В.Н. Жарков - Внутреннее строение Земли и планет (1119250), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это означает, что всегда существует некотороепервичное, статическое состояние системы, которое становится неустойчивым,если некоторые критерии устойчивости оказываются нарушенными, т.е. перестают выполняться. В гл. 5, посвященной основным понятиям классическойгеотермики, упоминалось, что адиабатические температуры разграничивают область действия молекулярного и конвективного механизмов теплопроводности.Поясним подробнее это положение. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент.
Будем адиабатически (без теплообмена с окружающей средой) сжимать частицу жидкости, скажем, перемещать частицу достаточно быстро вдольрадиуса в глубь Земли. Например, конвектирующие частицы жидкости всплывают или тонут почти адиабатически. Адиабатический процесс называют так244же изэнтропическим (см. §7.7) — при нем остается постоянной энтропия.
Приадиабатическом сжатии температура элемента жидкости растет вдоль адиабаты.Адиабатическое сжатие сопровождается и некоторым тепловым расширением,которое обычно невелико. Наоборот, если частица адиабатически всплывает,перемещаясь к поверхности Земли, то она адиабатически расширяется и весьпроцесс из-за понижения температуры сопровождается небольшим температурным сжатием.Теперь ясно, что в идеальной среде, т.е. среде, вязкость и теплопроводностькоторой равны нулю, слой жидкости в поле силы тяжести с адиабатическимраспределением температуры будет находиться на пределе устойчивости.
Действительно, если на адиабате два соседних элемента жидкости на глубинах l иl + Δl поменяются местами, ничего не изменится, так как, двигаясь по адиабате,частицы на каждой глубине будут принимать соответствующую адиабатическуютемпературу. Если же в данной точке градиент температуры больше адиабатического, то легко видеть, что возникает состояние неустойчивого равновесия.Действительно, если из-за возмущения частица адиабатически сместится вверхна небольшое расстояние Δl, то адиабатическое уменьшение ее температурыбудет меньше, чем изменение температуры окружающей среды ∣ΔT ∣ > ∣ΔTад ∣,она будет горячее окружающей среды, ее плотность будет на Δρ меньше, чемплотность окружающей среды, и возникает не равная нулю сила плавучестиFA = gΔρ V (V — объем частицы), которая будет выталкивать частицу к поверхности. Чем больше будут различаться адиабатические Tад (l) и реальные T (l)температуры, тем больше будут Δρ (l) = α (l)[Tад (l) − T (l)] и сила плавучестина единицу объема.
Следовательно, в идеальной жидкости (ϰ = 0, η = 0, ϰ —коэффициент теплопроводности, η — коэффициент вязкости) критерием конвективной устойчивости служит адиабатическое распределение температур —это, так сказать, интегральный критерий устойчивости, а локальный критериисводится к равенству градиента температуры адиабатическому градиенту температуры (формула (67)). Если градиент температуры меньше адиабатического —система устойчива, если больше, то неустойчива.Легко понять, что в неидеальной жидкости (ϰ ∕= 0, η ∕= 0) этот критерий недостаточен. Действительно, если частица смещается из своего равновесия оченьмедленно, то она все время будет успевать или охлаждаться, или разогреваться взависимости от знака смещения (вверх или вниз), и таким образом всегда будетпринимать температуру окружающей среды.
Тогда Δρ = 0 и FA = gΔρ V = 0. Далее, в вязкой жидкости сила плавучести FA эффективна только в том случае, еслиона способна преодолеть силы вязкого сопротивления FD (FD часто называютдиссипативной силой, так как она является причиной диссипации механическойэнергии в тепловую). Таким образом, для конвективной неустойчивости в ре245альной жидкости градиент температуры должен превосходить адиабатическийградиент на некоторую конечную величину из-за стабилизирующего действиятеплопроводности и вязкости. В противном случае любое смещение из положения равновесия приводит к возникновению восстанавливающей силы, и системабудет возвращаться в исходное состояние.
При этом возмущение будет затухатьсо временем по экспоненциальному закону. Наоборот, если критерий устойчивости нарушен, то возмущение со временем экспоненциально нарастает.Итак, пусть сила плавучести обусловлена температурной зависимостью плотности ρ (l) и превышением температур T (l) над адиабатическими температурами T0 (l):[]ρ (l) = ρ0 (l) 1 − α (T − T0 ) ,(135)где ρ0 (l) — адиабатическое распределение плотности в недрах Земли. Обозначимчерез u характерную скорость конвективных течений, d ∼ 700 км — характерныйразмер (толщина слоя верхней мантии), ν = η /ρ0 — кинематическая вязкость.Тогда энергия вязкой диссипации в единице объема в единицу времени равнаWD ≈ a1 ρ0 νu2,d2(136)где a1 — числовая константа. Величина WD пропорциональна коэффициентувязкости (ρ0 ν ) и квадрату градиента скорости∂ ui,∂ xkui = (u1 , u2 u3 ) ≡ (ux , uy , uz ),При размерном анализе производнаяxk = (x, y, z) ≡ (x1 , x2 , x3 ).u∂ uiоценивается как и мы получаем∂ xkdформулу (136).Эта энергия черпается за счет расхода механической мощности, развиваемойпри конвекции.
Последняя равна работе силы плавучести FA = ρ0 α (T2 − T1 )g напути d в единицу времени, т.е. FA следует умножить на характерную скорость u;T2 − T1 — разность сверхадиабатических температур на нижней и верхней границах слоя. Однако конвектирующая частица из-за теплопроводности прогреваетсяили охлаждается при своем движении и поэтому теряет часть своей силы плавучести. Соответственно механическая мощность, которая может быть затраченана преодоление вязких сил торможения, меньше, чем gρ0 α (T2 − T1 )u.
Скоростьнагревания за счет теплопроводности получается, если характерную длину Δ ∼ dразделить на характерное время Δt (48) распространения тепла по этой длине,ϰχd∼ , где χ =— коэффициент температуропроводности. Доля мехат.е.Δtdρ0 c pнической мощности, которая может затрачиваться конвектирующей жидкостью246на преодоление диссипативных сил, пропорциональна отношению характернойскорости u к скорости распространения тепла за счет теплопроводности χ /d.В результате выражение для скорости реализации потенциальной энергии WPимеет вид( )()ud,(137)WP ∼ a2 ρ0 α T2 − T1 guχгде a2 , как и a1 — числовая константа.
Искомый критерий конвективной неустойчивости получается из условия (Буссе, 1979 г.):()α T2 − T1 gd 3 a1WP⩾ 1, или Ra ≡⩾≡ Rac .(138)WDχνa2Ra называется числом Рэлея, a Rac — критическим числом Рэлея. Конвекцияв слое жидкости в поле силы тяжести возникает при Ra > Rac . Значение критического числа Rac зависит от типа граничных условий. Если граница слояявляется свободной, то на ней вертикальная компонента гидродинамическойскорости и касательные напряжения обращаются в нуль. Если граница фиксирована, т.е.
неподвижна, то на такой границе все компоненты вектора скоростиu(ux , uy , uz ) равны нулю. В зависимости от типа граничных условий на нижней и верхней границах слоя мы получаем разные значения критического числаРэлея Rac (табл. 17). Каждому числу Rac соответствует свой геометрическиймасштаб, или, как говорят, определенная критическая длина волны λc , характеризующая периодичность конвективной структуры в горизонтальном направлении (рис. 66). Можно отметить систематический рост Rac и убывание λc припереходе от свободно-свободных к фиксированно-фиксированным граничнымусловиям, хотя порядок величины Rac для задач всех трех типов один и тот же.Оценим значение числа Рэлея Ra для верхней мантии с помощью следующихзначений материальных параметров (см. гл.
7):g ≈ 103 см/с2 ,α ≈ 3 ⋅ 10−5 K−1 ,ρ0 ≈ 3.7 г/см3 ,c p ≈ 1.2 ⋅ 107 эрг/(г ⋅ K),χ ≈ 10−2 см2 /с,ν ≈ 1021 см2 /с,ΔT ≈ 103 K,d ≈ 7 ⋅ 107 см,(139)Ra ∼ 106 .(140)Поскольку Rac ∼ 103 (табл. 17), что много меньше значения Ra ∼ 106 , характерного для верхней мантии, в последней должна происходить развитая конвекция.
К этому заключению Холмс пришел еще в 1931 г.За размер конвективной ячейки при валиковой конвекции принимают λ /2,так как соседние валы отличаются только направлением циркуляции. В зависимости от типа граничных условий размер конвективной ячейки λ /2 меняется247λРис. 66. Картина стационарных течений при валиковой конвекцииСтрелками показаны направления движения частиц. В соседних валах частицы движутсяв противоположных направлениях. Обозначена длина волны λ , равная сумме диаметров соседнихвалов.
Из-за того, что валы вращаются в разные стороны, периодичность картины течений равнаудвоенному диаметру конвективного вала, т.е. длине волны λТаблица 17Критические значения числа Рэлея и длины волныдля слоя жидкости, подогреваемого снизуГраничные условияСвободно-свободноеФиксированно-свободноеФиксированно-фиксированноеRac657.511011707.8(λ /d)c2.8322.3422.016от d до 1.4d. Поэтому и говорят, что при конвекции в плоском слое жидкостихарактерный горизонтальный размер конвективной ячейки порядка толщиныслоя. Размеры литосферных плит на порядок больше d. Этот факт до сих порне получил удовлетворительного объяснения.
Мы на нем остановимся ниже.В конвектирующей жидкости размеры ячеек устанавливаются такими, чтобыгидродинамическое течение оптимальным образом выносило тепло из слоя. Если бы ячейки были узкими (λ /2 ≪ d), то восходящие горячие потоки проходилибы слишком близко от нисходящих холодных потоков. В результате происходилбы эффективный теплообмен между обоими потоками за счет молекулярнойтеплопроводности, и эффективность конвективного выноса тепла заметно упалабы. В обратном предельном случае, когда горизонтальные размеры ячеек многобольше вертикальных (λ /2 ≫ d), преобладают горизонтальные течения.
В результате большая часть потенциальной механической энергии, освобождаемойв горячих восходящих и холодных нисходящих потоках, расходуется на преодоление сил вязкого трения в горизонтальных течениях. Происходит диссипациямеханической энергии в тепло, и эффективность конвекции резко понижается.Компромисс между двумя физическими механизмами, снижающими эффективность конвекции в жидком слое, и приводит к тому, что конвективные ячейкипримерно изометричны, т.е. λ /2 ∼ d.248В конвективной мантии инерционные силы малы по сравнению с вязкимисилами. Безразмерный параметр, который характеризует преобладание вязкихсил над инерционными, называется числом Прандтля:Pr =ν∼ 1023 .χ(141)То, что число Pr для мантии практически равно бесконечности, заметно упрощает мантийные течения, делая их медленными, плавными, ламинарными.Валиковая конвекция возникает в вязкой жидкости при переходе через критическое число Рэлея Rac ∼ (1–2) ⋅ 103 и держится до значений Ra ∼ 2 ⋅ 104 .При больших числах Рэлея она становится неустойчивой и сменяется системойвзаимно перпендикулярных валов, которая способна более эффективно выносить избыточное тепло из слоя к поверхности.
Этот тип конвекции получилназвание бимодальной. Дальнейший рост Ra приводит к тому, что при Ra ≳ 105бимодальная конвекция также становится неустойчивой и сменяется сложнойтрехмерной картиной течений.Однако самым важным изменением в картине конвективных течений приRa ≫ Rac является развитие тепловых погранслоев — горячего у нижней границы и холодного у верхней границы слоя. Усредненное по горизонтали распределение температуры при этом становится очень простым (рис. 67). Все падениетемпературы (T2 − T1 ) происходит в нижнем и верхнем тепловых погранслоях.В тонких тепловых погранслоях перенос тепла осуществляется путем обычногомеханизма теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
