Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть Р— односвязная, ограниченная область, граница которой ОР— контур и функция ~(к) Е А(Р); тогда 1' ~(к) сЬ = О. ео Обобщения теоремы Коши. 1. Пусть Р— односвязная, ограниченная область, граница дР— контур, и функция Дк) Е А(.0) ПС(Р); тогда 1',1(2) 1Ь ю равен нулю (без доказательства). 2.
Случай, когда Р— конечно-связная область. Пусть Р— ограниченная, конечно-связная область, граница которой дР состоит из (и + 1) связных компонент: 000 0 где Г, у1, у2... у„— контуры, не пересекающиеся между собой, внутри Г содержатся у1, у2... ~„( у1 С гп$Г, г' = 1... п). Тогда, если Д2) Е А(Р), то интеграл по всей границе дР области Р (г) сЬ = О, направление обхода по границе положительное,или Лекция 3 44 в этой формуле направление обхода по кривым против часовой стрелки.
Доказательство следует нз справедливости формулы Грина для конечно-связной области и для функций и(х, у), о(х, у) Е С'(Р). Смотри, например, 14]. 3. Предыдущая теорема верна, если условие ((г) Е А(Р) заменить на условие ((г) е А(Р) Й С(Р). (без доказательства). Одно из применений интегральной теоремы Коши — это вычисление интегралов от действительных функций действительного переменного (как собственных, так и несобственных). гяс. г При вычислении интегралов часто используется лемма Жордана.
Лемма 2Кордана. Пусгиь Р = (г: 1т г > а) (рис. 8), У(г) Е С(Р П Щ > Ве)), 11ш у(г) = О. Тогда 1пп 1 е'~'у(г)сЬ = О, яеВ Ся где т ) О, Сн = Р Яг: ф = В). Доказательство. Рассмотрим более общий случай: а ( О. (Если а > О, то оценки нужно проводить только на дуге СВ или части дуги СВ). Точки А, Р— точки пересечения окружности ~г~ = В с прямой у = а, точки В, С вЂ” точки пересечения окружности с действительной прямой, угол г'АОВ = ~ро.
По Элементарные функции комплексного переменного 45 условию 1пп ~(е) = О. Это значит, что еЕЮ Че > О. Эб(е) > О: Чк ~ О., )к) > б(е) — (|'(к)) < е. е АВ, Проведем оценку интеграла | е'™Дв)~Ь. Если АВ то в = В е*", с(в = йге.'~сбр, ~сЬ~ = В др, 1пцйсое генйяп Г) ~ ин е -тйнп у Енп к ( — е < )е' '! (,1(в)! (сЬ( АВ АВ ™~и~у~ддеее))дд~р < п1ах )дв))е ~йм" алея~(р ) ~ ~ и ни е | ~ в ~ ~ й ни ~ о о еЕАВ ~го а а Так как яи ке — — —, то ре - — при  — +со. л' л Итак, < гпах Щг)1е Ца1+ 1), В > гсм .еАВ АВ 1пп | е' 'Дв)ЕЬ = О. й-Хсв Теперь проведем оценку интеграла 1 е' 'Дг)пг.
Имеем к вс вс < птах Щг)~ / е ""еВсйр = 2гпах Ще)! / е и"~с1у. *ЕВС кЕВС т. е. 1ип 1 е'™'1'(~) сМг = О. ~АВ Аналогичная оценка интеграла 1 е' 'Де)Иг дает св Лекция 3 2 и Используя оценку: — О2 < гш 99 при О < се < —, получим 2' с/2 < 2 ШаХ Щг)] / Е я~РВйр -ЕВС вс -~дней 1я/2 = 2шах]Дг)]. 1 = 2 шах Щг)] — 11 — е "]. зЕВС О «ЕВС Окончательно, 1ип )' е' 'Дг) сЬ = О. Лемма доказана. ВС Пример.
В качестве примера рассмотрим интеграл Дн- Г вшх рихле — ~ — Нх н вычислим его, используя интегральную о теорему Коши и лемму Жордана. Интеграл Дирихле — несобственный, его можно представить в следующем виде: +00 +00 — с В | о1пх 1 Г гшх 1 . Г вшх Г вшх — дх = — ~ — е1х = — 1пп / — Нх+ ( — с1х х 2 / х 2 -о,/ х х о сс Я-+х В с Рассмотрим область ВВ„„(рис. 9), границей которой является контур д0В,„, состоящий из прямолинейных отрезков действительной прямой ~ — й, — г], ~г, В] и двух дуг С„=12:]г]=г. 1шг>0), Си=12: ]г]=В, 1п12>01: 91 ! Рис.
9 47 Элементарные функцнн комплексного переменного Интеграл в т гн ге е / гх егк х Са зпа,„ -В с. С одной стороны, /' совх+ гяпх Их+ ~ совх+гяпх совх+ г г -и , Гяпх = 2г~ — Нх. 1 ° — г гг — ггх + гг г егге* — сгз = / —.тге Йр е те~' с. л о о Й'(соз ~Р+га!п дфр г е — ~р -гып у+и сову =г е л о о г е """~сов(тсову) Йр+ г' е ' "гяп(тсов~р) Йр. ега Жо ана 1пп — сЬ = О, по С другой стороны, по лемме ордана с„ и — гЬ = О ( — е А(.Он „) ). интегральной теореме Коши — е = аоа,„ С то з = ге'е: тогда Рассмотрим интеграл ~ — сЬ.
Если з Е 48 Лекция 3 Так как подынтегральные функции в выражении справа непрерывны по т, р, то, используя теорему о предельном переходе под знаком интеграла (действительный случай), получим и 1 е" 1 81пх 1пп / — сЬ = — ~гг'. Итак, О = — лг+ 2~ 1пп / Их, т. е. .-+о / г -+а,/ х с, л +со,. / 81пх и интеграл Дирихле ~ х 2 о Задача 8. Как изменится формулировка леммы Жордана, С::::Л если дугу Сл повернуть а) на угол —; б) на угол я; в) на угол — 2. В каждом случае а)-в) доказать лемму Жордана. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМ гтЛА КОШИ. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ. ТЕОРЕМА МОРЕРА лекция Теорема (интегральная формула Коши.) Пусть Р— область, функция Дг) Е А(Р), контур Г С Р, причем тп~ Г(Рг) тпакже принадлежитп Р. Тогда имеет место формула Х(га) = —.
/, го ~ Рг. 1 Г,т" (с) ас 2кт С вЂ” гв г Эта формула назнвается интпегральной формулой Коши, а интеграл, стоящий справа — интеграл Коши. Доказательство. Так как точка ге е Рг, то существует е > 0 такое, что и,(го) С Рг (рис. 10). Рис. 10 Рассмотрим область Р, = Рг~(г: ~г — ге! ( е). Область Р, — двусвязная, по интегральной теореме Коши интеграл по Лекция 4 50 границе Рл равен нулю | я) ~ =О | Л0 К /' 1Ы)< 4 — ге .7 4 — го В последнем интегРале сделаем заменУ: ~ — Яе = ееелг гР Е [О, 2к), Н( = еге "пгр, тогда г; гл | ~®< / П('е+"') '.~ =; у(„+„'.) ~р 1 — яо ./ ее'~ К вЂ” л01=л о Хотелось бы теперь воспользоваться теоремой о среднем и перейти к пределу под знаком интеграла при е — О. Но мы ранее приводили пример, показывающий, что теорема о среднем для интеграла от функций комплексного переменного, вообще говоря, неверна.
Поэтому мы перейдем от функции Дз) = гцх, у) + Ы(х, у) к действительным функциям и(х, д), гг(х, у) и теорему о среднем применим к ним. Имеем г л 2гг г Дге+ее'") Йр = г и(хе+ есоегр ро+еэ1пгр) йр +г гг(хе+есозгр,де+ез1п р)Игр о Интегральная формула Коши Воспользуемся теоремой о среднем для каждого интеграла. Получим г У(2О+ еега) д6р = 2дгг[и(то+ есоз~рд,да+ евш<рд) О +дп(хе+есозу2,йа+езш<р2)[, уд, <р2 Е [0,2т[ ГМ)Ж Перейдем к пределу при е — + О. Интеграл не зависит ( — 2О от е, н окончательно будем иметь = 2 1пп У(2О + ее'д') йр = 2тгд У(2О) | й д1~ ~ — 2О -О г О или у(,) = 1 1У(()~ 2яг' / ~ — 2О ' г Формула доказана.
В частности, если Р— ограниченная, конечно-связная область, граница которой дР состоит из конечного числа контуров, и функция У(2) Е А(Р) ПС(Р), то У(2)= —,, 2ЕР, г у(е) и~ 2дгг (обход по границе дР положительный). Доказательство следует из обобщенной теоремы Коши для конечно-связной области и аналогично доказательству, которое мы провели выше. [з~дд 9Д ар~ фу и д~л е Сдг: ~ — ь~ < ), > О. 2а Доказатдч что 1пп [ У(2О + еееа) с1р = 2дгд У(2О). е ОО Лекция 4 52 Итак, пусть функция Дг) е А(Р), Р— односвязная, ограниченная область, граница которой дР— контур; тогда интеграл Коши 1 П6 4' / Лго): го ~ Р, 2к~.l 4 — га '1 О: го Ф Р Интеграл типа Коши Пусть à — жорданова, кусочно-гладкая кривая, не обязательно замкнутая, и функция у(г) е С(Г).
Интеграл вида Г(г)= —. /, гфГ 2кг/ (' — г ' г называется интегралом типа Коши. Теорема. Интеграл типа Коши — Г(г) — есть аналитическая функция, т. е. и (г) е А(С~Г). При этом функция Г(г) имеет производную любого порядка, равную Мы проведем доказательство методом математической индукции. Второй способ доказательства — рассматривать интеграл типа Коши как криволинейный интеграл, зависящий от параметра, но при этом нужно знать свойства интеграла, зависящего от параметра, когда подинтегральная функция — функция комплексного переменного. В курсе действительного анализа рассматривались собственные и несобственные интегралы по отрезку или лучу, включая всю прямую.
Доказательство. Докажем утверждение теоремы при и = 1. Пусть точка г Е С~Г; тогда существует 6 > О такое, Иитетралъиая формула Коши 53 что У~(~) () Г = Я. Обозначим за р = р(Г, У~~г)) > О и будем рассматривать приращение Лг: ~Ля~ < о. Распишем разность ~( +~4 — г"( ) 1 ~ Я)т1с, 2к/ (~- ) г —. ~~в ~( 2к1 / ~~(' — (л+ Ьг) ~ — я/ л~я (~ — я)~~ — д( г = —,~У(О, —,, К 1 1 2~гг,/ ~(~ — л)(( — (а + Лл)) (~ — г)2~ г 1 /' г"(()Ьг 2ш',/ (( — г)2(с — (г+ Ья)) Отсюда следует, что ~(я+~ ) — ~(4 1 /' УЫ)< 2кт,/ (Р,)2 г 1 М1 < — — ~Ьг~ 27Г ра Теперь предположим, что при Й = п равенство справедливо: и'.
/' Я) И~ 2кг,/ (~ — я)"+' г Докажем, что при й = п+ 1 равенство также будет выполнен ным: Г(- )(.)=("+1)' 1 и) К 2кг / (~ — я)"+~ ' г где М = шах Щг)~, )~ — г~ > р, )( — (я+ Ья)! > р, 1 — дли иа кривой Г. Переходя к пределу при Ья -+ О, получим ,(,) 1 ( И)~К~ 2к13 К-.)' г Лекция 4 Рассмотрим разность 2" 1"1(2+ Ь2) — И")(2) (и+ 1)1 Г у(д г1е Ь2 22г2' / (( — 2)"+2 г 1Ю( 1 1 27Г1 Ь2 ~ [~ — (3 + 1~2)]я+1 (~ — 2)я+1 г (и+1)! (,~)~1~ 21г2' „( (( 2)я+2 г ~(~-.)-" — Ы- (. + ь.)]-.. + 21гг',l [(~ — 2)"+1д2[~ — (2+ ~12)]я+1 (~ )о+2 г = —.у'~Ы) 1 (4 — 2) [(( — 2) "+1 — ф — 2) — Дф'+1] 22гг' „/ (~ 2) +2~1ф (2 + ~~ 2)] +1 г и! / (и+ 1)Ь2 Я 2) д2] +1 22Г1,/ (~ — г)я+2Ь2[~ — (2 + ~2)]я+1 г ип 1 Д4)А(2,(, ~г) 2тг / (~ — 2)я+21'12[~ (2+,~ )] +1 11~ г где А(г, ~, Ья) — (е 2)[(~ 2)я+1 р 2) 1,, ]„+1] — (и + 1) Ь2 ф — 2) — Д2] "+1 Преобразуем А(2, ~,,Ь2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
