Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Покажем, что л~ и г~ различны и л1 ф ~е, г2 ф ге. Если бы л1 или гг совпадали с ве, то о = О, но это не так. Предположим, что точка г1 — нуль кратности большей или равной двум. Тогда в окрестности точки г1 функция р(г) + а = (в — г1)2ф(г), где функция ф(~) е А(У,(~,)), е > О. Следовательно, для функции 1(г) справедливо представление Дг) = ае — а+ (в — ~1)~ф(~), а тогда ~'(~1) = О, но точка ~1 Е Уз,(ге) С У1(~е), в окрестности Ув(лр) ~'(г) ф О, в ~ ге. Итак, существуют по крайней мере две точки г1 ф г2 такие, что ~р(г1) + а = ~р(гр) + а = О, а тогда Дг1) = Дл2), что противоречит однолистности функции Дг). Следствие доказано. Следствие 3 (теорема Гурвица).
Пусть задана последовательность функций (Яг)1, 1".„(г) Е А(Р), Чп Е И, и пусть последовательность внутри области равномерно сходится к функции 1(л) у~ О, е Е Р. Тогда для любого контура Г С Р, Рг С Р, и не проходящего через нули Дл), существует число пе — — пе(Г) такое, что для любого и > па(Г) число нулей 1~1. = 1~~1 в Рг. Доказательство. Пусть гп = пап )Д~)~ > О и О < р < т. лег В силу равномерной сходимости внутри области Р (à — компакт) последовательности (У„(г)) существует число пд = пе(Г) такое, что для любого и > пе(Г) справедливо неравенство Логарифмический вычет 139 По теореме Руше отсюда следует, что Му = Юг+у„у~ = Ху„ (число нулей внутри Рг).
Теорема доказана. Пример на теорему Руше. Рассмотрим многочлен Р(в) = ва — 4аа + г2 — 1. Пусть Г"(в) = — 4в~, ~р(в) = в~ + г~ — 1. На окружности ф = 1 справедливы неравенства ~у(в)~ < 3, ~~(г)~ = 4. По теореме Руше функции Дг) и Дг) + р(г) = Р(ъ) имеют внутри единичного круга ~в~ < 1 одинаковое число нулей, а именно 5. Рис. 30 Положим Дг) = ва, <р(в) = — 4ва+ вт — 1. На окружности ~г~ = 2 справедливы неравенства )Ю( )~ < 1+2 +2 <2~, !У( )! =2 .
По теореме Руше многочлен Р(в) имеет внутри круга ~в~ < 2 ровно 8 нулей. Тем самым в области 1 < ~в~ < 2 у многочлена Р(в) три нуля (рис. 30). лекция КОНФОРМНЫЕ ОТОВРА2КЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОВРАЭКЕНИИ Ранее, рассматривая дифференцируемость функции Дг) в точке го, мы дали определение конформного отображения в точке го, а именно: непрерывное отображение ~(г) является конформным в точке го, если оно сохраняет углы по величине и по направлению между любыми двумя гладкими кривыми, проходящими через эту точку. Было показано, что если функция Дг) аналитична в точке го и ~'(го) ф О, то в этой точке функция Дг) осуществляет конформное отображение. Рассмотрим функцию Дг), аналитическую в точке го.
Из аналитичности функции ~(г) в точке следует ее аналитичность в некоторой окрестности У,(го) = (~г — го~ ( е), е > О. Пусть ~'(го) ~ О. Покажем, что тогда функция Дг) некоторое открытое множество, содержащее точку го, переводит в некоторую окрестность точки юо — — Дго), причем отображение взаимно- однозначное. Таким образом, справедливо г'тверждение.
Пусть функция (.(г) аналитична в точке го, ~'(го) ф О; тогда функция Дг) локально однолистна и некоторое открытое множество, содержащее точку го, отображает на некоторую окрестность точки юо = Дге). Докажем это утверждение. Так как функция Дг) аналитична в У,(го), е > О, то ее можно разложить в ряд Тейлора в Конфор мные отображения 141 этой окрестности Х(г) = ао + 1 а„(г — го)", )г — го! < г, о=1 ао = У(го) = и~о, а1 = ~'(го) ф О. Рассмотрим функцию ~р(г) = ~ а„(г го)" = (г го) ~,» а (г и=1 ны1 го)" '. Так как а1 ф О, то существует б: О < Б < г такое, что при ~г — го~ < о функция ~р(г) ~4 О, кроме точки г = го, причем го — нуль 1 порядка. Пусть т = шш ~~р(г)~ > О, а а — любое комплексное ~г-ге~жг число, такое, что О < ~о~ < т. По теореме Руше функция ~р(г) + а имеет столько же нулей в области ~г — го~ < 6, сколько и функция ~р(г).
То есть функция у(г) + а имеет один нуль г~ ~ го, ~г1 — го~ < Б. Тогда Дг~) = ~р(г~) + ао — — ао — а = ио — а. Тем самым мы показали, что для любого а: О < ~а~ < т существует прообраз точки г1 . у (г1) = щ> — а. Или, что то же самое, окРестность точки ио . .~1о — юо~ < ~т~ имеет пРообРаз в окРестности ~г — го~ < б, отображение взаимно-однозначное.
В силу аналитичности функции Дг) в области ~г — го~ < Б прообраз открытого множества есть открытое множество. Утверждение доказано. Отсюда как следствие вытекает Теорема. Пусть функция г(г) е А(Р), Р— область, ~'(г) ф О, г Е Р. Тогда фуикция Дг) область Р переводит в область С = ДР) — образ Р.
В самом деле, мы показали, что ДР) — множество открытое, а связность |(Р) следует из того, что аналитическая функция переводит непрерывную кривую в непрерывную кривую. Не нужно думать, что взаимно-однозначное соответствие со- Лекция 13 142 храняется, если во всей области Р 7"'(я) ~ О. Например, рассмотрим Дя) = я', Р = ( — 1г/4 с агк я ( к) (рис. 31). Рис. 31 В этой области 7"'(я) = 2г ~ О, г Е Р, но функция 1'(в) не является однолистной: 7 (е 'з) = 1 (е '( к)) .
Мы показали, что если 1'(я) ф О, г Е Р, то взаимно- однозначное соответствие — локальное свойство. Поэтому, в дальнейшем, мы под конформным отображением области Р на область С будем понимать взаимно-однозначное непрерывное отображение, сохраняющее углы по величине и по направлению. В 1936 году Д.Е. Меньшов [7] доказал теорему, что если функция Дя) осуществляет конформное отображение области Р на область С, то 7"(~) Е А(Р) (теорема без доказательства). С другой стороны, мы получим, что если Дг) е А(Р) и однолистна, то ~'(~) ~ О, т. е. она осуществляет конформное отображение области на область.
Итак: 1. Функция Дг) дает конформное отображение области Р на область С тогда и только тогда, когда Дг) Е А(Р) и однолистна. Конформные отображения 11. Однолистная аналитическая функция ы = Дг) отображает область Р на область С = ДР) конформно, при этом обратная функция г = )' '(ю) Е А(С) и также дает конформное отображение области С на область Р. В теории топологических пространств показывается, что гомеоморфное отображение (взаимно-однозначное и взаимно- непрерывное) отображает и-связную область на и-связную область расширенной комплексной плоскости. В частности, конформное отображение односвязную область переводит в односвязную.
Например, нельзя конформно отобразить круг на кольцо. Возникает вопрос, а всегда ли есть конформное отображение области на область с сохранением связности. В случае, когда область односвязная, ответ дает теорема Римана. Теорема Римана (без доказательства). Пусть Р— односвлзнал область расширенной комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной тпочки. Тогда существует конформное отображение области Р на внутпренность единичного круга.
Требование, чтобы граница области состояла более чем из одной точки, по существу. Например, рассмотрим область Р = С вЂ” комплексная плоскость. Как область в расширенной комплексной плоскости она имеет единственную граничную точку оо Е С. Не существуег конформного отображения С на внутренность единичного круга ~то~ < 1. Если бы это было так, то аналитическая функция ((г), г е С, была бы на всей плоскости С ограниченной по модулю. По теореме Лиувилля она должна быть константой. Получили противоречие. Второй пример: пусть область Р = С ~ (ге). Область Р как область в С имеет две граничные точки, а как область в С имеет одну граничную точку.
Не существует конформного отображения, переводящего область Р на ~то~ < 1. Если бы это было так, Лекция 13 144 то существовала бы аналитическая функция )'(г), для которой точка ге — изолированная особая точка. Так как функция ,((г) ограничена по модулю, то го — устранимая точка, но тогда Дг) = сопэ1. Опять пришли к противоречию. Возникает второй вопрос: сколько существует различных конформных отображений области на область с сохранением связности.
Вообще говоря, бесконечно много. Тем не менее, справедлива теорема единственности: Теорема единственности Римана (беэ доказательства). Сутцествует единственнол функция Дг), конформно отображающая односвяэную область Р, граница которой имеет более одной точки, на внутпренность единичного круга. При этом Дго) = О, )'(го) > О, го Е Р. Задача 38.
Можно ли конформно отобразить произвольное кольцо 0 < т1 < ~г~ < тг на произвольное кольцо О < Н1 < ~г~ < Щ? Задача 39. При каких условиях на т1,тг,В1,Вг существует конформное отображение кольца 0 < г~ < ~г~ < гг на кольцо 0 < В1 < ~г~ < Вг? Определить вид функции, дающей такое отображение.
Основные принципы конформых отображений Принцип соответствия границ. Пусть ограниченные области Р и С ограничены замкнутыми жордановыми кусочно- гладкими контурами дР и дС соответственно. Пусть функция )'(г) е А(.Р) П С(Р) и отображает взаимно-однозначно границу дР на гранину дС с сохранением обхода по границе дР; тогда функция )'(г) конформно отображает область Р на область С (рис. 32). Конформные отображения 145 Доказательство. Пусть ш) Е С, ш2 ф С. Рассмотрим две фуНКцИИ г)(г) = ('(г) — Ш), г2(г) = )'(г) — и:2. КОГда г ПрОбЕГает границу дВ в данном направлении, вектор ((") — и)) обходит границу дС один раз в том же направлении, вектор ((г) — и)) повернется на угол 2тс. Аналогично, вектор ((г) — и2 обойдет границу дС один раз, но аргумент вектора приращения не получит, поэтому "'с и (')~ ~ .с и,( ) =1, 2к ав 2к зп Так какфункции Е,(г),Г (г) ~ А(п)ПС()-)) с;( ) ~ О р ( ) ~ г е дс.), то в силу принципа аргумента функция г')(г) имеет внутри области В один нуль, функция Г2(г) внутри области В в нуль не обращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
