Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для любого х ) а существует интеграл р — >Оз Ке р>а [Р(р)] Нр. Тогда существует функция 7" (~), для которой е+ссО ,с(с) Ф Г(р), 1(с) = —, ] ерсг'(р)с1р, х > а. 2сгс', с Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге А.Ф. Леонтьева [2]. (з~,ссД пу~ г ф, «, р[р) ~А~е.(~ц, г > с, рановское разложение в У,(оо) имеет вид Интеграл Лапласа и его основные свойства Тогда функция у(1) = Х(1Щ1), где ~(1) — функция Хевисайда, ад а Дс) = ~, с" ', является оригиналом функции Р(р) =; „, (й — 1)! Х(1Щ~). Доказать также, что Д1) — целая функция.
'цз д~ ц44.] ~пу нц — ц фуад, уд *юр щц неравенству Щ8)~ < Ме"~'~. Показать, что тогда изображение Р(р) Ф Х(1)Д1) — аналитическая функция в Уц(оо), е > О, и ее лорановское разложение имеет вид ~здщ~дц. пц др г(р) — р ц о~цдюыфу ц г(р) =— Фр) Ф(р) ' где Я(р) и Я1(р) многочлены, не имеющие общих корней, степень числителя меньше степени знаменателя.
Все корни знаменателя гт„а2,..., а„— простые. Доказать, что ее*' — оригинал Задача 46. Пусть выполнены условия предыдущей задачи и многочлены Я(р) и ф(р) — многочлены с действительными коэффициентами. Доказать, что оригинал )ц(с) имеет вид афт Д1) щц ,'1 е "+2й.е ,'~ ' е ' „К(а1) ~, Я(ст1) где а1, ст2,..., о — все действительные корни, а +1, ст +й,..., сто+ — все комплексные корни с положительными мнимыми ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ з'РАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ лекция Рссмотрим задачу Коши: найти функцию у(8), удовлетворяющую уравнению аоу'"'(1) + а,у~"-О(~) +... + а.уя = у(8) и начальным данным д(о) = у,, д'(о) = у„..., д<"-о(о) = д„,.
уИ) =: У(р), У(~) =: Р'(р). Перейдем к уравнению относительно У(р). Это уравнение ча- сто называют операционным уравнением: ао р" У(р) — — "' — ... — — ""„' +а~ р" ' У(р) — — —... — " ~ +... + а„У(р) = Г(р). рП-1 у Будем считать, что правая часть уравнения, функция Д1), а также искомая функция у(1) и ее производные до и-го порядка включительно принадлежат тому классу, на котором определено преобразование Лапласа. Пусть оригиналам д(1) и Д~) соответствуют изображения У(р) и Г(р): Применения преобразоиаиия Лапласа Тогда У(р) [аор + а,р" '+...
+а„~ = Г(р) + уо(аор" 1+ а|р" г +... + а„1) +У,(аоР" +а1Р" +...+ае-г)+ +аоУ -~ = е'(Р)+Я -1(Р)> где Я„1(р) — многочлен степени не выше п — 1: Ю -1(Р) = уо(аор" '+а1р" '+... +а„1) + у1(аор" г + а1р" ~ + ... + а„-г) + ... + аоу -1. Многочлен Ь(р) = аор" + а1р" '+... + а„называется характе- ристическим многочленом. Таким образом, можно написать г (р) + Ю -1(р) г (Р) + Ю -1(р) аор" + а1р" ' + ... + а„ ИР) Если начальные данные равны нулю, то Я„1(р) = О и '1'(р) =— ~(р) Цр) По теореме Меллина, зная изображение, восстановим оригинал у(г); имеем: у(~) = — / ер'у(р)ИР, х > Кер > ао, 2иг ао — показатель степени роста функции.
Если 1'(р) в полуплоскости Вер < ао имеет конечное число особых изолированных точек р1, рг,..., Ре и 1пп У(р) = О, то Лекция И Докажем это утверждение. Рассмотрим контур Гн, образованный частью Сн окружности ф = й, где  — + +со, и отрезком [* — 1/к'-т',*-;-к~~~ — ~, р~ о * ю р~ ~ ной прямой, проходящей через точку (х, 0), х ) ае (рис. 53). Рис.
53 Итак, 1 у(~) = 1пп —, еи'У(р) др и + 2яг' 1 Г 1 —, / ЕРУ(р)Е[р — —, ( Ее~У(р)др 2яг,/г„ 2яг',/ ск По лемме Жордана 1пп )' еР'У(р) др = О, 1 ) О. Поэтому по "-+' с, теореме о вычетах у(1) = ~ геэ [е"'У(р)], 1 > О. в=1 Утверждение доказано. Рассмотрим ряд примеров. Лекция 18 196 а оригинал Так как г (р) имеет на комплексной плоскости только конечное число полюсов, то ег' еР~ Покажем, что гев комплексно сопряжен с гев ; (рг+ цз ;( г+цз Вообще, справедливо следующее утверждение.
'Утверждение. Пусть Р(р), Я(р) — многочлены с действительними коэффициентами тогда где многочленм Р(р), Я(р) не имеют общих корней, а точки а ~ Й вЂ” нули многочлена Я(р). „Р(р) доказательство. Разложим функцию ег' в ряд Лорана Фр) в окрестности точки а+ Й: е~'. — = ,'З а„[р — (а+ зо))", а 1 — — гев ~е~' , Р(р) ' .. ~ Р(р)1 (~(р) р=и+а Я(р) но так как Применения преобразования Лапласа 197 то ер' ~ = ер' — = ~ а„(р — (а — Й))".
< Р(р) '1 —, Р (р) а(р) 1 а(-) , Р(р) Это есть разложение функции ер'. — в ряд Лорана в окрестФр) Г „, Р()1 ности точки а — зб, т.е. гез ~е"'. — = а ь р=а-а ~ Я(р) ~ Применим это утверждение к нашей задаче. Вычислим ерз гез ; (рз+ цз' е"' 1 ~зз е"' гез р, (рз.» Цз 2( г1рз (р+ з)з ерз еи Нетрудно видеть, что гез ( 4Гз 12Гз + 12).
р=*' (рз+ 1)з 2з. г Используя свойства преобразования Лапласа, получаем сов 1 япг 3 япг р(~) = — ( — 121) + — (-4Р'+12) = --~ Г+ — (-Гз+ 3). 2з 2з 8 8 (з д~а~47. н~~ р ур~нюю < хп(г) + а х(1) = Ьз1п(аг), х(0) = хо, х'(0) = х,. Пример 3.
Решить уравнение < Фхп(Г) + (1 — п)х'(Г) + х(Г) = О, х(0) = х'(0) = О, и Е Ж. Лекция 18 198 Пусть х(1) Ф Х(р). Перейдем к операционному уравнению: хе(1) =: р Х(р), 1хо Ф вЂ” 2рХ(р) — р Х'(р), — 2рХ(р) — р2Х'(р) + (1 — п)рХ(р) + Х(р) = О, или р Х'(р) + [р(п+ 1) — 1]Х(р) = О. Решая это дифференциальное уравнение, получим т С е Поэтому х(1) = С .
Л.Г„(2~4), где,У„(з) — функция Бесселя и-го порядка или цилиндрическая функция 1 рода и-го порядка. Если рассмотреть так называемую производящую функцию г~ 1~ ет~ ~ для функций Бесселя и-го порядка, то функции Бесселя можно трактовать как коэффициенты в разложении функции ет~ ~ в ряд Лорана: к 1 е2~" ~ = ~ з„(з)пу", О < ]ю] < оо. Функции Бесселя можно представить и как решения диффе- ренциального уравнения: Ф х' + 1х'+ (1 — Л )х(1) = О, А Е Ж. Есть еще одно представление функций Бесселя, но уже через интеграл: 1 Г е~Ы -й~ 1 Г ,7„(г) = — / Йи = — / сов(зз1пх — пх) Их.
— - ./ --. =-,/ ьи~=1 Применения преобразования Лапласа 199 Последний интеграл носит название интеграл Бесселл. Пример 4. Решить систему уравнений хо (1) — ахо (1) х~,(1) + ахи(1) = ахи 1(с), lс = 1, 2,..., и, хо(0) = 1, х,(0) = ... = х„(0) = О. Пусть оригиналы и изображения имеют соответствие хо(1) Ф Хо(р); хв(1) =: Хи(р)> lс = 1,2,...,п. Операционная система имеет вид 11 р Хо(р) — -~ = -аХо(р), рХь(р) + аХь(р) = аХь 1(р), й = 1,2,...,и.
Отсюда следует, что 1 Хо(Р) = — > а+р а> (а+ р)'+' ' х,(р) = (а+ р)г' 1=1,2,...,п. Переходим к оригиналам, которые и есть решения данной си- стемы: —.Ф с ( ~)' —. г! И Задача 48. Найти решение системы дифференциальных урав- пений х'(с) + х(с) — у(с) = е, у'(Ф) + Зх(Ф) — 2у(1) = 2е', х(0) = у(0) = 1. Лекция 28 2оо Применим преобразование Лапласа к решению уравнений в частных производных. Рассмотрим уравнение теплопроводности и,(х,8) = а и, (х,1), и(х,О) =О, и(О, й) = ио — — соней, /и(х,й) ! < М. Функция и(х, г) — распределение тепла в стержне 0 < х < +ос, боковая поверхность которого изолирована.
Будем искать решение в классе функций, для которых определено преобразование Лапласа. Пусть оригинал и изображение связаны следующим образом: и(х,г) Ф г'(х,р) = е ~и(х,у)ау. о Переходим к операционному уравнению: рЕ(х,р) = а~Г" (х,р). Решение этого дифференциального уравнения есть функция Е(Х, р) = С~Е а *+ С2Е а *. Константа С2 — — О, так как по условию функция и(х, г) ограни+аа чена, ~и(х,~)~ < М. Константа С1 — — Г(О,р) = ) е '"а1' = —.
о р ~Р Итак, г (х, р) = ио .. Этой функции соответствует оригир нал и(х,1) = — ио е" Ну=но 1 — Ф 2а71 Применения преобразования Лапласа 201 а где Ф(г) = — ) е " Ну — интеграл вероятностей. Ло е -а~/р Мы использовали тот факт, что изображению — соот- р 2 а ветствует оригинал — ) е " ф. ~(к Рассмотрим задачу о колебании струны — решить уравнение в частных производных ив ††и, Осхс1, и1„о=и!.,=О, и!с=о в1пхх' и~~, е = О. Задачу можно трактовать как задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах (х = О, х = 1), функция и(х, ~) — отклонение струны от оси х, ~ — время.
Процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей (г = 0). Решение, как и ранее, будем искать в классе функций, для которых определено преобразование Лапласа. Пусть и(х,г) Ф г'(х,р) = е ~и(х,у)Ну. о Операционное уравнение имеет вид р Р(х. р) — рв1п кх = Рв (х, р). В силу граничных условий однородное уравнение 202 Лекция 18 имеет нулевое решение. Частное решение имеет вид Р'(т,р) = р Э1П ЯХ.
р2+ я2 Этой функции соответствует оригинал и(х, 1) = в1п(хх) сов(хг). В заключение хочется процитировать слова знаменитого ученого М.В. Келдыша (91., так много сделавшего в теории конформных отображений. "Теория аналитических функций возникла в связи с задачей решения алгебраических уравнений. Она дала возможность пролить свет на основные классы функций, выдвинутые развитием анализа, механики, математической физики. Ряд центральных фактов анализа мог быть до конца понят только при выходе в комплексную область. Функции комплексного переменного получили непосредственно физическую интерпретацию как характеристики важнейших векторных полей гидродинамнки и электродинамики. Обнаружились связи теории функций с задачами теории теплопроводности, теории упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
