Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1 Последний ряд сходится в круге ~ю~ < т„т, =, по- 1пп фа „( и=-1 этому область сходимости ряда 2 а„(я — яо)" есть множество (г — ~о! > т = 1пп ~/Га „~. Лекция 10 110 Итак, ряд Лорана сходится в кольце т с ~г — го~ < В при условии, что г < В. Если т > Н, то у ряда Лорана нет открытой области сходимости.
В частных случаях, когда т = О или Л = оо, областью сходимости ряда Лорана является или открытый круг с выколотой точкой, или внешность круга, или вся плоскость с выколотой точкой. Ряд ~ а„(г — го)" называиьв и=-1 ется правильной частпью ряда Лорана, а ряд 2', а„(г — го)" называется главной частью ряда Лорана. Так как ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, лежащем внутри кольца (следует из свойств степенных рядов), то сумма ряда Лорана есть аналитическая функция на области сходимости ряда Лорана — внутренности кольца г < )г — го~ < В. Верно и обратное утверждение, а именно, справедлива ТеоРема ЛоРана.
ПУсть фУнкЦиЯ 1(г) Е А(т < ~г — го~ < В); тогда функцию Дг) можно разложить в ряд Дг) = '~ а„(г — го)", г < ~г — го~ < Рг котпормй сходится равномерно внутри кольца. Разложение в ряд Лорана единстпвенно, при этом К-га~=р Из вида коэффициентов а„, определяющихся функцией Дг), уже следует единственность разложения. ,11оказательство. Возьмем точку г Е (г: т < ~г — го~ < Я) (рис. 24); тогда существуют Р1 и Рг такие, что г с р, < Рг < о Р1 < ~г — го~ < Рг.
Ряды Лорана. Изолированные особые точки По интегральной теореме Коши У( ) 1 41' И) К 1 Г ШЖ 2яг,/ С вЂ” з 2кг,/ ( — а ' К-~о!=Р1 к со '=Р2 обход по кривым в первом и во втором интегралах производится 1 против часовой стрелки. Ядро интегралов — функцию —— ~ †разложим в ряд. В первом случае на кривой ~~ — ао~ = ро имеем Рис. 24 на кривой ~( — зо~ = рз сходится равномерно, ~а — во~ ( 1.
Поэтому Р2 Лекция 10 1 На кривой ~~ — го~ = р! ядро представим в виде ( — в 1 1 1 4 — з ч — во — (з — зо) з — зо с- Ы-")" (3 — зо)"+' =о (к — зо) (( з )и+! -Е Ряд ~ , сходится равномерно на кривой (4 зо)"+ и= аа ~~ — го~ = р!, так как 1 ) 1. Поэтому 1ч зо Р! / УЫ)Ж "С=' 1 / 1% Х (,,). 2я!',/ ~ — г ~ 2яг „! (( — зо) "+' М-аа'!=я! К вЂ” аа1=е! Тем самым 1'(г) = ,'а а„(з — го)", а„= —, / ~,, т < р < В. Г М)К 2яг l Ы вЂ” ко) "+' Теорема доказана. Пусть функция ! (г) аналитична в области О < ~г — го ~ < т, за исключением точки го. Такая точка го называется изолированной особой точкой функции Дз). Проведем классификацию изолированных особых точек, исходя из разложения функции Дв) в ряд Лорана в кольце О < ~и — зо~ < т.
Ряды Лорана. Изолированные особые точки Итак, пусть 1(я) Е А(0 < ~з — зо~ ( т). По теореме Лорана функцию 1(г) в этом кольце можно представить рядом Лорана: У(а) = ~~~, а (т — ао) О < ~а — зо~ < т. Если а„= О, п = — 1, — 2,..., то точка го называется устрани- мой особой точкой. В этом случае имеем ,г"(з) = ,'1 а„(а — ао)", 0 ( )а — ао~ < т. Так как РЯд ТейлоРа 2 а„(в — го)" сходитсЯ в кРУге (г — зо~ < т, =о то его сумма есть аналитическая функция в круге ~а — го~ < т, включая точку зо. Тем самым функцию 1(з) можно доопределить в точке ао, положив 1(го) = ао, и она будет аналитична в круге ~я — го~ < т. Отсюда следует, что в некоторой окрестности точки го ..
0 < ~г — го~ < б функция г(а) по модулю ограничена. Справедливо обратное утверждение, а именно: пусть точка го — изолированная особая точка Да) и ~Да)~ ограничен в некоторой окрестности точки го . .0 < 1г — то~ < 6. Отсюда следует, что точка зо — устранимая точка. Докажем это утверждение. По теореме Лорана и=0,~1,~2, ..., 0<р<6.
И) К 4 — ао) "+' ~а-ав~=я 1 2ттр М Тогда !а„/ < — — М = —, /~(з)~ ( М, з Е (а: 0 < 2л р" +' р" ' М ~г — зо! < б). Если п < О, то а„= 0 ( 1пп — = О, и < 0), то р +ор есть точка ао — устранимая особая точка функции У(г). Лекция 10 Итак, мы доказали критерий устранимой особой точки точка »о — устранимая особая точка функции 1(») тогда и только тогда, когда ~Д»)~ ограничен в некоторой окрестности О< )» — »о) <о.
[заем 32] до аз~~ ~юу~ ййй р р й уюр~ йй м*б*й точки»о функции Д»): точка»о — устранимая особая точка функции 1 (») тогда и только тогда, когда существует конечный предел 1пп 1(»). Если существует натуральное й такое, что а„= О, и = — й — 1, — й — 2,..., но а й ф О, то точка»о называется полюсом порядка й. Пусть точка»о — полюс порядка й, тогда разложение функции Д») в ряд Лорана имеет вид ~(») = а и(» — »о) + а-и+~(» — »о) +'+ .. + а-1(» — »оГ'+ ~ а (» — »о)", 0 < ~» — »о! < т =о или У(») (» — »о) = а и+ а ь,(» — »о) +... + ~ а„(» — »о)"+". Ряд, стоящий справа, сходится в круге ~» — »о~ < т и представляет аналитическую функцию ~р(»), у(»о) ф О.
Поэтому Х(») = „, 0 < )» — »о) < т, при этом 1пп Д») = со. Заю() ( — )"' й йй 1 (» — »о)~ метим, что функция — = 1 (») ф(») — аналитическая функция в ~» — »о~ < б (6 < т) и точка »о для нее является нулем кратности /с. Покажем обратное, а именно: если»о — изолированная особая точка функции т"(») и при этом 1пп Д») = оо, то точка й йо Ряды Лорана. Изолированные особые точки яо есть полюс. Так как 1пп Дг) = оо, то существует окрест- в 20 ность точки го . О < ~з — го~ < 6 (О < 6 < т) такая, что функция 1 р(а) = — аналитична в этой окрестности и йпз у(г) = О.
Отйс) во сюда следует, что го — устранимая особая точка для функции ~р(г) и ряд Лорана для у(а) имеет вид фя) = ,'~ а„(а — ао)", ао — — О, Ус > 1, аь ~ О. Поэтому +00 -1 Дз) = „"„~ а (г — зо)" " = „(р~(а)) ', р1(г) е А(~г — го~ < 6з), ~р1(го) ~О, О <61 <6 или 1 У( ) = ( ао)а ' . уз(г), уз(а) Е А()г — го~ < 61), Фо(ао) ф О. Отсюда следует, что точка ао — полюс порядка й для функции У(з). Итак, мы доказали критерий полюса для функции Да): точка ао является полюсом функции Дг) порядка Й тогда и 1 только тогда, когда 1пп Дг) = оо и функция имеет точку ~-~хе ~(3) го нулем кратности Й. Изолированная особая точка, не являющаяся ни устранимой, ни полюсом, называется существенной особой точкой функции.
Это значит, что в разложении функции Дг) в ряд Лорана в окрестности точки го Лекция 10 существует бесконечно много коэффициентов вида а „„, пь б 1Ч, отличных от нуля. Если точка го — существенно особая точка для функции Дг), то не существует ни конечного, ни бесконечного предела 1пп ~(я). о оо Рассмотрим поведение функции 1(г) в окрестности существенно особой точки. Пусть Ек — множество значений функции 1.(я) в окрестности О < ~г — ге~ < 6 < г.
Справедлива теорема Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. Пусть точка ге — существенно особая точна функции 1(г); тогда Еь = С. Доказательство. Проведем доказательство от противного, т. е. предположим, что существует А е С, но А ф Ю~. Если А = оо, то это означает, что оо ф Еь, и, тем самым, существует б > О такое, что в окрестности О < (г — го~ < б модуль (Дг)~ ограничен, а тогда точка ге — устранимая, что противоречит условию.
Рассмотрим А е С такое, что А ф Ею. Это означает, что существует р > О такое, что для всех г: О < )я — ге~ < б 1 1 следует ~Дг) — А~ > р > О. Тем самым < — или функ- 1 ция ор(я) = аналитична в окрестности О < ~в — ге~ < 6 и ограничена по модулю. Точка го является для нее устранимой, поэтому существует конечный предел 1пп 4~(я) = Ае. Если оо Аа — — О, то 1пп (1(я) — А) = оо, а тогда 1пп 1(г) = оо и точка га 2 оо 2-Фо является полюсом функции 1'(г), что противоречит условию. 1 Если Ао ~ О, то 1пп Дг) = А+ —, т. е. яо — устранимая 2 оо Ао особая точка функции 1(я), что также противоречит условию.
Итак, предположив, что Е~ ~ С, мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Ряды Лорана. Изолированные особые точки Приведем формулировку большой теоремы Пикара (без доказательства). Пусть го — существенно особая точка функции Да). Тогда для любого комплексного числа А, за исключением, быть может., одного, существует последовательность (з„): г„Е 1а: 0 < ~а — зе! < г), 1пп г„= зо, такая, что Дг„) = А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
