Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1 1 Пример. Пусть ~(г) = е, ет Е А(СЦО)), точка га — — 0 является для нее существенно особой точкой; ряд Лорана имеет вид +ж е = à —, 0<(а(<оо. ~ я!зв в=о Для этой функции существует исключительное значение А = О, 1 так как ет ~ 0 для любых а Е С~(01.
Будем говорить, что функция ~(а) аналитична в окрестно- /1~ сти бесконечно удаленной точки, если функция у(г) = ~ ~-) аналитична в окрестности точки а = О. Пусть фз) =",ь а„г", ~г~ < г, а=а тогда +со 1 У( ) =~,—,"„~4 >-„. о=о Тем самым, если функция Дг) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, то она представима рядом Лорана в окрестности оо по отрицательным степеням л. Пусть функция у(г) Е А(г < ~г~ < оо); тогда ее ряд Лорана имеет вид ~(а) = тз а г", т < ф < со. 118 Лекция 10 Будем считать, что го — †— устранимая особая точка для 1(я), если а„= О, и = 1, 2,...; го — — оо — полюс порядка й, если аь Ф О, аь+з = аь+г = ... = О; го — — оо — существенно особая точка в любом другом случае, т. е.
существует последовательность натуральных чисел (иь) такая, что а„„ф О. Многочлен Р(г) = 2,' а;г', а„ф О, имеет яо — — оо полюсом порядка и. Точка ко — — оо является существенно особой для функций Е', СОЭг, О1Пг. Для рациональной функции а„ф О, Ь ф О, точка го = оо является полюсом порядка и — т, если и — т > О. При и — т < О точка го — — оо являет- 1 ся устранимой особой точкой.
Для функции ез точка го —— Π— существенно особая точка, го — — оо есть устранимая особая точка. Определение. Функция 1".(е) называется мероморфиой в области Р, если она в этой области имеет только изолированные особые точки, являющиеся полюсами. Так функции 1я г, сспм — мероморфные функции в С, точка яо — — оо для этих функций является неизолированной особой точкой, полюсы функций ой я, сой г накапливаются к бесконечно удаленной точке. ~з~з зз. язв~ Л З-й фз ию, ~= — з~*з~~~- мая особая точка.
Доказать, что у(г) = соия1. ~зз 34. пз фз з Л*З вЂ” з зф С. К~зз~~, Ряды вторана. Изолированные особые точки что Дз) — рациональная функция. Продолжение "гамма-функции" Эйлера с положительного луча в комплексную плоскость "Гамма-функция" Эйлера при х > 0 имеет вид Г(х) = е ~1' 'о1. о Представим Г(х) в виде 1 +СС Г(х) = е !1 1(и+ е !8 1!М о 1 1 Рассмотрим интеграл ) е Ч* 1111: о ( — 1)" 1 =Е =о ~ос ( 1)и1и Мы воспользовались равномерной сходимостью ряда ~~. и — о ! на отрезке (О, 1). (со ( 1)о Ряд ~, - — с положительного луча х > 0 продол„о И! т1+Х ( — 1)" жим в комплексную плоскость и рассмотрим ряд ~ =о ! Лекция 10 120 1 , сходящийся в С~(0,1,2,...) и представляющий аналии+а тическую в С~(0, 1,2,...
) функцию. Эта функция есть мероморфная функция в С и точки г = О, 1,2,... являются полюсами первого порядка. Рассмотрим интеграл ) е 'г* 'й = ) е 'е~ '))"'сМ, 1 1 х > О. Продолжив эту функцию с положительного луча х > 0 в комплексную плоскость, будем иметь | -Ф (л-1) 1ю8 1 е е 1 Этот интеграл есть целая функция (аналитичная в С). Итак, +оо ( 1)Я 1 -~-00 Г(а) = 2, — + ) е 'е~' '))"'Ш есть аналитическое „а и) и+а продолжение Г(х) с положительного луча х > 0 в область С~(0,1,2,...). Функция Г(а) мероморфна в С и точки а = О, 1, 2,...
— полюсы первого порядка. 1 ~зад~м 35. До ю~, фу й к(~) = — е~* ц Г(г) функция и г (г) = е" х П ~1+ — ) е, где с — постоянная т Эйлера. ВЫЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА О ВЫЯЕТАХ. ВЫ'1ИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ВЫ'ЧЕТАХ лекция Пусть зе ф оо — изолированная особая точка функции Дг), т. е. ~(г) Е А(0 < ~г — ~е~ < т). Пусть также à — любой жорданов, кусочно-гладкий, замкнутый контур, лежащий в области 0 < (~ — ~е! < т и содержащий точку ве внутри. Определение. Вычетом функции Дг) в точке ге называется 1 Г интеграл —, / Я)<Ц и обозначается В.сегал) или ген г"(в) 2яг,/ я=30 Л=Л0 г (Веяние): 1 В.ее г(з) = ген Д~) = — / Дс) <К.
г Из теоремы Коши следует, что для любого сколь угодно малого е > 0 Вез,((з) = —. / У(0 'К. 1 = 0 2яг,/ В. У(4= —./ УЫ) К 1 г- и — ло )=е Пусть ве = оо — изолированная особая точка функции Дг), те. Д~) Е А(ф > Во), Во — достаточно большое. По определе- нию Лекция Н 122 где контур Г лежит в области ~я~ > Во и содержит точку О внутри.
Обход по контуру Г совершается по часовой стрелке, или область Рг, содержащая точку яо, остается слева при обходе по контуру Г. По теореме Коши для всех Я > Во 1 В,еэ Дг) = — — / Д()~Ц (обход против часовой стрелки). о== 2яг,/ 16=я Как вычислить вычет Дг)? Пусть яо ф со. По теореме Лорана в области О < ~г — го~ < г функцию Дг) можно разложить в ряд Лорана, равномерно сходящийся на любом компакте, принадлежащем этой области, поэтому Дг) = ~ а„(я — го)", / Я) 'К = ~~'.
а- — / Ы вЂ” 'о)" Ж~ = а-1 2~и " 2тг,/ К-зе)=е ~Е-~,(=е Таким образом, йеэ Дг) = а,. ' л=.е Пусть яо —— оо. Проводя аналогичные рассуждения, получим 1 +00 Гаев Дг) = — —, ( ~~ а„с" д~ = — а ь о= 2л г,/ )((=л Пусть яо ф ос и яо — полюс порядка т для функции Дя). Тогда ряд Лорана в области О < ~я — го) < г имеет вид У(г) = а ( — яо) + а +„(г — о) ~~ + +со + а 1(г — го) + ~~~ а;(я — го)' Вычет аналитической функции 123 Дг)(г — ге) = а + а +,(г — ге) + + а ,(г — ге) -' + '~ а;(г — го)" . Возьмем производную (т — 1)-го порядка от правой и левой частей: [Лг)(г — го)™[1 О = (т — 1)!а, + (1+ т)(1+ т — 1)... (1+ 2)а;(г — ге)'+'.
Тогда 1пп [~(г)(г — ге) [1 ц = (т — 1)! а ы Итак, *- го а 1 —— , 1пп [Дг)(г — ге)™) Пусть т = 1 и функция Дг) имеет вид: Дг) =, где Л (г) Ь(г) ' ,11(ге) ф О, а функция Яг) имеет точку го нулем кратности 1. В этом случае Вез Дг) = 1пп = Л(го) 1пп —, 11 (г) (г — ге) . 1 11 (ге) к=~о к го Яг) к — ко Теорема о вычетах. Пусть ограниченная область Р с границей дР, являющейся контуром, такова, что точки г1, гг,..., г„ŠР— изолированные особые точки функции Дг) и У(г) Е А(РЦгыгг,...,г„1) ПС(дР).
Тогда Лекция 11 124 Доказательство. Около каждой точки 2ь опишем окружность )2 — гь! = бе так, чтобы круг ~2 — яь( < бе целиком лежал в области П и круги не пересекались (рис. 25). Рис. 25 По теореме Коши для многосвязной области справедливо равенство Теорема доказана. Следствие. Пусть ('(г) 6 А(СЦ21, 22,..., 2„~), где 21, 22,..., ㄠ— особые изолированные точки 1(2), и яо —— оо — также особая изолированная точка; тогда Вез 1'(г) = О.
я=о ™ Доказательство. Возьмем В достаточно большое, так, чтобы внутри области ~2~ ( Я содержались все точки 2„22,..., г„. По теореме о вычетах будем иметь — / Д4) дс = ,'1 Вез1(2) = — йев,1(2), 1 или, что то же самое, 2,' Вез 1" (2) = О. 125 Вычет аналитической функции Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах 1. Рассмотрим 1 класс интегралов — интегралы вида | В(о1п В., сов В) ИВ, о где В(х,.у) — рациональная функция двух аргументов х,у, а функция В(а1п В, сов В) непрерывна на [0,2т). Если В Е [0,2и], то множество точек г = е' принадлежит ,в вв. единичной окружности ~г~ = 1. Сделаем замену г = е; тогда , ~Ь сЬ = те'~сИ, сИ = — ю' —.
Так как х = совВ+ гошВ, то х = — х а+х 1 созВ-1з1пВ, о1пд = —,, созВ = —. Если )г[ = 1, то х =— 21 ' 2 г 1 и згпВ =,' совВ = '. Тем самым 21 ' 2 ок Д(~-1/г ~+1~л) 1 | В(о1п В сов В) сИ = — г' ~ч ' = В~(х) сЬ, ) х о (г)=1 !я~=1 где Я,(х) — рациональная функция, непрерывная на (х( = 1. Отсюда по теореме о вычетах следует: 2к о | В(з1пд,сооВ) ИВ = 2иг'~Кео Л~(г), о=1 о где оо — полюсы рациональной функции В~(л), лежащие в области ~г~ (1. 11. Рассмотрим 11 класс интегралов — интегралы вида (ч.
р. — от ча1ие рг1пс1ра1) и.р. 1(х) дх (главное значение в смысле Коши). ~7екцкк 11 +со й Напомним, что ч р. / Дх) 11х = 1пп ) 1(х) дх. й +х й Пусть функция Д2) Е АЯ1т2 > О)\(21,я2,...,г„)) П С(1т 2 = О), 21, 22,..., 2„— особые изолированные точки Г"(г), лежащие в области 1т 2 > О. Пусть также Д-.) = о(1/х), 2 -+ оо, 1т2 > О. Тогда Пусть Сй — верхняя полуокружность: Щ = В) П 11тю > 01, Гй = Сй 0 [-В, В], где В достаточно большое, так что точки 21,22,...,2„лежат внутри Гй (рис. 26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
