Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 10
Текст из файла (страница 10)
По теореме Тейлора ее можно разложить на всей комплексной плоскости в ряд Тейлора с центром, например, в точке ее — — О: х ~(г) = ,'~ а„е". ф < оо. Для коэффициентов имеем оценку (неравенство Коши) ~аь~ < „, О < р < оо. м(р) Р" Если Щг)~ < сопвФ, то при р -~ +оо получим аь = О, й = 1,2,..., т. е. Дг) = ае. Мы доказали следствие из теоремы Лиувилля,исходя из степенных рядов.
Выпишем для некоторых конкретных функций их разложение в ряды Тейлора: х и 1.е'=~,—,, Ц<оо; и=в п. х ( 1)и еи м 2. 81п г = ~; , . ~е~ < оо; (2п+ 1)! х ( 1)п 2и 3. сове = ~,, Ц < оо; хв (2п)! 2и 4. сЬе = 2; —,, ф < оо; ьв (2п)! ' х 2е+1 5. Йе ~- ',. ф <х. =о (2п + 1)! ' Задача 19. Привести пример функционального ряда, сходящегося равномерно внутри области Р, но не сходящегося равномерно в области Р. Числовые и функциональные ряды 83 Задача 20. Доказать аналог теоремы Вейерштрасса для гар- С:::::2 монических функций: если последовательность (и„(вЦ гармонических функций в области Р и непрерывных в Р такова, что ряд 2 и„(в) сходится равномерно на границе дР области Р дд=! (область ограничена), то ряд сходится равномерно в Р и его сумма есть гармоническая функция в Р и непрерывная в Р. )з~д+ д 21.~ до~ам~, ~до )д„)*)) *- кова, что ~„(ю) Е А(Р), Уп е И, Р— область, и последовательность (Ке~„(е)) сходится равномерно внутри Р, а последовательность (~„(~о)) сходится в точке зе Е Р, то последовательность (~„(л)) сходится равномерно внутри области Р.
~зады~ 22. Пут ) „)*)) — * д ю ад* р нических функций, 11ш и„(л) = и(г), причем сходимость и 00 равномерна внутри области Р. Показать, что тогда и(г)— гармоническая функция в области Р. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИ'ЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ лекция Пусть функция Дг) Е А(((,(го)), е ) О. Определение.
Точка гг является нулем кратности й аналитической функции ((г), если У(г)=О, Х'( )=О, ..., У(" ц(2)=0., Х(")( )ФО. Если й = 1, то нуль го называется простим нулем функции Х( ). Из определения нуля кратности й следует, что в окрестности ((,(го) функция ((г) представима в виде ,((г) = ,'~ а„(г — ге)", аь ф О, )г — го~ < е.
Тем самым ((г) = (г — ге)"у(г), у Е А(У,(го)), (о(ге) ф. О. Теорема единственности. Пусть дани функции Дг), д(г) Е А(Р), последовательность (г„1 Е Р,( г; ф гу, ( ф д), такаЯ, что существует предельнол точка ге Е Р. Тогда, если Д(гу,) = д(гь) длл любого й Е У, то ((г) = д(г), г Е Р. Доказательство. Так как последовательность 1г„) имеет предельную точку ге, то существует подпоследовательность (г„,) последовательности (г„), сходящаяся к точке ге. Будем эту Теорема единстаенности аналитических функций 85 подпоследовательность обозначать (г„'~.
Итак, 1пп г„' = ае. о ос Из того, что хе Е Р, следует, что существует окрестность У,(те) с Р, е ) О. Разложим в этой окрестности функции Дт) и д(г) в степенные ряды: У(т) = ~', а (а — та)", д(а) = ",~ ' Ь„(г — то)", 1т — ао~ < е, где ао — — Дге) = 1пп ~(а„'); Ье = д(ге) = 1пп д(т„'). Из условия 1(а„') = д(а„') для любого п Е 1Ч вытекает, что ао = Ье. Представим функции У(г) и д(т) в виде Дт) = ае+ (г — ле)~~(т); д(г) = Ье+(г — те)д~(т), .где ~~(а), д~(т) Е А(У,(те)), ~~(т„') = д,(а„').
Повторяя предыдущее рассуждение, получим ~~(те) = д~(те) или а, = Ь|. На (и+ 1) — м шаге, повторяя тот же процесс рассуждений, получим, что а = Ь„, а тем самым Дг) = д(г), г Е У,(те). Покажем, что Дт) = д(г) для любой точки я Е Р. Соединим точку т с точкой та непрерывной кривой Г с Р. Кривая à — компакт. А теперь проведем доказательство, аналогичное доказательству принципа максимума модуля аналитической функции, а именно: устроим открытое покрытие компакта Г кругами радиуса 6/3, где б = р(Г, ОР), с центрами на кривой Г.
По лемме Гейне-Бореля существует конечное число кругов из этого открытого покрытия, также покрывающих кривую Г. Соседние круги пересекаются и, следуя из точки те в точку г, последовательно будем получать равенство функций У(а) = д(г) в этих кругах. Последний шаг приведет к кругу, в котором содержится данная точка а, следовательно Дт) = д(т) для любой точки г б Р.
Теорема доказана. Следствие 1. Пусть функция Да) е А(.Р), последовательность (т„) е Р, г; ф ху, т ~ у. Точка те Е Р и ге — предельная точка (г„). Если Дг„) = О, и Е И, то Дг) = О, л Е Р. Лекция 7 86 Следствие 2. Пусть функция Дг) Е А(Р), 7"(г) ф О; тогда на любом компакте К с Р функция Дх) имеет не более конечного числа нулей. Следствие 3. Пусть функция 7" (я) Е А(Р).
Тогда или 7"(я): — О, или в области Р функция Дг) имеет не более счетного числа нулей, которые могут накапливаться только к границе области. Пример, подтверждающий, что предельная точка ге е Р— по существу. П~ Пусть Р = (я: Рзея ) О), функция Дх) = яп ~ — ) Е 1 А(Р), )'(хь) = О, хь = —, lс = 1, 2,.... Точки зь Е Р, 1пп гз,. = О. тй з оа Предельная точка ге — — О Е дР, 1(гь) = О, но Дг) ф О. ~2,14 *зз. П, * д з*з з а у» ствует последовательность компактов (К„) такая, что К„р..
К„+з, О К„= Р. Показать, что для любой области Р существует последовательность ограниченных областей (Р„) такая, что Р„з. Р„+з, О Р„= Р. П=1 '12 д 2244. .2Пр ~ р» р фут» П~2» А»' 1 д 1~, Дг) ф О, обращающейся на последовательности (г„) в нуль, Дл„) = О, ~я„~ < 1 и множество предельных точек последовательности (г„) есть вся граница области — ~г~ = 1. Теперь рассмотрим гармоническую функцию и(х, у) в круге ~г — яе~ ( В, Н ) О. Так как круг есть односвязная область, то сУществУет фУнкциЯ 7(х) Е А(~~ — ге~ < В) такаЯ, что Ве Дг) = и(х, у).
Разложим функцию 7'(г) в степенной ряд в Теорема единственности аналитических функций этом круге Х( ) =,)т,а ( о)" ~ — о~ < тс. Пусть точка в Е (и: ~г — во! < й), т.е. г = ао+ ре'~, О < р < Л, и пусть а„= а„+ г/3„. Имеем Т" (в) = у (а„+ ь|3„) р"е'"~ = ~ (а„р" соз п~р — ~3 р" з1н пу) а=о и=о + г ~) Ц3„р" совпр+ а„р" яппр). ВвеДем обозначение Т"(во + Ре'") = и(Р, ~Р) + Ы(Р, Р), тогда и(р, ~р) = ~~~ (а„р" сов пр — Яр" ян п~р), и=о и(р, у) = ,'~ (р„р" созпу+ а„р" яппи). п=о тригонометрических ряда Я (а„соз ~ир + Ь„в1н п~р) Два и(р., р) = ~ (а„р" соз пр — р'„р" ян тир), р < тс. и ~ (с„соз пр + а„з1н пу) называются сопряженными, =о если их коэффициенты удовлетворяют соотношению: а„= Н„, Ь„= — с„, Уп е 1ч.
Мы получили, что комплексно- сопряженным функциям соответствуют сопряженные тригонометрические ряды. Итак, гармоническая функция и(х,у) в круте ~т — го~ < Л разлагается в ряд, равномерно сходящийся внутри этого круга Лекция 7 88 Покажем, что этот тригонометрический ряд есть ряд Фурье для функции и(р, у), т. е. коэффициенты этого ряда есть коэффициенты ряда Фурье. Рассмотрим коэффициенты разложения функции Дя) в степенной ряд — коэффициенты а„. Пусть 0<7<В.
Имеем К-ло1=т Сделаем заменУ ~ = Яо + ге'в, В Е [О, 2к], тогда 2к 2я — ЫГ~ИВ = — — ГДяо+~Г~)~ '"~Ж / .п+1 (п+1)В гя 2)г / о о Так как функция Дя) Е А1[я — яо[ < В), то 1 ЛОМ яо)™<К = О, 7п = 0,1,2,..., 2лъ К-щ)=~ или — / У(го+ге )е'" ЙВ= О, и=1,2,,... 1 Г 2к ./ о Так как а„= о„+ 1ф„= — . — | [и(г, В) + т(т, В)] е с1В, то -ыв г" 2я о а„+ 0 = а„+ — — ~ [и(г,д) + т(г,В)] е*" Ю 2я ./ о 2к 1 1 à — — / [и1г, В) + т(г, В)] 2 соэ пВ МВ. г" 2к„) о Теорема едиистиениости аналитических функций Тем самым 2и 1 1 à — — и(т,д) совпдг1О, А = — „— ~ и(т,д)совпдг1О, о о С другой стороны, представим а„в виде а„= а„— О = а„— — .
— (и(т, О) + т(т, В)) есн Ю о 2и — — (и(т, О) + т(т, В)] ( — тг в1п пд) Ыд. т" 22г о Поэтому 2к 1 1 сг„= †. — и(т,д) в1ппдс1О, 13„= — †. — / и(т,д) в1ппдг10. о о 2я 1 2т Так как ао — — — ) и(т, д) с1О, Д = — ) о(т, д) сгд, то получаем: 21га ' 21го 2к (рр)=щ +~ (-) — |~(,о о мнВ ~ю~р о 2и (1) ( ) = 1О +~ ~~~-) — / ю(т,д)совпдг1д совтцр и=1 о 2и + ~-1 — и(т, В) в1ппдг1О. в1пп<р 1т l л. о Лекция 7 где р < Л, О < т < Л.
Как видно, коэффициенты соответствующих тригонометрических рядов есть коэффициенты Фурье функций и1т, д) и и(т,д). Заметим, что в разложении функций и(р, р) и с(р, р) в ряды Фурье параметры р и т не связаны между собой. ~Зад~ 25. Джю, о фуюц» о2 „2 а(т, 0)— Я2 + тг — 2тг1 со40 — ~р) — гаРмоническаЯ фУнкЦиЯ в кРУге ~г — Де~ < В, д = Де+ те*'и, т < В, у — фиксировано.
Ее разложение в ряд имеет вид 2 2 — 1 + 2 я ~~ ( — ) сов п(0 — ф). и=1 Эта функция носит название ядра Пуассона. [3~да а 26.~ ни~ фу и~~, р о о р у ядру Пуассона, и разложить ее в ряд Фурье. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ лекция До сих пор мы рассматривали однозначные функции комплексного переменного. Переходя к многозначным функциям, встает вопрос о том, можно ли выделить соответствующие области, на которых многозначные функции можно было бы рассматривать как однозначные или разделить многозначные функции на так называемые однозначные ветви и применить к ним ту теорию функций комплексного переменного, которую мы до сих пор рассматривали.
Все сказанное проиллюстрируем на примерах элементарных функций и обратным к ним. 1. Рассмотрим функцию и" = г и обратную к ней и ~Д, и Е Я, п > 1> н1 = п11+ 1ш2, х = х + гу (рис. 16). Рис. 1б Функция й на всей комплексной плоскости п1 не является однолистной, поэтому обратная к ней функция фБ многозначная. Выделим на плоскости и~ области однолистности функции 1с" (выделить области можно поРазному). Мы всю плоскость 1с разобъем на области Рь, Лекция 8 2кй 2к 1с = О, 1, 2,..., п — 1, где Ря — — в: — < агя и < — (й + 1) На каждой области Рь функция и~" однолистна, область Рь она отображает на плоскость С~К+, К+ = (х: О < х < +оо1. При фиксированном й обратная функция ( ~/г) „= ~г!'~" сов + 1 а1п так называемая Й-ветвь многозначной функции О'г, определена на С~К+ и однозначная — она переводит С~К+ на область Рь.
Так как на области Рг функция и~" однолистна и аналитична, и (и")' = пы" ' ~ О, то по теореме об обратной функции функция (",/г)ОО аналитична на С~К+ и 1 1 1 «-1 ( «/ )« — ~ Тем самым к Й-ой ветви многозначной функции ~/г можно применить ту теорию аналитических функций, которую мы рассматривали для однозначных аналитических функций. Если на комплексной плоскости г обойти точку г = О или г = оо один раз, то ага г получит приращение 2к, и мы с одной ветви фБ перейдем на следующую ветвь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
