Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Е дР, или, что то же самое, найти функцию и(х, у), удовлетворяющую системе < Ьи = О, и(х, у) = и(г), г Е Р, и~~о = Ь(~), ~ Е дР, 6(~) Е С(дР). Для произвольной области Р задача Дирихле, вообще говоря, может и не иметь решения. В случае, когда Р— односвязная, ограниченная область, граница которой дР— замкнутая, кусочно-гладкая, жорданова кривая, решение задачи Дирихле всегда существует. Для области Р = (~х — а~ ( В~ (для круга) мы сейчас получим решение в явном виде. Сначала покажем, что если есть гармоническая функция и(х,у) = и(г) в замкнутом круге ~г — а~ ( В, то ее можно восстановить внутри круга по значениям на его границе, ~х— а~ = В.
Введем обозначения: С = а+ Яе*е, у Е [О, 2л1, ~~ Е дР = Лекция 16 168 Таким образом, выражение для 1(2) примет вид 2я 1 /' Ве"'г(В2 — т2)~(а+ Веее) ебр и)= —,~ 2кг / Ве'~'(В2+ г' — 2тВсов(0 — ~р)) а 2к (' (В2 т2)~(а + Вече) ~~~р 22г,/ В2+ г2 — 2тВсов(0 — у) е Интеграл, стоящий справа, носит название интеграл Пуассона,  — т 2 2 а выражение называется лдром и~теВ2 + т2 — 2тВ сов(0 — ~р) грала Пуассона. Так же, как и интеграл Коши, интеграл Пуас- сона дает выражение аналитической функции внутри области через значение функции на границе области.
Но в отличие от интеграла Коши, множитель при ДВ, р) есть действительная функция — ядро Пуассона. Воспользуемся этим и отделим действительную и мнимую части функции Дя). Таким образом, 2к 1 (В2 — г')и(В. (р) йр и(т,д) =— 22г,/ В2 + т2 — 2тВ сов(0 — ~р) о Отметим некоторые свойства ядра Пуассона. 1. ПриО<т<В В2 тг )О, В2 + т2 — 2тВ сов(0 — ~р) 2л (В2 — г2) Цр — 1. 2л,/ В2 + т2 — 2тВ соз(0 — ~р) о Задача Дяряхле для оператора Лалласа В2 .2 Веев+ 2 — а — В,е В2 + т' — 2тВ сов( — <р) Ве'~' — (2 — а) ВЕча+ 2 — а Так как функция . Е А(~2 — а~ < В), то ядро Веав — (- — а) Пуассона есть гармоническая функция внутри круга ~2 — а~ < В, т, е. при фиксированных В,1р и в переменных т,0 оператор Лапласа В2 — т2 — О. Ва + та — 2т В сов( — <р) / Переходим к задаче Дирихле для круга: найти функцию и(х,у), удовлетворяющую системе уравнений: < Ли=О, гЕ()~ — а~<В), и~цр — — Й(С), ~ Е д22, Ц4) Е СЯ вЂ” а~ =В).
Замечание. Условие и~ар — — й(~) подразумевает, что функция и(х, у) = и(2) Е С(ьЗ), 1пп и(т, д) = Ь(В, ~р). Полученное нами представление гармонической функции через интеграл Пуассона, подсказывает, что решение задачи Дирихле следует искать в виде (2) = и(т,д) = — / ', О < т < В. 1 / (В2 — т2)Ь(В,р)цр 22г,/ В2+ т2 — 2тВсов( — ~р ' В самом деле, покажем, что интеграл справа дает решение задачи Дирихле, т. е. нужно показать, что и(т,д) гармонична внутри круга и 1пп и(т, д) = 6(В, р).
е Я в-ч Лекция 16 170 Доказательство. Так как под знаком интеграла стоит функ(11г — тг) Ц1г, у) непрерывная по у и дважды ЕР + тг — 2тРг сов( — р) ' непрерывно-дифференцируемая по т и В, 0 < т ( В, В е [О, .2х), то функция и(т, В) дважды непрерывно-дифференцируема и ее производные можно вычислять как интегралы от производных (см., например, [4)). Оператор Лапласа в переменных х, у или в переменных т, В имеет вид дги дги дги 1 ди 1 дги Ьи = — + — = — + — — + — —.
дгг дуг дтг т дт тг дВг Отсюда гя 1 Г / ггг — тг Ьи(т,В) = — / Ь ~ 1 Ь(Л, гг) Ф = О. 2гг / ~ Нг + тг — 2тНсоо( — 1в)/ о функция и(т, В) гармонична внутри круга Тем самым, )в — а) ( В. Покажем, что 1пп и(т.,В) = Ь(В,ого), ого е [0,2гг). Из е Я в-;, Пуассона следует, что свойств ядра 1 / ггг — тг Ь(В, Ого) = / 2 .1 Л + -2тя (В-р) Ь(гг, уо) йр. о Рассмотрим разность ЦВ, <ро) — и(т, В): ЦЛ, ~ро) — и(т, В) г 1 / Вг тг [Ь(Я., Фо) — Ь(Л, р)) Ф.
2я / Вг + тг 2тй сов( — <р) о Задача Дирихле для оператора Лапласа Оценим интеграл, стоящий справа. Так как функция ЦЯ, р) Е СЯ0.,22г]), то Че > О, 362 > О, Жр Е )О, 2л]: ]'Р— ч2о] < А ]Ь(Я, ра) — ЦЯ, р)] < е/2. Пусть 6 = ппп(Б~,1) и 1 Я2 т2 М-ч'е!Ф Имеем е 1 /' Я2 — т2 щ<-— Нр 2 22г ./ Я2 + т2 — 2тЯсо4 — ~р) )у-уо~~б 2я е 1 /' Я2 т2 е < — °вЂ” Вр=-. 2 2я',/ Я2 + т2 — 2тЯ сов( — у) 2 о Оценим интеграл 1 /' (Я2 — т2) Р$(Я, уо) — ЦЯ, Ф)] '~2 Нр. 2я,/ Я2 + т2 — 2тЯ сов( — у) 1у- ро 1>б Б Так как В -+ ~ре то рассмотрим В: ] — уе] < —; тогда В и ~р удовлетворяют неравенствам Лекция 16 1г2 б б Б т.
е. — < ~ — гр( < 2к — — или сов( — р) < сов — < 1. Пусть 2 2 2 М = гпах ~й(й,гр)~, тогда ив~0,2о1 / (Д2 г2) 2М ~'~2~ ~< игр 2к,/ М + г2 — 2гй сов б/2 )р-гго()г 2дг 2к. (И2 „2) < 2к В2+г2 — 2тйсогб/2 Так как т — В, то ое > О, Лб'(ег б) > О, Чг: ~т — В) < б': (,У2) < г/2.
Тем самым 11ш и(г,В) = 6(В гро). г я г ого Итак, для случая круга решение задачи Дирихле имеет вид 21г 1 ( (В2 — гг)й(В р) игр 2к ./ ЕР + тг — 2тЯ сов( — гр) 0 Рассмотрим случай полуплоскости. Предварительно докажем следующую теорему. Теорема. Пусть и(х, у) = и(г) гармоническая функция в односвягной области Р и функция иг = /(г) конформно отображает область.Р в область С; тогда функция и[1 '(2о)] есть гармоническая функция в области С. Иначе, конформное отображение областей сохраняет такое свойство функций, как гармоничность. Доказательство. Так как область Р— односвязная, то существует аналитическая функция Ф(г) = и(х.у)+ги(х,у), Ф(г) Е А(Р).
Но так как функция /(г) конформно отображает Задача Дирлхле для олератора Далласа область О на область С, то функция 1 '(ю) Е А(С). Поэтому суперпозиция функций Ф [1 '(ш)] аналитична в области С, а ее действительная часть Ве Ф [у '(и)] = и[~ '(и)] есть гармоническая функция в С, что н требовалось доказать.
Задача Лирихле для полуплоскости: найти гармоническую функцию и(х, у) = и(г) в области (1т 2 > 0), принимающую на действительной оси 1гп 2 = 0 заданные непрерывные значения о(х), т. е. < Ьи = О, 2 е (1щ г > 0), и(х) = о(х), а(х) Е С(1т г = 0). Замечание. Непрерывность функции на неограниченном множестве .0 подразумевает, что существует конечный предел 1пп а(х) = Со, а также 1пп и(2) = Со. Таким образом, Х ОО с со еп функция а(х) ограничена: [а(х)[ ( С, 1пп а(х) = Со, функция и(2) непрерывна в 0 (рис.
б2). Рис. 52 Отобразим конформно верхнюю полуплоскость 1т г > О на внУтРенность единичного кРУга [то[ ( 1, так что точка хо —— хо + 2уо, ао Е (1т 2 > 0) перейдет в точку тоо = О. Например, 2 — хо отображение то(г) = удовлетворяет этим условиям. Прн 2 — 4о этом отображении непрерывная функция а(х) перейдет в непрерывную функцию 6(Эо), оо Е [0,22г]. По доказанному ранее Лекция 16 174 гармоническая функция й(т, д) в круге ~ю~ < 1 и принимающая значения Й(~р) на границе круга есть функция вида ъ й(т,д) = — ( Ь(~р)йр, 0 < т < 1. 2к ./ 1 + т' — 2т сов(д — у) о 1 При т = 0 функция й(О) = — / Ь(~р) йр.
2к„/ о Сделав обратное преобразование, перейдем с единичной окружности на действительную прямую; тогда х — го, ., х — яо — (х — го) и~ = е"' =, с(е'" = ге'~йр = <Ь, х — яо (х — %)' или 1 х — яо яо — яо дф = —. ° Нх х — яо (х — %)' Яо — % 1 2Уо (х — го)(х — яо) (х — хо)о + уоо Учитывая, что при конформном отображении гармоничность сохраняется, будем иметь 1 / а(х) Нх — решение задачи Дирихле для полуплоскости. Рассмотрим общий случай. Определение.
Функция С(г,~), я,с Е В (область) является функцией источника для первой краевой задачи для уравнения Лапласа или функцией Грина для области В, если Задача Дпрпхле для оператора Лапласа 1 1 1. С(г,~) = — 1п + д(г,~), а.,( Е Р., 2тг 1я — 4! где функция д(г,с) является гармонической в области Р по г при фиксированном с, т.
е. а,д(е, ~) = О, 2. 0(~,~)~, = О. Если существует функция Грина для области Р, то решение задачи Дирихле имеет вид ) = / ~~(я' ~) . Ь(~) (о дп где г Е .Р, ~ Е дР, йт — дифференциал длины дуги, а производная берется по внутренней нормали. Этот факт мы не будем доказывать, как и рассматривать вопрос, для каких областей существует функция Грина. В случае, если область Р— одно- связная с границей ОР— замкнутой, кусочно-гладкой, жордановой кривой, функция Грина всегда существует Рассмотрим связь между существованием функции Грина для области Р н ее конформным отображением на внутренность единичного круга. Рассмотрим односвязную область Р, граница которой содержит более одной точки.
По теореме Римана такую область можно конформно отобразить на внутренность единичного круга 1и~~ ( 1 : Р— 1ю~ ( 1, так, что точка с б Р переходит в точку ы = О. Пусть это отображение задает функция И'(г,~): И'((,~) = О, ~И~(а,~)~ о — — 1, ~Ит(г,~)~ (1. Поэтому эта функция имеет вид Ит(а,() = (я — ()~р(г,(), у(г,~) Е А(Р), 1о(г,~) ~ О, г Е Р. Так как ~р(г, () ф О, то 1п у(г, ~) Е А(Р) и действительная часть Ве 1п у(г, С) = 1и ~~р(а, ~)~ есть гармоничная функция в Р. Итак, 1п ~ И'(г, ~) ! = 1п ~ г — Ц + 1п (~р(а, ~) ! ЛЕКЦИУУ 26 1тв или 1 1 1 1 22г ~ИУ(д, ~) ( 2т )г — ~~(р(г,() ! 1 1 1 1 1 = — 1п — — 1п ~4р(д, С)~ = — 1п + д(г, г",), 22г )г — Я 22г ' 22г (г — Я д(д, ~) есть гармоническая функция по д в .0 при фиксирован- 1 1 ном С.
Так как ~И~(г.,~)~ р — — 1, то — 1п = О и, 1 1 тем самым, функция — 1п есть функция Грина или функция источника для области Р. Поэтому, решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области Р, или найти конформное отображение области на внутренность единичного круга, или найти функцию Грина для области — задачи эквивалентные. В случае, когда область Р— круг или верхняя полуплоскость, мы в явном виде нашли решение задачи Дирихле.
Е:::::2 Задача 40. Пусть в области Р задана действительная функция и(х,у) Е С(Р). Доказать, что если для функции и(т,у) справедлива теорема о среднем: для любой точки ге е Р най- 224 1 Г дется Ь~(до) С Р, 42 > О, и(зо, Уо) = — ~ и(до+ ~е4 ) Ф, до = а те+ ЕУо, то фУнкЦиЯ и(х, У) гаРмонична в области Р. '434д 44.] Дж~ю, ~ю .р . * фур р Р 1и„(х,у)1, гармонических в области Р, сходится в некоторой точке (хе, уе) Е Р, при этом и„(х, у) < и„2(х, у), (х, у) Е Р, то эта последовательность (и„(х, д)) сходится равномерно внутри области Р. '4244 42. Д ~ ю4уюшу~ р~р У р ~. Е р д Задача Дирихле для оператора Лапласа 177 и„(х, р) сходится в точке (хе, уе) Е Р, где функции и„(х, у) гармоничны в области Р и неотрицательны, то ряд сходится равномерно внутри области Р. В заключение отметим следствие из решения задачи Дирихле для круга, относящееся к рядам Фурье.
Следствие. Пусть задана функция 1(а) Е С([0,2тг[),т"(О) = 1(2я). Для такой функции определены коэффициенты Фурье. Запишем формальный ряд Фурье, соответствующий этой функции: 1 1 т'(а) — /,1(с) сМ+ ~~) — / у(1) совпйй сов па 2и,/ о о=1 о 2л 1 + — / Х($) яппи Ю вш па о 2л и(т, а) = — / Щ 111 + ~ 1 2../ о п=1 1 — ( Д$) сов п1 <Н сов па о 2 1 + — /,т(1) япп1м яапа о т", равномерно сходящийся по а, а Е [0,2я[. Используя решение задачи Дирихле для круга, например, единичного, будем иметь гармоническую функцию и(т, а), т < 1, так что 1пп и(т, а) = ~(а), причем сходимость будет равномерт 1 ная по а, а Е [0,2я].
С другой стороны, гармоническую функцию и(т, а) можно разложить в ряд (см. лекцию 7, разложение (1)) Лекция 16 1Т8 Итак, сам ряд Фурье непрерывной функции До) может расходиться в некоторой точке а (примеры таких функций смотри, например, в книге Натансона [8]), но ряд для функции и(г,а) сходится равномерно по о, о Е [О, 2к].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
