Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 4
Текст из файла (страница 4)
д'(г ) 3. Если д'(ге) ~ О, то существует 4. Пусть функция Дг) определена в Ц(го),б > О, пусть )'(ге) = и>е и существует ~'(ге). При зтом функция Дг) переводит окрестность У;(со) и миожеет1ю Г, и,о Е Г, Р' С Ц,(и~о). На множеств< У б~(о~о). б~ > О. оп1юделена функция д(ц~) и гуин стиру т «'(во). Тогл» ерпе1пкгпппи «[1(:)] диффе1Я пциРУема в ~о ~ке:я и прп з1ло1 5. Пусть функция Дс) определена в Ь4(ге), б > О, и 1'(го) ф О, Дге) = юе. Пусть функция у(г) отображает взаимно однозначно Уг(ге) на Ц, (и~о), б > О.
Тогда, если функция, Функп~п комплексного переменного обратная к функции ~(л) — у(ш) = г, непрерывна в точке иЪ, то существует р'(що) = уг(1, Доказательство. Рассмотрим предел 1пп Ф(ю) — Ф(оно) = 1пп 1 о-1оо И вЂ” 1по ~-во ~П вЂ” ~по р(и ) — р(п о) 1 1 У(к) Лхо) У'(~о) 1 = 1пп о У(л) 7(хо) о оо 2 — хо При доказательстве мы использовали по существу взаимно- однозначное отображение (в ф опо, х ф хо) и непрерывность функции р(ш) в точке и~о (из условия ш — и~о следует в — го).
Рис. 5 Пусть возрастанию параметра 1 соответствует данное направление от точки А к точке В. Возьмем точки Геометрический смысл аргумента производной Рассмотрим непрерывную кривую АВ (рис. 5): х = Л1(1), У = Ло($),1 Е [со,11[, 1 — действительный параметр, Л1(г),Л2(о) Е С([со, ~3]). Тогда г = х + гу = Л1(й) + оЛо(й) = Л(й) — комплекснозначная функция действительного переменного.
Лекция 2 яо — — Л(Фо), я1 = Л(б1), го < Ф1 на кривой АВ. Пусть существует Л'(1б) ф О. Вектор я~ — -о имеет такое же направление, как и /~, —.о~ я1 — бо вектор ~ ~. Так как существует 1пп = Л'(1б) Ф О, г1 — бо н со г1 — 8о l 1 — яо1 то агяЛ'(йе) = 1пп агя ~ ) при условии, что Л'(1о) не и со г1 — го есть отрицательное число. Если Л'(йе) < О, то, вообще говоря, 1пп агб(п=-ы1 может не существовать. Тогда мы будем ~н-со у писать Агя Л'(йб) = 1пп Агя 1 п=-в11, понимая это равенство с и-с, ~'~-'оу' точностью до 2огй, 3с Е Ж. Итак, агя Л'(го) есть угол наклона касательного луча, исходящего из точки ге, с положительным направлением оси ОХ. Рассмотрим функцию 3(я), заданную на области П, точку ге Е Р и рассмотрим две непрерывные кривые (рис. 6) я = Л($), г = 13(1), .й б (со,13), пересекающиеся в точке го —— Л(б1) = 13(12), 11, б2 Е (со, Щ Пусть также существуют Л'(б1) ~ О и 13'(й2) ф О.
Предположим, что существует 3'(ге) 3~ О, ияо —— Дго). С помощью функции Дя) кривые я = Л(г) (1-кривая), я = 13(1) (2-кривая) перейдут в кривые ы = ДЛ(Х)) (1'-кривая), и = ~(д(й)) (2'-кривая), пересекающиеся в точке ыб. Рос. б Пусть ДЛ(1)) = 1аЯ, ~Щб)) = и(г). Угол между 1-кривой и 2-кривой (направление от 1-кривой к 2-кривой) равен Агя 13'(12) — Агя Л'(11).
Функипп комплексного переменнпгп Угол между образами этих кривых равен Агк "(12) — А В и'И ) = Агй ~УРИ ))1 — Ага ~У(ЛИ ))~ = Агк ~'(вп) + Агй,З'(11) — Агя ~'(еп) — Агя Л'(11) = Агй' Д'(82) — Агк Л'(11). Таким образом, угол между кривыми. пересекающимися в некоторой точке -,и и имеющими в этой точке касательные, равен углу между их образами при отображении Дв)., если у'(в) ~ О. Определение. Отображение /'(е) называется конформным в точке еп, если при этом отображении сохраняются углы между гладкими кривыми (или кривыми, имеющими в точке гп касательные) — т. е. угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке еп, равен углу между нх образами, пересекающимися в точке и~о — — Деп). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то отображение называется конформным отображением 1-го рода, в противном случае — конформным отображением 2-го рода.
Таким образом, если в области Р функция Дп) имеет производную 1'(в) ф О, то отображение Дг) — конформное отображение 1-го рода области Р на свой образ. В дальнейшем отображение 1-го рода мы и будем называть конформным отображением. Геометрический смысл модуля производной Пусть существует производная У (вп) = 1пп, тогда ~~'(гп)~ = 1пп ~ ! П ) -У( о), . ~У( ) -У(- ) оо е — 20 о-го 3 — еп Лв) — У(ео) Величина называется растяжением вектора Š— оп е — гр при отображении Де). Величина ~~'(еп)~ называется растяжением в точке вп при отображении у(г). Эта величина не зависит от направления вектора г — пп.
Лекция 2 ~Зд 55.~ ~пр~** рмрфу ийл)г( )=О,д торых отображение в точке хе 1) будет конформным; 2) отображение не будет конформным. Достаточное условие, при котором существует ~'(х). Если ~(х) = и(х,у)+Ы(х,у) и функции и(х., у),ц(х,у) в области Р имеют непрерывные частные производные первого порядка и выполняются условия Коши-Римана, то функция Дх) дифференцируема в области Р и 1'(г) Е С(Р). Определение. Функция Дх) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной, моногенной) в области Р, если она в области Р имеет производную Г'(г) Е С(Р). Замечание 1.
Вообще говоря, условие непрерывности производной ~'(х) лишнее: уже из существования 1'(х) следует, что ~'(х) — непрерывная функция (смотри, например, Маркушевич [10]). Доказательство этого факта требует много времени, поэтому мы будем предполагать непрерывность производной. Замечание 2. Аналитическая функция — это то же самое, что и голоморфная, или правильная, или регулярная, или моногенная функция. Различные названия связаны с различным подходом к рассмотрению аналитических функций. Теорию аналитических функций можно излагать, начиная с существования производной или с разложения в степенной ряд (так делал Коши), или через интегральное свойство аналитических функций. Мы начнем изложение с существования непрерывной производной и в дальнейшем покажем интегральное свойство аналитических функций н их разложение в степенные ряды.
Класс аналитических функций на.областн Р будем обозначать А(Р). Понятие аналитической функции на области Р подразумевает существование производной в каждой точке Р и в некоторой окрестности точки. Функция аналитична в точке, 33 Функции кемплексного переменного если она аналитична в некоторой окрестности втой точки. Г:::Л Задача б. Доказать, что условия Коши-Римана в полярных координатах принимают следующий вид: ди ди ди 1 ди — = — т —; — = — —, т~О.
ду дг' дг т д~р' Задача 7. Пусть зе и п — взаимно перпендикулярные направления, причем поворот от з к и совершается против часовой стрелки; тогда обобщенное условие Коши-Римана принимает вид дп дю дп дп де дп' дп де 2 Функции лекция ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Ф'УНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ф э НКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ Введем в рассмотрение функции, называемые элементар- ными функциями комплексного переменного. 1. Многочлен и-ой степени РЯ = аег" + а1э" ' + ... + а„, и Е И; ае, а1,..., а„— комплексные числа, ао ф О, и — степень многочлена. Функция Р(э) Е А(С), Р'Я = аепэ" '+а1(п — 1)э" ~+...
+а„ь 2. Рациональная функция Р(х) ась" +а1г" '+... +а„ Я(~) Ь тп+Ь ~пь-1+ +Ь Р(ь), фг) — многочлены, ао Ф О., Ье ~ О, РЯ и фл) не имеют общих множителей. Если фх) = Ье(э — ~,)~'... (в — ~р)~', г; ф э-, г' ~ у, й1 + й2+ ... + йр — — т, то функция В(~) Е А(С1(г~,... эр)). Порядком рациональной функции называют тах(п. т). 3. Функция е' = ехр(э) = е*(сову+ г э1пу), если х = х+ гу. Функция е' Е А(С), (е')' = е'. + 4.
Гиперболический косинус сЬ г = 2 е' — е ' Функция сЬ г б А(С), (сЬэ)' = е' — е ' 5. Гиперболический синус вЬ г = 2 Элементарные функции комплексного переменного ег + е-г Функция зЬг Е А(С), (зЬк)' = = сЬ2. 2 е" — е *' 6. Тригонометрический синус зш 2г евое + е — вл Функция зш з Е А(С), .(згп 2)' = 2 7. Тригонометрический косинус созе = . Функция 2 соз к Е А(С), (соз г)' = — згп г. з1пк, 1 8. Функция 1д г =, (18 а)' = —, соз а соз2 к 2 ф — (2п + 1), и = О, ~1, ~2,....
Функция фг Е А(С~(л'/2 . (2п + 1), и = О, ~1, ~2,... 1). соз г 1 9. Функция с1д г =,, (с18к)' = — —. зш З1П 2 г ф тгп, и = 0,~1,~2,..... Функция с18л Е А(С~(ггп,п = О, ~1,к:2,... 1). зЬ2 10. Гиперболический тангенс гЬ к = —. сЬг Функция 1Ь2 Е А(С'11г(гг~2+ Ьг), Й = 0,~1,~2,...)). сЬ2 11. Гиперболический котангенс сгЬ г = —. зЬг Функция сйЬ 2 Е А(С ~ (йгг, Ус = О, ~1, ~2,... ~).
Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Такими функциями являются многочлены, синус, косинус, ехр 2, гиперболический синус, гиперболический косинус. Теория целых функций, в частности, разложение в Ряд по целым функциям, получила широкое применение в дифференциальных уравнениях, уравнениях в частных производных, в функциональном анализе. Более подробно с теорией целых функций можно ознакомиться, например в монографии А Ф. Леонтьева [2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
