Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 12
Текст из файла (страница 12)
г у(~) ~~ 22гг )Е-пй=б А так как 2 Е Р1 П Уб(20)~ 2 б Р2 П Ьб(ео), /ЛЫ) К ( Л(2) 2лст / ( — г ( О, г, 1 / У2(~) Ж ~( У2(2)~ 2я27 ~ — 2 ~О, " Е Р2 П Уб(20) ~ 2 Е Р1 П Уб(ео), г2 Лекция 9 то Д2) = ~~(~), . Е Р~ П Уб(~о), Д~) = ~~(~), в Е Ря П Уб(~о). Так как точка ге е Г была произвольная, то отсюда следует, что функция 1(л) Е А(Г). Окончательно, 1(г) Е А(Р), Р = Р,иР оГ. Следствие. Пусть функция 1(~) Е А(Р) й С(Р О Г), где Г с дР (граница области), à — кусочно-гладкая, жорданова кривая. Если 1(г) = О, в Е Г, то Дг) = О, г Е Р.
Достаточно функцию 1 (~) продолжить через Г нулем, тогда по внутренней теореме единственности ~(г) = — О, в Е Р. Возникает вопрос, можно ли условия, наложенные на функцию у(л) в следствии, ослабить? Мы сформулируем в качестве задачи следствие из теоремы единственности И.И. Привалова [6]. ~заю ~ 29. пу фу ц л*) е А~Р) л с~О О Г), д  — область, граница которой дР есть замкнутая, жорданова кусочно-гладкая кривая, Г с дР. Кривая à — положительной меры (меры Лебега).
Доказать, что если 1(г) = О, я Е Г, то Д~)=О, геР. При доказательстве принципа непрерывности предполагалось, что области Р~ и Рт таковы, что Р~ й Р~ = Я. В этом случае мы получаем однозначное аналитическое продолжение из области Р~ в область Р~. Если отказаться от этого, т. е. Р~ й Ря ф И, то аналитическое продолжение может привести к многозначной функции. Например, рассмотрим две функции ~~(~) = 1пв = 1п]з] + г агя г, в е Р, = ~в: — — < агя в < ~т) и Я~) = (1 и ~), = 1п ]л]+ г агк л + 2пг г е Ре — — в: — и < агя в < — .
Функции ~~(в) е 23 А (Р~) П С (Р~ 0 Г), Л (в) Е А (Щ) П С (Рг 0 Г), где Г = (в: у = О, — 2 < х < — 1). Но так как Р~ П Р~ ~ Я, то аналитическое продолжение через Г приводит к многозначной Виды аналитических продолжений. Поверхность Римана 103 функции 1 пи. 3. Аналитическое продолжение через разложение в ряды Рассмотрим ряд 2. а„(2 — го)" с радиусом сходимости Л > О. Тогда в области ~2 — 2О~ < Л функция Д2) = 2 а„(2 — хо)" и=о есть аналитическая функция (рис. 21).
Возьмем точку 21 Е (=: ~2 — ге~ < Л). По теореме Тейлора функцию Дг) можно разложить в ряд 2,' Ь„(2 — 21)", сходящийся в некотором круге и=О ~2 — 21! < Л1, Л1 ) О. Рис. 21 Может случиться так, что круг ~г — л1~ < Л1 не лежит целиком в первоначальном круге ~2 — го~ < Л, тем самым мы получили непосредственное аналитическое продолжение функции Дг) в более широкую область, чем круг ~г — 2О~ < Л.
Взяв точку 22 Е 12: ~г — 21~ < Л11, повторим разложение в степенной Ряд и т. д. Через некоторое число шагов мы можем прийти к первоначальному кругу, но аналитическое продолжение может не совпасть с первоначальной функцией, и тогда аналитическое продолжение приводит к многозначной функции, в противном случае — к однозначной.
+со Рассмотрим функцию 1(2) = — = 2, 2", ~2~ < 1. Возь- мем точку г1 е ((2! < Ц, тогда Лекция 9 104 1 1 1с-сс)" У( ) — 1 .+.,—., 11 — сс) 1- — —;~ с=О ~ < 11 ~ Мы переразложили функцию 1(г) по степеням г — 21, Ряд сходится в кРУге )г 21! ! '! дает аналитическое продолжение суммы ряда 2; г" (рис. 22). Рис. 22 Как бы мы ни раскладывали функцию ~(г) в ряд, точка 2 = 1, лежащая на границе круга сходимости ряда ', 2", не будет я=О входить в область сходимости. Эта точка является особой точ- +00 кой для ряда 2,' и".
Рассмотрим ряд 2 а„(г — гО)", область сходимости которого я=О )г — гО( < В, где О < В < оо. Определение. точка 1, е ()г — ге! = гЦ называется правильной или регулярной точкой для суммы ряда Дг) = 2, а„(г — гО)", =О если существует функция Е(г) Е А(УО(~)), Б ) О, такая, что Дг) = г"(г), и Е Уг(~) Рог — ге! < Я1. В ЛЮбОМ друГОМ СЛуЧаЕ точка 1", е ()г — ге! = В~ называется особой точкой, лежащей на границе круга, сходимости степенного ряда.
Виды аналитических продолжений. Поверхность Римана 105 Если мы вернемся к ряду ~'. г", то все точки, лежащие на а=е границе круга сходимости ~г~ = 1, являются правильными, за исключением точки г = 1. Справедлива Теорема. Пусть радиус сходимости степенного рлда 2', а„(г — го)" конечен: О < В < эо; тогда на границе круга =а сходимости имеетсл по крайней мере одна особал точка. Доказательство. Предположим противное. Пусть каясдая точка границы ~г — ге~ = В есть правильная. Для каждой точки г1 .. ~г1 — го~ = В существует 6, > О и Г(г) Е А(Уг,(г1)) такая, что г (г) = 1 1г), г Е Уд,(г1) П (~г — го! = В), 11г) = 2. а„(г— а=е ге)".
Тем самым мы имеем открытое покрытие окружности ~г — га~ = В кругами радиуса б~ с центром в точке гы 6~ — — б1(г1). Так как окружность — компакт, то по лемме Гейне-Бореля существует конечное число кругов, покрывающих окружность и попарно пересекающихся. По теореме единственности отсюда следует, что функция г'(г) Е А(Р), где область Р содержит круг ~г — го~ < В и Г(г) = Дг), г е Цг — го) < В). Тогда существует круг )г — го~ < В1, В~ > В, и круг Цг — го! < В1) С Р.
Разложим Г(г) в степенной ряд в круге )г — го~ < В|.. Р'(г) = ~ Ь„(г — ге)". В силу единственности разложения =о функции в степенной ряд, отсюда следует, что а„= Ь„для любого и = О, 1,2,..., но а„определяют радиус В, а Ь„определяют радиус В1, а так как В ф В1, то приходим к противоречию, предположив, что все точки границы круга сходимости правильные. С::::Л Задача 30. Пусть функция У(г) Е А~Р)' где г1' " ная область.
Доказать, что тогда функция У(~) ~ 1ов Лекция 9 область Р С Р1. Задача 31. Привести пример степенного ряда ~ а„(х — ге)" с я=в конечным радиусом сходимости В, 0 ( В ( оо, для которого каждая точка границы ~г — ге~ = В есть особая точка. 4. Общий случай аналитического продолжения Пусть функция у(х) задана на области Р. Назовем элемент вида (1",Р) парой, если функция ~(я) Е А(Р). Скажем, что пара (у1, Р1) является непосредственным аналитическим продолжением пары (1, Р), если Р г1 Р, ф Я и 1 = ~~ на Р П Рь Назовем конечное число пар (Л,Р1),(,6,Р2),...,(1„,Р„) цепочкой, если (~я+1, Рь+1) является непосредственным аналитическим продолжением пары (~ь, Ря), й = 1,2,...,и — 1. Совокупность пар ((~,Р)) назовем общей аналитической Функцией если для любых пар ®,Р|),(Л,Р~) из этой совокупности существует цепочка из этой же совокупности такая, что с ее помощью можно перейти от ф, Р1) к (6, Р2).
Общую аналитическую функцию назовем полной аналитпической функцией, если она содержит все аналитические продолжения каждой пары. При этом полная аналитическая функция может быть многозначной. Например, если мы рассмотрим фиксированную ветвь (Ьп х)„, г б С~И, то все аналитические продолжения этой функции приведут к многозначной функции Ьпх (бесконечно-значной). Для того, чтобы полную аналитическую функцию можно было рассматривать как однозначную, Риман ввел в рассмотрение так называемую поверхностпь Римана.
Рассмотрим полную аналитическую функцию ((1„Р;)) и рассмотрим область С = ( ) Р;, объединение областей Р, не более чем счетное. Возьт мем листы плоскосгей, изображающие области Р, (число листов соотвстству< ~ числу индексов 1). Два листа, соответству- Внцы аналитических продолжений. Поиерхность Римана 107 Ряс. 2а Функция ~/л, дяк листа Ео, Ем Возьмем и листов плоскости с разрезом по положительному лучу К+. Для каждого и-го листа плоскости обозначим верхний берег разреза через Г+, нижний берег разреза — через Г~., й = 0,1,2,...,п — 1.
Все эти листы склеим следующим образом Г+, =Г2, ..., Г,+,, =Ге. Г+ = Г,, Получили п-листную поверхность Римана, на которой фай†однозначная функция н аналитична, за исключением точек ве- твления 2= О, 2 = оо (см. рис. 23): ющие областям Р; и О,, г ф 1, склеим по их общей части КПР„ если эта общаЯ часть не пУста и 1'; = Д на П; П.Ру. Тогда мы получим, вообще говоря, многолистную поверхность. Эта поверхность и называется поверхностью Римана. На этой поверхности, соответствующей области С, полная аналитическая функция ((Д, В;)) однозначна. Она осуществляет однозначное соответствие между поверхностью Римана и своей областью изменения.
Рассмотрим два примера. 1. Функция фБ~, и е 1ч', п > 1 — многозначная, имеет и различных аналитических ветвей на С~К+. 108 Лекция 9 2. Рассмотрим многозначную функцию Ьп я, имеющую бесконечно много однозначных ветвей (Ьпз)„, /с = О, ~1, ~2....., аналитических на С~К, и возьмем счетное число листов плоскостей с разрезом по лучу К . Склейку проведем следующим образом: Г~ — — Г„,, ..., 1=О,~1,~2....., где Г+, — верхний берег разреза отрицательного луча К, Г,,— нижний берег разреза. На этой бесконечнолистной поверхности Римана функция Ьп я — однозначная функция и аналитична, за исключением точек ~ = О, г = оо, которые являются точками ветвления. РЯДЫ ЛОРАНА.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОВЫЕ ТОЧКИ лекция Ряд вида 2 а„(в — го)", где (а„) — последовательность комплексных чисел, и = О, ~1, ~2,... — называется ридом Лорана. По определению ряд Лорана сходится в точке г, если одновременно сходятся два ряда '~ а„(я — го)",,~, а. (я — ~о)". Область сходимости первого ряда есть открытый круг 1 ~~ — го~ < В, В = . Чтобы определить область 1пп фа„~ 1 сходимости второго ряда, сделаем замену я — эо — — —, тогда Ш а„(я — яо)" = ~ а „ы".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
