Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Итак., дробно-линейное отображение симметричные точки переводит в симметричные. д2 Рассмотрим отображение и~(о) = а+, которое называг — а ется инверсией относительно данной окружности ~~ — а~ = В, Дробно-линейное невырожленное нреобрвзованне т е, отображение, переводящее точку в симметричную ей относительно окружности точку. В частности, если положить 1 /1~ 77 = 1, а = О, то отображение и)(в) = — = ~-~ называется Т иббнерсией относительно единичной окружности, ри этом внутренность окружности переходит во внешность.
Рассмотрим два примера дробно-линейных невырожденных преобразований, .на которые мы дальше будем ссылаться. Пр р! )Р,37). Нойде *бщ йжддробю- ю~й щ бР ю, Р Гд ~е щр ~ВУ о о~щщщУ Р ность круга ~и)~ ( Я. РПС. 37 Пусть точка во переходит в точку и)в — — О; тогда вв перейдет в — во в и)о = оо, поэтому преобразование имеет вид и)(в) = Л. в — % Воспользуется тем, что граница области при конформном преобразовании перейдет в границу, т. е. при г = х, ~и)(в)~ = В. Имеем 1)й = )Л) .
~ ~ = )Л), Л = Вебще и)(г) = Леще . )т — ..о1 -.— % общий внд дробно-линейного преобразования. ПР" РР.Нйд бщй ддрб - й *бр ЩЩД Щ„*,РР, ),) < Н,,Р;,) ) О Н )Р„. 22). 7* Лекция 14 Рис. 38 Пусть точка ва переходит в центр круга ше — — О, тогда точка аа перейдет в точку юа —— оо. Преобразование будет иметь вид Так как граница ф = В переходит в границу (ю! = В, то Ве'" — тв ~ !М ~ Ве*~ — яо 1Ч В~ — Ве" яе~ В ~Ве се — ~о В Поэтому )Л ~ = В2, Л„= В~е', ы(8) = е' В2.
— е 28 — общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего круг )8! < В в круг )ю~ < В. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ФУНКЦИЕЙ ЖУКОВСКОГО, ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ (Я", Я', .г, скат) лекция ю(е'") = сов р. г = е"', ~р Е [0,2к[, [[=1, Рис. 39 Пусть г = х + 9у, ю = ю1+ 1юг. Внутренность единичного круга [г[ < 1 переходит на всю комплексную плоскость С с 1/ Функция ю(г) = — ~г+ — ) называется функцией Жуков) ского. Н.
Е. Жуковский подробно изучал свойства этой функции в задачах аэромеханики и гидродинамики. Так как ю(г) = ю(1/г), то на всей комплексной плоскости С функция ю(г) не однолистна, ю(г,) = ю(гг), если г, . гг — — 1. Поэтому в области [г~ < 1 или в области [г[ > 1 функция ю(г) однолистна и образ этих областей одинаков. Границу круга [г[ < 1 — [г[ = 1 функция Жуковского отображает на отрезок [ — 1, Ц действительной оси, обходящийся дважды (рис.
39) Лекцня 15 158 выброшенным отрезком [ — 1, Ц: ф<1 С~ ~ — 1,Ц. Рассмотрим окружность ~л~ = т, 0 < т < 1, и найдем ее 1/ образ при отображении ы(е) = — ~г+ — ). Если ф = т, то 2~, г) ш(те"') = — ~ те ~ +— 2~ т 1/ = — ~ т соэ у + — соэ у) + г- ~т эш у — — в1п у 2 ~ т ) 21 т или щ = — сов~р~т+-), и~~ — — — э1пу ~т — -) . 2 ~ т)' 2 ~ т) Когда точка г пробегает окружность ф = т, ее образ иф) пробегает эллипс г (" + ) г ( ") с фокусами в точках ~1 и полуосями — ~ т+ — ) и — ~ — — т 21 т) 21т Рассмотрим точки, лежащие на радиусе единичной окружи ности, и их образ. Пусть 0 < у < —; тогда г = те*~, у— фиксировано, О < т < 1.
Образ этого радиуса есть часть гипер- болы 2 2 — — =1, юг<0, ю1>0. Если рассмотреть радиус при — — < ~р < 0 то его образ есть 2 часть гиперболы, и1 > О, ю~ > О. Аналогично, образ радиуса Конформные отображения иекоторымн функциями 159 х при — < ~р < и есть часть гиперболы., и1 < О, шя < О, и образ радиуса при — я < со < — — есть часть гиперболы, ш1 < О, ш~ >О. Таким образом, ортогональная сетка на плоскости а, состоящая из окружностей и радиусов, центры окружностей в начале координат, переходит в ортогональную сетку на плоскости ш, состоящую из эллипсов и гипербол.
Отметим два часто рассматриваемых отображения областей. 1. Отображение верхней полуплоскости 1пт я > О с помощью функции Жуковского. Это отображение переводит полуплоскость оп а > О на всю комплексную плоскость с двумя выброшенными лучами: С ~ (( — оо, — 1] 0 [1., +со)) (рис. 40). Рис. 40 При этом обратная функция г = ш + ~/ш~ — 1., имеющая две однозначные ветви, переводит область С ~ ([ — оо, — 1] 0[1, +со)) на две полуплоскости: одна ветвь переводит эту область на 1п1 г > О, а другая ветвь — на 1т а < О. 2.
Отображение нижнего полукруга Щ < Ц П (1тя < 0) с в~мощь~ функции Жуковского. Отображение переводит полукруг на верхнюю полуплоскость 1п1 ш > О (рис. 41). Лекция 15 160 Рис. 41 Рассмотрим функцию 'и(2) = 2, и Е 4Ч> и > 1. На всей комплексной плоскости С функция не является однолистной, но можно разбить плоскость С на и областей однолистности функции 2", например: область 22г 24г Р~ — — а: — (й — 1) < агля < — й, 14= 1,2,...,п (рис.
42). п п Рис. 42 Область Ря функция 2" конформно переводит на всю комплексную плоскость с выброшенным положительным лучем: С ~ К+. Если мы рассмотрим область О < агк2 < —, то п функция г" зту область переводит на верхнюю полуплоскость. Перейдем к функции ге(2) = е'. Так как эта функция 2хг периодична, то на всей плоскости С она не однолистна. Комплексную плоскость С можно разбить на счетное число областей Ря = (2: 2х(к — 1) < 1тя < 2хЦ, й Е У (множество целых чисел), на каждой из которых функция е' однолистна.
Конформные отображения некоторыми функциямн 161 Рис. 43 Область йь переводится на всю комплексную область с выброшенным положительным лучом — С ~ И+ (рис. 43). Если рассмотреть горизонтальную полосу: О < юг < и, то образ этой полосы есть верхняя полуплоскость 14п4р > О. Определим образы горизонтальных и вертикальных прямых, т. е. образы ортогональной сетки на плоскости С. Горизонтальная прямая у = с имеет образ 4и = е*+ес = е* е". Образ этой прямой есть луч, образующий угол с с положительным лучем (рис. 44). Рнс.
44 Вертикальная прямая х = с4 имеет образ 4и = е" +'", ~4и~ = е" — окружность радиуса е". Когда у пробегает все значения из ( — оо,+ос), окружность пробегается счетное число раз. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, параллельными осям х и У. Пусть х Е [а,Ь), у Е (с,д], при этом О < с <.д < 2я (рис.45). 1ВЯ Лекция 15 Рис. 45 При преобразовании е' такой прямоугольник переходит в область, ограниченную двумя лучами: агяг = с, агия = Н и двумя окружностями ~х~ = е", ~г~ = е~. В частности, когда с = О, И = 2к, то образ есть кольцо с разрезом по отрезку действительной оси е' < х < еб. Ееи + Е-сс Рассмотрим функцию сов б = .
Так как мы рассмо- 2 трели функцию жуковского и функцию е', то функцию сов г можно рассматривать как суперпозицию этих функций, и в соответствии с этим рассматривать отображение, осуществляемое функцией сов х. В силу периодичности функции сов г, она не является однолистной на всей комплексной плоскости С. Можно разбить комплексную плоскость С на счетное число областей Рь — вертикальные полосы: кй < Зев < 4г+ Ы, й Е Ж (рис.
46). Рис. 4б Функция сов г каждую область Оь переводит на всю комплексную плоскость С с двумя выброшенными лучами: .О». С ~ (( — оо.,-Ц~[1,+оо)). Конформные отображения некоторыми функинями 163 Если рассмотреть нижнюю полуполосу — 1(1т т < 0), х Е (О,~гЦ, то функция совг переводит ее на верхнюю полуплоскость 1т ю > О. Рассмотрим функцию и>(г) = 1йа.
В силу периодичности этой функции, рассмотрим функцию в вертикальной полосе— — — < В.е а < — (рис. 47). 2 2 Рис. 47 е" — е" 1 Так как Фя = . —, то правая часть границы поло- еся + е-и т' ' У ГЛ, 1, Е" +Е " сы а = — + гу переходит в то = 1я ~-+гу) = г . 2 ~2 еУ вЂ” еи Когда у пробегает все значения от — оо до +оо, образ пробегает множество, лежащее на мнимой оси — два луча: и~т Е ( — оо, — 1] О (1, +оо). Таким образом, вертикальная полоса переходит на всю плоскость С с двумя выброшенными лучами ~ ~ (со: и)г Е ( — оо, — Ц 0 (1, +со)). Если рассмотреть верхнюю полуплоскость — (1ш а > О, и тг'1 3 т Е ( — —,-!), то функция сова переводит ее на верхнюю полуплоскость 1тш > 0 с выброшенным лучом ш~ е [1, +со) (рнс.
48). В заключение рассмотрим задачу о конформном отображе"ии, где используем принцип симметрии Римана-Шварца. Лекция 25 164 Рис. 48 Задача. Отобразить конформно область, так называемую внешность креста, С '1 (у = О, х ~ [ — 1.,1]; у Е [ — 1,1], и = О), на верхнюю полуплоскость 1шю > 0 (рис. 49). Рис. 49 Так как исходная область симметрична относительно действительной оси, и граница области должна перейти на действительную ось, то применим принцип симметрии Римана- Шварца.
Рассмотрим область Рм границей которой является действительная ось и отрезок по мнимой оси: у е [0,1], т = О. Применим к этой области последовательно преобразования: 4и1 = я~, ш9 — — ш~ + 1 = я + 1, 4из = ~/я~ = ~59+1 и возьмем ту ветвь, которая переводит образ на верхнюю полуплоскость. Итак, преобразование шв — — ~/Р+ 1 переводит область Р, на верхнюю полуплоскость, а тогда исходная область — внешность креста — перейдет во всю плоскость Конформные отображения некоторыми функцняиен 165 с выброшенным отрезком [ — ~Г2, ~/2! по действительной оси (рис.
50). Рис. 50 Теперь, применив дробно-линейное преобразование Л вЂ” гог и1 —— , получим всю плоскость с выброшенным ~/2+ шз положительным лучом. И последнее преобразование ш =,/й~ (берем ту ветвь, которая переводит всю плоскость с выброшенным лучем на верхнюю полуплоскость) дает нам окончательно преобразование (рис. 51) Я 1/22+ 1 гн(г) = Я+ ~/гг ЗАДАххА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА лекция 0 задаче Дирихле для оператора Лапласа мы уже говорили, когда рассматривали одно из следствий из принципа максимума модуля аналитической функции. Было показано, что если решение задачи Дирихле существует, то оно единственно. Сейчас пойдет речь о самом существовании решения. Напомним постановку задачи: найти гармоническую функцию в области Р, принимающую на границе области дР заданные непрерывные значения Ц(), г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
