Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Напряжение а, представляет собою пороговое напряжение, при а < а, разрушение невозможно. В действительности определение трех констант по данным эксперимента приводит к неустойчивым результатам и величину а, часто полагают равной, нулю, так будем поступать и мы. Дифференцируя (20.3.6), находим плотность распределения р (а) = — ( — ) ехр| — — ( —,) ~. (20.3.7) Здесь принято а,=О. Вычислим по формуле (20.3.1) среднюю прочность Сделав замену переменной мы прпходпм к интегралу, определяющему гамма-функцшо зи"ехр ( — г) дг = Г(1 + — ), о и получаем следугощую формулу для средней прочности: а) =а,('о) ' Г(1+ — ').
(2036) Совершенно аналогичные вычисления приводят к следующему выражеггию для дисперсии прочности (по формуле (20.3,2)): 0 = а ( — ') ~~Г(1+ — ) — Г'(1+ — ) (20.3.9) и для коэффициента вариации ю=ч~ о + ) — 1. (20.3.10) Г (1 + 1/а) Существенно заметить, что коэффггциент вариации не зависит П 20зп ПРОЧНОСТЬ ПУЧКА 693 от пю Этот результат получается вследствие того, что в формуле (20.3.6) было принято о, = О. В противном случае величина ш будет зависеть как от ае так н от О„. На рис. 20.3.3 представлен график зависимости ш от и по формуле (20.3.20).
Зависимость средней прочности (о> от длины образца 1,, даваемая формулой (20.3.8), описывает масштабный аффект. В логарифмических координатах зависимость между средней прочностью и длиной Ь по формуле (20.3.8) изображается прямой $п<ю О 1пп Ьплп 1ПЕ Рис.
20.3.4 Рис. 20.3.3 линией, наклон которой увеличивается с увеличением коэффициента вариации. Отсюда следует, что может возникнуть положение, схематически изображенное на рис. 20.3.4. Материал 1 обнаруживает большую среднюю прочность, чем материал 11 при длине образца 1;. Но а,(а„позтому у материала 11 масштабный эффект выражен сильно п для более коротких образцов длины Ь' картина оказывается обратной, средняя прочность материала П выше.
в 20.4. Прочность пучка Задача о прочности пучка волокон с различной прочностью его индивидуальных составляющих была полностью исследована в работе Даниелса (1945 г.), относящейся к текстильным нитям. Схема Даниелса с незначительным изменением была перенесена на проблему прочности при растяжении однонаправленного композита, армированного непрерывным волокном.
В основу етой схемы полагаются некоторые упрощающие предположения, а именно, считается, что модуль упругости всех волокон одинаков. При выводе соответствующих формул, если число волокон весьма велико, нам нет необходимости даже вставать на вероятностную точку врения. Представим себе пучок детерминированным, пусть Р(о) — отношение числа волокон, разрывающихся ГЛ. 20. МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ 694 при напряжении, меньшем (илн равном) а, к общему числу волокон. Предполагая, что волокна распределены в пучке равномерно и диаметр их в среднем одинаков, мы находим, что при напряжении, равном о, Р(а) представляет собою долю (относительную площадь) сечения пучка, в котором волокна уже разорваны, поэтому нагрузка передается на относительную площадь 1 — Р(о).
Обозначим через о, условное напряжение, т. е. силу, отнесенную к первоначальной плоор щади сечения неразрушенного пучка. от Тогда истинное напряжение равно о т — Р (с)' Отсюда следует о, = о(1 — Р(а) ). (20.4Л) Рас. 20,4Л Поскольку волокна следуют закону Гука, а = Ее, поэтому уравнение (20.4Л) может рассматриваться как уравнение диаграммы растяжения пучка (рис. 20.4Л). Максимальное значение прочности пучка а., соответствует максимуму этой диаграммы. Дифференцируя (20.4.1) по а и приравнивая результат нулю, получим 1 — Р(о') — о'р(о') = О.
(20.4.2) Здесь р(о) = Р' (о) — плотность распределения прочности волокон. Из (20.4.2) находится величина о' и в результате подстановки в (20.4.1) прочпость пучка о, = а . Величина а всегда оказывается меньше средней прочности (о>. Для иллюстрации рассмотрим очень простой пример, когда плотность распределения р(а) постоянна в интервале ош(о, от) и вследствие условия нормировки р = 1/(аа — а-). Интегральная плотность распределения имеет впд Р (о) = (а ) о ). Подставляя в (20.4.2), получаем следующее уравнение: аэ — 2о' = О. Отсюда 2 а' = — о+ 2 и по формуле (20.4.1) о От = 4 О+ — О Если оэ = 2о, то а =о, прп а ) а /2 нужно принять о = о' и опять-таки о =а, т.
е. реализуется наименьшее значение гл. 20. меххникл композитов 696 Здесь о, — напряжение в волокне, а — напряжение в матрице. Пренебрегая эффектом поперечной деформации, связанной с неодинаковостью коэффициента Пуассона, найдем, что при совместной и одинаковой деформации волокна и матрицы напряжения относятся как модули упругости.
Полимерная матрица упруга вплоть до момента разрушения, отношение модуля упругости угольного волокна к модулю упругости эпоксидной смолы Е~.' Е„ = 40 000: 350 = 114, когда напряжение в волокне равно пределу прочности порядка а0 = 300 кгс/мм', а = 300: 114 = = 2,6 кгс/мм', тогда как предел прочности смолы порядка 7— 8 кгс/мм'".
Этот простой подсчет, имеющий целью лишь оценку порядка величины, показывает, что волокна рвутся раньше, чем матрица. Это тем более относится к материалам с металлической Рвс. 20.5.1 матрпцей, способной деформироваться пластически. Если композпт состоит из и волокон, то в идеальном случае прямолинейных волокон с одинаковым модулем и одинаковой площадью поперечного сечения усилия распределяются между этими волокнами равномерно.
Если одно волокно оборвется, то в том сечении, где произошел обрыв, нагрузка распределится на и — 1 волокон, напряжение в волокнах увеличится и далее разрушение будет происходить по схеме пучка. Распределение усилий между разорванным волокном и соседним, еще не разорванным, осуществляется в результате сдвиговой деформации матрицы, и на некотором расстоянии 1, от места обрыва наличие обрыва практически не будет сказываться на распределении усилий, велпчина усилия в оборванном волокне будет почти та же, что и в соседних необорванных волокнах. Длина 1, называется неэффективной длиной, длина 21, принимается за длину пучка, к которому применяется изложенная в з 20.4 теория. Для оценки неэффективной длины применяются различные схемы, которые мы и рассмотрим.
1, Сдвиговый анализ, Рассмотрим волокно, помещенное в трубку нз упругого материала матрицы, как показано на рис. 20.5 1. Радиус волокна пусть будет г, радиус трубки Л. Наружная поверхность трубки жестко закреплена. Предполоясим, что материал трубки работает только на сдвиг, смещение сечения, находящегося на расстоянии л от места обрыва, пусть з зол. неэФФектиВнАЯ длинА ВОлОкнА В композите 097 будет и(х).
Уравнение равновесия элемента длиной дх запишется следующим образом: яг' — + 2ягт = О. д Здесь д 1 — ~и~ (1 =-г (20.5.3) Решение уравнения (20.5.2), удовлетворяющее условию о(0)=0 и о( )=о„есть о = о. (1 — е "") . (20.5.4) Определение неэффективной длины, конечно, может быть только условным, например, а) длина, на которой напряжение достигает 907о своего предельного значении (Розен), 1, = 2,30р; Ю б) длина 1, на которой интеграл ) (оо — о) с)х = (оо, о (о — г'. Касательное напряжение т определяется из условия равновесия, они принимает максимальное значение при х = О, а именно, Т трах = оо 25 ' Как правило, это напряжение оказывается вьппе, чем предел прочности материала матрицы при сдвиге.
2, Решения теории упругости. Более строгая схема решения той же задачи состоит в том, что оборват|ое волокно рассматривается включенным в анизотропную упругую среду, упругие постоянные которой находятся в результате определения характеристик составляющих гетерогенной системы волокно — матрица. Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при построении которого волокно рассматривается как стержень и граничные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интегрально. Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем, которые были получены выше, но распределение касательных 45 ю. н, гаеотвов Но О=Еди/дх, вследствие сделанного предположения о том, что матрица работает только на сдвиг, т= ри/(Л вЂ” г), поэтому получим следующее дифференциальное уравнение: д и и —, + — = 0 или — а+ —,— = О.
(20.5.2) до 1 до дх й дха йа дх ГЛ. 20. МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ 698 напряжений оказывается существенно иным. На рис. 20.5.2 представлены примерные графики условия т(х) для решения, найденного по схеме пункта 1, и в результате применения методов теории упругости. Наибольшее значение касательного напряжения достигается на некотором расстоянии от конца и оно существенно больше, чем это следует из упрощенного одвнгового анализа.
Поэтому обрыв неизбежным образом сопровождается отслоением матрицы от волокна. Но такое д х отслоение, на какие малые расстояния оно бы ни распространялось, неизбежно создает сингулярпость для напряжений. Картина получается совершенно подобной той, которая изображена па рис. 20.5.3: х трещина распространяется вдоль плоской границы двух материалов с разными Рве. 20.5.2 упругими свойствами. Решение этой пло- ской задачи обнаруживает тот же характер особенности, что и для трещины в однородном материале, напряжение на кончике трещины обращается в бесконечность, как г 'и, решение соответствующей реальной осесимметричной задачи неизвестно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
