Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это означает, что уравнение ((г) = ш( имеет единственное решение, ((г) = ш2 решений не имеет. Тем самым область В отображается на область С и при этом отображение конформное. Рис. 32 Теорема (без доказательстпва.) Пусть ограниченная область .0 с границей дскб (контур) отображается конформно на ограниченну)о область С с границей дС (контур).
Тогда )'(г) е С(дР) и осуществляет взаимно-однозначное отображение д0 на дС с сохранением направления обхода по границам. Эта теорема в каком-то смысле обратная предыдущей. Лекция 13 Принцип симметрии Римана-Шварца Пусть область Р такова, что интервал у действительной оси входит в границу области Р, и функция Дс) Е А(Р) П С("~). Пусть также Р* — область. симметричная с Р относительно ~, Р П Р* = Я. Если у"(у) принадлежит отрезку действительной оси, то функция Дг) аналитически продолжаема в область Р' через ~. Таким образом, существует функция (см. рис. 33) Дя), 3 6Р0 у, г(в) Е А(Р0 у0Р*), Р(г) = Дг), г Е Р'.
Рис. 33 Замечание. Условие Р П Р* = Я дает однозначное аналитическое продолжение. В ином случае аналитическое продолжение может быть многозначным. Доказательство. Пусть точка го е .Р; тогда существует окРестность У,(3о), е ) О., такаЯ, что в ней фУнкцию Дя) можно разложить в ряд Тейлора: ДВ) = ~ а„(3 — гО) ~3 — гО~ < с. Введем функцию ~(3) = ',~ ая(г — го)". Так как ряд сходится в =о У,(со)., то Дя) аналитична в У,(Хо), а так как точка 3о — любаЯ Коиформные отображения из области Р, то ~(г) Е А(Р*).
Очевидно ДХ) = ~) а„(У- Х0) = Дг). При х = х Е ~ имеем ~(х) = ~(х) = Дх). Таким образом, на интервале ~ функции Д~) и ~(г) совпадают. Можем ппименить принцип непрерывности, из которого следует, что Дг) есть аналитическое продолжение Дх) в область Р через "~. 4 ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ НЕВЫРОЭКДЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА лекция Будем рассматривать расширенную комплексную плоскость С. Скажем, что две кривые Г1 и Га в бесконечно удаленной точке (со) пересекаются под углом о, если при преобразовании — образы кривых Г, и Г пересекаются в точке О под углом о. 1 ! / Дробно-линейной функцией или дробно-линейным отображением называется функция ы(л) вида ал+ Ь ы(г) =, а, Ь, с, а' Е С.
се+ д Если ад — Ьс ф О, то отображение называется невырожденным. ад — Ьс д Так как ю'(~) = ~ О, в ф — —, е ф оо, то усло- (сз+ д)2 с' вне ад — Ьс ф О необходимо, если мы рассматриваем конформное отображение. В дальнейшем будем рассматривать невырожденные дробно-линейные отображения. Свойства дробно-линейных невырожденных функций Свойство 1.
Дробно-линейное невырожденное отображение конформно отображает расширенную комплексную плоскость С на себя. 1-й случай: с = О; тогда по условию а ф О, д ф О и 149 Дробно-лннеяное невырожденное преобразование аз 6 / 61 д ш(з) = — + —, з = ~ш — — ~ —. Таким образом, для любой Й 1 е~/а го ш е С существует единственное г е С такое, что шЯ = ш., т. е. отображение С на С взаимно-однозначное, при этом г = оо переходит в ш = оо, ш(г) Е А(С) и ш(з) — конформное отображение на С.
Покажем, что оно конформно на С. Так как г = со 1 1 переходит в ш = оо, то сделаем преобразование з = —, ю, = —; ш д~ тогда ю1(с) =, но оно конформно в точке с = О, следо- а+сЬ вательно, отображение ш(з) конформно в С. аз+ Ь шд — Ь а 2-йслучай: сз40, ш(з)= из=, ш~ —, сг+а а — шс с д а а г ф — —. Если г = оо, то ш = —; если г = — —, то ш = оо. с с с Отсюда следует, что отображение ш(г) — отображение взаимно- однозначное на С, С переходит в С, ш(з) Е А(С ~ 1 — И/с)). Под кажем, что конформность сохраняется в точке г = — —, г = со.
с Н 1 Если г = — —, то ш = оо. Сделаем преобразование ш1 — — —, с ш сз+ а е( тогда ш, = †, но в точке г = — — это преобразование коназ+ Ь с 1 формно. Если з = со, то сделаем преобразование з = —; тогда а+ ('Ь ш — это преобразование в точке с = О конформно. с+ ~Я Итак, первое свойство доказано. Свойство 2. Образы трех различных точек, при условии, что образы различны, единственным образом определяют дробно- линейное невырожденное преобразование. Пусть з; ф зз, ш; ф ш,з г', у' = 1, 2, 3, где ш; = ш(г;), Лекция 14 150 из+ Ь ю — и!! ш(2) = " . Распишем с +д и! — и!г аз+ Ь аз! + Ь сг+ !1 сз! +Д о42 — 2!) сгг+ !г и! — и!г аз+ Ь агг+ Ь ад(г — 22) сг! + о ся+Н сгг+Н Поэтому и!3 и!! 23 2! сгг + с1 и!3 и!2 23 22 сг! + д Окончательно Это соотношение называется ангармоническим сооптошением (ангармоническое отношение).
гз — 2! Если гз — — оо или и!3 — — со, то полагают = 1 или 23 22 и!3 — и!! = 1. и!3 и!2 Из ангармонического отношения следует, что отображение по трем различным прообразам и трем различным образам определено однозначно. Свойство 3. При дробно-линейном невырожденном преобразовании прямые и окружности переходят либо в прямые, либо в окружности. Уравнение прямой или окружности можно записать в виде А(х~+ у ) + 2Вх+ 2Су+ Р = О, при этом, если А = О, то это уравнение прямой, если А ~ О и В + С вЂ” АР ) О, то уравнение окружности. Дробно-лннеяное невырожденное преобразование 1 Покажем, что при преобразовании и(г) = —, г = х + гу, к утверждение справедливо.
Перепишем уравнение в переменных~, 7: А(х2 + у2) + 2Вт+ 2Су+ Р =Ав г+2В +2С +Р =Аг Т+ В+ — в+  — — Т+Р=О, коэффициенты при г и Т взаимно сопряженные. В переменных ш и ш уравнение примет вид А + В + — — +  — — — + Р = О или Рш и +  — — и + В + — и + А = О. Таким образом, если Р = О, то это уравнение прямой, если Р Ф О, то это уравнение окружности. ав+ Ь В общем случае, представив преобразование и(г) = се+ д а ад — Ьс как суперпозицию преобразований и(г) = —— и учис с(сг + д) 1 тывая, что преобразование — сохраняет рассмотренное выше г свойство 3, и что умножение на константу и сдвиг на константу сохраняет это свойство, получим, что преобразование аг+ Ь 4(~) = также сохраняет указанное свойство. св+ д Свойство 4.
Симметричные точки относительно прямой или окружности при дробно-линейном невырожденном преобразовании переходят в симметричные точки. Лекция 14 Две точки г и г" симметричны относительно прямой Ь, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой Е, и точки г, г* равноудалены от Ь (понятие, хорошо известное нз школьного курса планиметрии). Рис. 34 Предположим, что прямая Ь с помощью преобразования 4о(г) = ая+ О переходит в прямую Е', точка 3 переходит в точку 4о, Ся+ д точка я* — в точку ш* (рис. 34).
Точки ш и и1* будут симметричными относительно Х', так как в силу конформности отображения 4о(г) прямые, проходящие через точки г и г*, или любая окружность, проходящая через эти точки, ортогональны прямой Е, и поэтому образы прямой и окружностей будут ортогональны К а отсюда следует, что точки 4о и 4о* симметричны относительно Е'. Рис. 35 Дробно-линейное невырожденное преобразование 153 Рис. Зб Сделаем дробно-линейное невырожденное преобразование, при котором окружность перейдет в прямую 1птш = 0 — действи- тельная прямая. Например, рассмотрим преобразование 1+ ин а=а+В. 1 — гтю При таком в = а — гя ФУнкЦии преобразовании точка ну = — 1 соответствует точке точка ю = 1 соответствует точке г = а + гЛ, точка Пусть теперь прямая Е переходит в окружность 1.' при преаг+ б образовании ти(а) = .
Тогда в силу конформности преса+ с~ образования прямая или любая окружность, проходящая через точки г и г', .имеют образы, ортогональные окружности Ь' и проходящие через точки и и и* (рис. 35). Определение. Точка н и называется симметричной точке и относительно окружности, если прямая или любая окружность, проходящая через эти точки, ортогональна этой окружности. Из определения следует, что точки, симметричные относительно прямой или окружности, переходят в симметричные точки относительно прямой или окружности. Покажем, что определение симметричных точек относительно окружности корректно., т. е. для данной точки всегда существует ей симметричная и она единственна (рис.
36). Пусть есть окружность ~г — а~ = В, точка гб и симметричная ей точка гб*. .7екцпя 14 154 и~ = О соответствует точке а = а+ В, т. е.. на самом деле, 1+ ма преобразование г = а+ Я переводит окружность 1 — лп ~г — а~ = В в действительную прямую 1гп и = О. Пусть точка ~о соответствует точке ио, 'тогда =о соответствует и:„* — точке, симметричной с юо относительно прямой 1гп ы = О.
т. е. ио — — й>о. Имеем 1+зло . 1+гйо яо = а+В . ~о — а+В. 1 — Йао ' 1 — гйо или 1 Йи~ 1+ иб~ (-"о — а)(ло — а) = В , . В , = В . 1+ жо 1 — 1йо Таким образом, д2 ~о =а+ со — а Итак, симметричные точки определяются единственным образом по исходной точке, радиусу и центру данной окружности. Из представления симметричной точки следует, что если точка ко лежит внутри круга, то точка ~* лежит вне круга. д2 се Пусть го — а = е'"'~го — а~; тогда ао — а =, т. е. сим1~о — а!' метричая точка го расположена на том же луче, исходящем из центра, что и точка ~о. Точки, лежащие на окружности, симметричны себе, а бесконечно удаленная точка симметрична центру окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
