Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тем самым по заданному ряду Фурье, который может и расходиться, мы получили способ определения функции Да). Иначе говоря, мы просуммировали ряд Фурье методом Пуассона-Абеля. Отсюда можно получить теорему: Теорема Вейерштрасса. Длл любой непрерывной функции До), Да) е С([0,2~г]),ДО) = Д2к), длл любого е > 0 существует тригонометрический многочлен Т(а), такой, что [Да) — Т(о)[ ( е, Ча Е [О, 2к], т. е. любую непрерывную функцию на [0,2к] можно равномерно приблизить тригонометрическими многочленами, при условии, что ДО) = Д2к). Замечание. О методах суммирования расходящихся рядов, в частности, о методе Пуассона-Абеля, можно прочесть в книге [4].
ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА лекция Пусть с — луч: аги г = ~ре, и ~р(г) — функция, интегрируемая А на с. Если существует предел 1пп ] ~р(г) дг, то он называется о лег несобственным интегралом по К и обозначается сое1УО у(г)~Ь. о Интеграл вида щ)~~970 Г(р) = ~р(г)е *гас, о при условии, что он существует, называется интегралом Лапласа или преобразованием Лапласа функции ~р(г).
Мы будем рассматривать частный случай преобразования Лапласа, когда луч с есть положительный луч К+ действительной оси; более общий случай рассматривается, например, в книге А.Ф. Леонтьева 12]. Определим класс функций ДС), на котором введем интеграл Лапласа. Функции Д~) из этого класса, вообще говоря, могут принимать комплексные значения. Будем считать, что Лекция 17 180 при й < О функции Дй) = О, Дй) — непрерывны на луч щ+ Также будем считать, что для любой функции Д1) существу ют константы М(~) > О и а(~) такие, что ~~(1)~ < МЦ)еи(йс оценка роста функции ДФ) при 1 — +оо.
Назовем показа~, лем степени роста функции ~(й) величину Ыа(~) = ае, тем со„,ым ре > О, 3ЛХ,: ~Д~)~ < М,е~"+'~~, ~ Е К+. Интеграл Лапласа Г(р) = (' Д~) е Р' сМ называют изобра~ ени о ем функции ~(~), а саму функцию У(8) — оригиналом, прв том соответствие между Д1) и Р(р) будем обозначать Укажем некоторые свойства преобразования Лапласа, Свойство 1. Интеграл Лапласа сходится равномерно по р в полуплоскости В.ер > а1 > ао. На самом деле справелЛива оценка -реут! < -вере~у(~)~ < М -а1с+(ое+е)е М -йо1-(оек 11 1 где ае + е < а1, е > О. Функция е й" ~"+ей — мажоранта для функции е ьеу(е) По признаку Вейерштрасса интеграл Лапласа будет диться равномерно в Вер > а1, так как сходится интеграл ( е й" ~"+'й пг, при этом справедлива оценка о отсюда 1пп Г(р) = О, поэтому будем считать, что Г(оо) — О Ке р +оо Интеграл Лапласа н его основные свойства 181 Замечаппе.
Если функция Д1) имеет показатель степени роста ае, то функция 1" |[1), п Е 1Ч имеет тот же показатель степени роста. Отсюда следует, что интеграл | ( -")," ю = | ~- г -"и и о е сходится равномерно в полуплоскости Вер > а, > ае. Теорема. Пусть функция т(р,1) Е А(Р) по р при фиксированном 1 Е [О, +со), р Е Р, функция ~Я непрерывна иа [О, +оо). Пусть также существуют интегралы | Ф[р,1Щ1) д1, ) Ф,',[р, 1Щс) сМ, р Е Р, причем последе е ний иптегриа сходится равномерно по р Е Р: Тогда ) Ф(р,1Щ1) й Е А(Р) и е с +со +ос Ф(р,1)У(1) д1 = 'чрр 1)~Я й.
е о Доказательство. Пусть Ф(р,1) = и[х,у,Ф) + Ы(х,у,й), р = х+ 1у. Так как функция Ф(р, с) Е А(Р), то функции и(х, у,1) и и(х., у,1) — дифференцируемы по х и у и выполняются условия Коши-Римана: и' = и„', и'„= — и', при этом Й„(р., с) = и',(х, у, 1) + еи' (х, у, 1). Так как интеграл ) 4'„(р,гЩс)вс сходится равномерно, то е Лекция 27 182 сходятся равномерно интегралы ) ии,(х, у, 1)~Яй, Я(х,. у, $)/Яй., о о ~'и'„(х, у, й) Дй)й, /'и„'(х, у, й) Дг) й.
Поэтому справедлива теорема о дифференцировании под знаком интеграла (теорема из курса математического анализа, см., например, [4]). Будем иметь ) Ф' (р, ~) У(~) й = ~ (и' + г ') / Я й о о /+ос /+оо = ( ) и(х,уД/Яй) +г (,)' и(х,у,1)/ЯМ) о о я Ке ) Ф(р,$)/ЯЮ +г 1гп ) 1у(р,г)Д1)й о е о я ) Ф(р,~)/(~)й Итак, +ОО +ОО Ф„'(р,~)Д~) й = ЩД~Яй о о р функция ) Ф(р, 1)/Я й Е А(Р), р Е Р. Теорема доказана.
о Применим эту теорему к функции Ф(р, г) = е и', тогда Г'(р) = — 1е "'Дг) й о Интеграл Лапласа и его основные свойства 183 Учитывая замечание, сделанное перед этим, получим, что Г(р) Е А(Яе р > ае), — с,у (1) = Г (р). Свойство 2. Интеграл Лапласа Е(р) имеет производную и-го порядка Р(р) Ф ( — с)" 1".(с), Р(р) Е А(Кер > ае). Свойство 3. Пусть функция 1(с) имеет и производных с показателем роста ае, тогда у ("1(1) Ф р" Г(р) — — — —...
— ~, Ве р > ае. У(о) Г(о) У<--О(О)) Докажем это утверждение методом математической индукции. При и = 1 имеем ~ (с) Ф е "'у'(г) (1с о = -"у(~Н;"+~ ~ -"Юв = -у(о(+~в(р(. о Поскольку р б 1В.ер > ао1, то 1пп е Ун,у'Я = О. +ос Предположим, что при и = ус утверждение верно; докажем, что оно будет верно и при и = й+ 1: +00 +00 у("ц((=;/, у" ((а= — у )(((;"-,+- у ((а о о ра ра+~ 184 Лекция 17 Тем самым формула доказана для любого п е И. Свойство 4. Линейное свойство. ПУсть Г1 (Р) Ф Л (1), Яе Р ) ам Рг(Р) Ф 12(1), Ве Р > аои гДе ам а2 — показатели степени роста функций 11 (г), Я1) соответственно. Тогда о 6 (р) + оРЫ =.
о Л(~) + оо,6(1), Не р > гпах(аы оо), а~., оо Е С. Доказательство следует из линейного свойства интегралов. Свойство 5. Формула запаздывания. Пусть функция ~,(~) имеет вид О, 1<т, т>0, У.(~) = Д1 — т), 1>т. Тогда 7„(г) =: ) е и'1,(г) й = ) е и~"+т11(и) Ыи, и =1 — т. Так о — т +00 как ) Я = О, 1 ( О, то 1,(1) Ф е "' ) е ""1(и) Ни = е '"Р(р), о т. е. Яг) Ф е "'Р(р). Свойство 6. Формула смещения. Справедлива формула е-лсД~) Г(р+ Л), Ке(р+ Л) ) ао.
В самом деле, е ~1(Г) гн е ~ ~Щ М = Р(р+ Л). о Интеграл Лапласа и его основные свойства 185 Свойство 7. Пусть су > О; тогда ,с(сс~) =.' ~ р' (р ~., Ве (р) > ао. Имеем Свойство 8. Изображение свертки. с Функции ср(с) = ) ~с(т)Яо(с — т) й называется сеертссосс двух о функций. Для свертки справедливо равенство с ут(Х) = усс(й — т)~г(т) Йт. о Пусть гс(р) =: Яй), пер > ас, Гя(р) Ф Яй), Вер > ао., тогда свертке двух функций ср(~) соответствует преобразование Лапласа Г(р) = Гс(р) Го(р), Кер > псах(ас,ао). Докажем это.
Имеем: ец ср(с) Ф е ~ )с(т)~о(1 — т) ест о о е "' ус(т) 6(Ф вЂ” т) Йт о о | е сияЙ вЂ” т) й о В ФУнкции Лекция 17 186 Мы воспользовались тем, что |~(1), Я1) = О, 1 ( О, и справеди В.е > лива перестановка интегрирования, так как в облает р птах(аы а2) несобственный двойной интеграл сходится абсолютно. В последнем интеграле сделаем замену 1 — т = и, тогда | -рсю е р'~2(Ф вЂ” т) Й о ~~ (7) о ~~ (т) о | -р(и+т)~ ( ) -т ~~(т)е "' о | е У2(и) Ии о = РЬ(Р) Б(7)е Р йт = РИР) РЫР). о Свойство 9. Изображение интеграла. (р) Если 7" Я Ф Р(р), то ~р(1) = | 7" (т) йт =, . Покажем это. о с Пусть у(1) = ) 7(т) йт =, Г~(р); тогда по свойству 3 имеет место ~Ю ~р'Я = ДФ) Ф рК(р) = Р(р), т. е.
Е~(р) = —. Свойство 10. Интегрирование изображения. 1) +00 Пусть Дг) =; Р(р); тогда — Ф ) Г(ц) сЩ, при условии, что р — то ке 0 непрерывна или существует интеграл функция — в точ ) — Ю, а>0. а Р(1) й Интеграл Лапласа и его основные свойства 187 В самом деле, имеем — Ф / е "— й = Е1 (р). у(~) г ~, у(~) о По свойству 2 Е,'(р) = — ) е Р'Я) <Ы = — Р(р). Поэтому о Г1(р) = — Е(д) сЩ+ С, Р~(со) = О, о тогда +Ос Р +со +СО С= с (д) Йд, ~т(р) = — гс (д) Йд+ Г(д) Йд= с (д) дц. о о о Р Изображение некоторых функций 1. Функция Хевисайда: +00 Х(1)Ф ) ер'й= —, Вер>О, о р показатель степени роста т(~) — ао = О. 2. Функция ~(~) = е ', ао — — Вест, е ' Ф, тле р > Ве а.
р — ст 188 Лекция !7 1 3. Функция Д1) = соаюг = — (е' '+е ' '), ао —— )1гпю~. Имеем соаю1 Ф вЂ” ~, + ~ =, Вер > ~1п!ю~. 2 ~ р — !ю р+гю,~ р2+ и!о' ! ! 4. Функция Д1) = а!пю1 = —,(е™ вЂ” е ™), ао — — ~1п!ю~. 24 Имеем 1 / 1 1 ! ю — — ) =, 2 пер > !1п!М .ю,+ ю) ро+ 2' 5. Функция Д1) = 1'., и > — 1, ао — — О. Замечание. При — 1 ( и ( 0 функция Ф не является непрерыва ной справа в точке О, но интеграл ) 1' й существует. о Рассмотрим функцию Так как функция г(р) Е А(йер > 0), а свойства гамма- функции Эйлера Г(р) мы рассматривали ранее, то, пользуясь аналитическим продолжением с положительного луча К+ на полуплоскость Вер > О, получим: г'(р) =, 1Сер > О, Г(и+ 1) где берется та ветвь функции р'+', что при х = 0 имеет место х +' = р'+ ~ .
В частности, при и = п Е 1Ч получаем ~р=*>о ! Ф рП+1 Интеграл Лапласа и его основные свойства 189 Возникает вопрос — всегда ли оригинал у(г) можно восстановить по его изображению Е(р)? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема. Пусть функция и'(р) в полуплоскости Вер > а является изображением кусочно-гладкой функции Д1), а — показатель степени роста.
Тогда у(с) = — ег".г'(р) ар, х > а, 2кг д 1 — точка непрерывности у(1), интегрирование ведется по вертикальной прямой, проходящей через точку х. Доказательство. Рассмотрим функцию у(1) = е *'у(с), х > а. Тогда функция у(г) — кусочно-гладкая, ~р(г) е Ь1( — оо, +со). В точках непрерывности функции ~р(г) (или, что то же самое, в точках непрерывности у(г)) представляется интегралом Фурье г у(1) = — / е '"'Ду)ду 2к,/ (Ду)) — преобразование Фурье функции у(1), Ду) = е'"~р(Л) дЛ = е'"~е *~у(Л) дЛ = е'"~ *~у(Л) дЛ вЂ” ОΠ— 00 о е ~~* '"~ДЛ)аЛ = Е(х — ту), х > а, (последнее равенство следует из условия теоремы). Отсюда р(г) = е *'у(г) = — е '"'Е(х — ту) ду 1 Г,вс 2к „/ Лекция 17 190 или 7"(1) = — / ей* с"1Г(х — су) ссу. 1 Гс.с Если у пробегает действительную прямую, то р = х — су пробе- гает вертикальную прямую, проходящую через точку х: Ф) = . / "'Р'(р) Р = —.
~ "Г(р) с1р. 1 с 1 2сг( — с),/ 2сгс,/ Теорема доказана. Спрашивается, любая ли функция Г(р) е А(вер > а), Р(оо) = О является изображением некоторого оригинала У(с)? Сформулируем достаточные условия существования оригинала в виде теоремы. Теорема [без доказательства]. Пусть Р(р) Е А(Вер ) а), 1пп Г(р) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
