Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть для любого п Е Я Яг) Е С(Е) и ряд ~ ~„(г) е=! сходится равномерно на Е к функции у(г). Тогда Дг) е С(Е). 2. Пусть для любого и Е И существует интеграл ) Яг) сЬ, г Ряд ~. Д„(г) сходится равномерно на кривой Г к функции у(г). н=! Тогда существует интеграл ) у(г) Иг, при этом г ~ив~.=',» ~!.ма*. г "=' г Пусть у"„(г) = и„(х, у) + 1и„(х, у). Теорема. Ряд ) ~„(г) сходится равномерно на Е тогда и=! и только тогда, когда равномерно на Е сходятся два ряда ~ . 'и„(х, у), ) и„(х, р). и=! и=! Доказательство следует иэ справедливости неравенств: Лекция 6 Доказательство этих свойств следует из предыдущей теоремы и аналогичных свойств действительных рядов.
Смотри, например, [41. Определение. Функциональный ряд ',~ г"„(г) сходится равною=1 мерно внутри области Р, если ряд „'~ Яг) сходится равною=1 мерно на любом компакте К с Р. Заметим, что условие равномерной сходимости внутри — более слабое условие, чем условие равномерной сходимостн. Первая теорема Вейерштрасса. Пусть г"„(г) е А(Р) дяя любого п Е Л и для любого компакта К С Р ряд 2 г„(г) сходится равномерно к г(г) на К. Тогда 1),г"(г) Е А(Р); Ю ~'"М = Е Ф( ), ~ Р.
а=1 (/с) Ряд )'„ф 1(г) сходится равномерно внутри области Р. пш1 Доказательство. Для любого го Е Р существует замкнутая окрестность Гг(ге) = (г: ~г — ге~ < б'1 С Р, 6 ) О. По интегральной формуле Коши Х~(г) = — / " : г Е Уг(га) 1 Г ~„(~) И( 2~гг' %-м1=б Так как множество )~ — гг! = б — компакт и РЯд 2 У"„(г) схоп=1 дится равномерно на ~( — го~ = 6, то Числовые и функциональные ряды =61 )4-оо!=б )4-оо)=б Из равномерной сходимости ряда на ~( — гв~ = ц следует, что 1 Д~) сЦ ~(~) е СЯ вЂ” бв~ = д); тогда интегРал —, / есть 2Ш)о „) б интеграл типа Коши, который является аналитической функцией внутри (.)б(бе), т.
е. функция ~(в) Е АЩбе)). Так как точка ве — произвольная, бв ~ П, то Дб) Е А(В). Докажем справедливость второго утверждения. Для любого lс 6 Я )б- о)=б ЕУ(ч) К (~ б) в+1 ~ч) ~ у(ь) ( И-оо)=б ХЫ) <~ (~ б)/с+1 )Е-оо~=б равномерную сходимость внутри облаНапомним, что равномерная сходимость Осталось доказать (ь) сти Й ряда 2' ~д (б). о=1 Из равномерной сходи мости ряда 2,,)'„(~) на множестве в=1 Ы вЂ” бо~ = д следует Лекиля 6 внутри области Р есть равномерная сходимость на любом компакте К (..
Р. Покажем, что это условие эквивалентно равномерной сходимости на любом круге, лежащем в области Р. Действительно, если есть равномерная сходимость на любом компакте, то будет равномерная сходимость и на любом круге, лежащем в области Р, так как круг — компакт. Обратно, пусть есть равномерная сходимость на любом круге, лежащем в области Р.
Возьмем компакт К с Р (рис. 14). В силу леммы Гейне-Бореля существует конечное число кругов, покрывающих компакт К, поэтому можно взять круги таким образом, что замкнутые круги целиком принадлежат области Р. Так как число этих кругов конечно, то из равномерной сходи- мости ряда на этих кругах будет следовать его равномерная сходимость на самом компакте К с Р. Итак, будем доказывать равномерную сходимость ряда ~: ~ (~) на любом круге (ь) в=1 К). Р. Рис. 14 Пусть К = ~~ ( ~~ — -"()~ < г) с Р.
Существует круг большего радиуса (О < г < г)) — Цг — -.()~ < г1) (.. Р. Пусть а ~ К, т. е. (г — ле~ < г; имеем Числовые и функциональные ряды или И 2к г! < — шах 2К (Г! — Г)Ь+! К- и)= ! и+р '11г > О, 3Х(г), Уп > М(г), Мре И, !1г Е ОР:,у Ь(г) <г, и+р н1, ~ Р„(г) Е А(Р) ).) С(Р), поэтомУ в силУ пРиннипа максии=и+1 мума модуля аналитической функции следует В силу равномерной сходимости ряда ~; у„(~) на любом коми=1 пакте следует равномерная сходимость ряда 2; Д (г) к ~~")(г) (ь) 1=1 на круге К = (г: )г — го~ < т~.
Так как круг — произвольный, лежащий в области .Р, то отсюда следует равномерная сходимость внутри области Р ряда 2; у) ) (г). Теорема Вейерштрасса (ь) 1=1 доказана. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть Р— ограниченнол область, для любого и Е И у„(г) Е А(Р)ПС(Р) иряд 2 ~„(г) и=1 сходится равномерно на границе дР области Р. Тогда ряд у„(г) сходится равномерно в (Р) к некоторой функции и=1 У(г) Е А(Р) П С(Р). Доказательство. Из равномерной сходимости ряда 2.
~„(г) и=1 на ОР следует Лекция б т. е. ряд ~ Ял) сходится равномерно на с1 и, поэтому, ~(г) = о=1 ~: Ял) е С(Р), а по первой теореме Вейерштрасса Дг) Е 1=1 А(П). Теорема доказана. Все, что было сказано для функциональных рядов, можно перенести на функциональные последовательности. Если задана функциональная последовательность (Яе)), то можно составить ряд ~,(~ь+1(~) — Яе)), при этом частичные суммы о=1 Я„ 1(г) = у„(~) — ~1(е). И, наоборот, по функциональному ряду ~ Ях) можно рассмотреть последовательность частичных п=1 сумм Я„(е) = ~ Яс).
/с=1 Рассмотрим частный случай функциональных рядов — степенные ряды. Ряд вида ~ а„(е — ео)п называется степенным п=о рядом с центром разложения в точке ео, где (а„) — фиксированная последовательность комплексных чисел. Первая теорема Абеля. Если ряд ~: а„(е — д1)" сходится в =о точке е1 ф со, то он сходится в точке е: (е — го~ < ~л1 — го), причем абсол1отно. ~ с — ео1 Доказательство.
Имеем ~а„(г — ~о)"! = ~а„(г1 — со)" ~ ~ Е1 — ЕО ~ Так как ряд „". ап(х1 — го)" сходится, то существует ЛХ ) О., =о такое, что ~а„(г1 — го)" ~ < М для любого п Е 1ч. Тогда общий член ряда ~ а„(е — го)" удовлетворяет неравенству ппв Числовые и функднонвльные ряды и ряд ~ а„(г — ге)" сходится абсолютно. н=а 1 Введем радиус сходимости степенного ряда В = 1пп ~/[а„[ В курсе математического анализа доказывается теорема Коши- Адамара (см., например, [41).
Теорема Коши-Адамара. Если В = 0 (т. е. !пп ф[а„[ = ос), то ряд ~ а„(г — ге)" сходится только в точке ге. Если В = оо (т. е. 1пп Яа„~ = 0), то ряд сходится абсолютно 1 ОЭ во всей комплексной плоскости С и равномерно внутри С. Если 0 < Л ( оо, то ряд сходится абсолютно внутри круга [г — ге[ < В, равномерно внутри круга; вне замкнутого круга ряд расходится. Пусть 0 < В. Так как общий член ряда а„(г — ге)" Е А(С),. то по первой теореме Вейерштрасса Дг) = ~ а„(г — ге)" есть в=о аналитическая функция внутри круга [г — ге[ ( В, при этом (!"!(г) = ,'~ а„п(п — 1)... (и — Й+ 1)(г — ге)" я=о а„п(п — 1)... (и — Й + 1) (г — ге)" Положим г = го, тогда Тем самым, если 0 ( В, то сумма степенного ряда имеет вид У(г) =,~, (г — го)", г Е (г: [г — го[< Е) У (го) г=о во Лекция 6 Фигурирующий здесь ряд носит название ряда Тейлора для функции ((г). Возьмем О < р < Лиобозначим М(р) = шах ~((г)~, ((г) = )й-м(=р 2.
'а„(г — го)". Так как ((г) Е АЦг — ге) < В), то К- о!=р ~У~ ~(го)! = 2кр = /с! 2к рь+' р" — неравенство Коши для производных функции ((г), к Е И. Для коэффициентов степенного ряда имеем неравенства ~аь~ <, кЕИ, М(р) — неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Тейлора. Пусть функция ((г) е А(Р) и точка ге Е Р. Пусть р = р(ге,дР) > О (р может равняться оо). Тогда функцию ((г) можно разложить в степенной ряд Дг) = ~ а„(г — го)", г Е (г; (г — го( < р), =о который сходится равномерно внутри круга, при этом ((и)( ) а„= .
Из вида коэффициентов а„следуеги, что и.' разложение функции ((г) в степенной ряд единственно. Доказательство. Возьмем круг с центром в точке ге и радиусом р1, О < р1 < р (рис. 15). Круг (г — ге~ < р1 целиком принадлежит Р. Возьмем также круг с центром в точке ге и радиусом рг .' О < рг < рь Числовые и фуннцнонвльные рады Рис. г5 Рассмотрим точки г: ~г — го~ < рг, для таких г имеем И) 1 1 И)< 2огг',/ К- о!=а 1 Функцию — (часто называемую ядром интеграла) разло- ( — г жим в ряд: 1 1 — 1 — го — (г — го) 1 1 ~ (г — го 1 (~ — го) (1 — — ' — '0) 4 ~0 „0 4 ~0 Так как « — 1, то рассматриваемый ряд сходится г — го Рг 6 — го Рг равномерно по ~: ~ф — го( = рг прн г Е 1г: !г — го~ < рг).
Поэтому (г го) ~ ао(г го) а„= —, 2ог1 И- о)=и Лекция 6 82 Так как р1 и р2 были любые, р1 < р, р2 < р, то разложение в степенной ряд справедливо в круге ~е — вв~ < р — максимальный круг с центром в точке =р, лежащий в области Р. Ряд сходится равномерно внутри этого круга. Теорема доказана. Рассмотрим функцию ~(е) Е А(С) (целая функция).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
