — среднему тепловому потоку из недр Земли.
В этих условиях из (167) находим T̄ ≈ 447 K, ux ≈ 1.6 см/год, uz ≈ 3.1 см/год, δ = 0.086d.Число Рэлея в задаче Маккензи и др. Rq = 1.44 ⋅ 106 , χ /d = 1.5 ⋅ 10−2 /7 ⋅ 107 ≈2.1 ⋅ 10−10 см/с = 6.6 ⋅ 10−3 см/год, Nu = Ed/ρ c p ΔT = 14. С помощью этих данных получаем следующие значения постоянных bi в (166):b1 = 0.83,b2 = 1.6,b3 = 1.5,b4 = 0.82.(168)С этими значениями параметров bi и Rq = 3.9 ⋅ 106 формулы (166) даютux ∼ 1 см/год,uz ∼ 2 см/год,δ ∼ 160 км,Nu ∼ 17.(169)По числу Нуссельта Nu определим сверхадиабатическое приращение температуры ΔT1 в погранслое:ΔT1 ∼Ed1∼ 650 K.ρ̄ c p χ̄ Nu(170)263В конвективных ячейках нижней мантии имеются две характерные скорости:скорость погранслоя и нисходящего потока u ∼ ux ∼ uz и масштаб скорости Uв остальной части ячейки. Вертикальную составляющую последней скорости Uzможно определить с помощью закона сохранения массы Uz d1 ∼ uz δ — количествовещества, втекающее в погранслой, равно стоку вещества в нисходящем потокеUz ∼ uz160δ∼ 0.15 см/год.∼2d12200(171)Соответственно мы имеем три характерных времени:τк ∼d12∼ 7.7 ⋅ 109 лет,π 2 χ̄d1τц1 ∼∼ 1.1 ⋅ 108 лет,uzd1τц2 ∼∼ 1.5 ⋅ 109 лет,U2(172)Здесь τк — время установления стационарной конвекции — оно для нижнеймантии больше возраста Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
