Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного (1118359), страница 7
Текст из файла (страница 7)
А(2~61~к) (4 2) ((~ — 2) — (( — 2) + + (и+ 1),~112(( 2)я С2 ( л12)2(~ )я-1 + + ( 1) (2 )"+ ) — (и+1) К вЂ” )"+1+ ( +1НЬ )2С1~,К 2) — . + ( — 1)" (и+ 1)(Л2)"+2 = (Ь2)'. В(,, ~ ~,) где В(2, ~, Ь2) — многочлен фиксированной степени по г, ~, Ь2. При ]Ьг] < 6 модуль В(2,(,Ьг) на кривой Г ограничен: Интегральная форгиула Коши шах 1В(г,.4..Ьг)~ < М1.
Поэтому 1до1(6 п1 ММ11 1Ьг ран+3 Тем самым ,1„+,1 (и+ 1)1 /' Дг,) Щ 2кг „( (г — г) +а ' г Теорема доказана. Рассмотрим функцию г"(г) е А(Р). Пусть точка ге е Р; тогда существует Уа(ао) с Р, о ) О. По интегральной формуле Коши имеем 1оо — о 1=а Так как интеграл Коши есть частный случай интеграла типа Коши, то по только что доказанной теореме получаем, что =,г(а) е А(Уе(ао)), ХЫ) Ж 2кг ~ — а 1оо-41 =а при этом 1) И! Г И)~К 2кг,/ (~ — а)о+1 ' 1оо-9=6 Так как точка ао ŠР— произвольная точка области, то отсюда следует, что аналитическая функция Дг) в области Р есть бесконечно-диффиринцируемая функция в этой области.
Лекция 4 Задача 10. Пусть à — кусочно-гладкая жорданова кривая, функция 1(я) Е С(Г), точка яо Е Г. Обозначим Г! = Г~(я: ~е — яо~ < е)у е > О, г,(яо) =— 1 1Дс)Н~ 2яг .I ~ — го г, По определению интегралом типа Коши в смысле главного значения называется 1пп К,(го).
Обозначают этот ! о предел, если он существует, так же, как н интеграл Коши: Г(яо) = —. / 1 у' Я)Н~ Доказать, что если функция Дг) 2иг',/ с — го г принадлежит классу Гельдера порядка а, где 0 < а < 1, на кривой Г, то существует интеграл типа Коши в смысле главного значения в любой точке кривой Г. ~зад! уу~ пу * фут! ле ! Ауе), Р— !! ~ м~ область, контур Г с Р, гп~ Г с Р. Тогда У(г), в Е ТАМГ, /'И)~К О, в ЕС~Ргу 2яг,/ (' — г 1 г -у(я), я Е Г.
Понятие первообразной функции Пусть Р— односвязная область и функция 1(я) Е А(Р) (рис. 11). Зафиксируем точку яо Е Р и рассмотрим интеграл по жордановой кусочно-гладкой кривой с началом в точке го и ! концом в точке г. Функция Р(г) = ~Д()д~ определена корректно, так как ее значения не зависят от пути интегрирования, а зависят от начала и конца пути, поэтому мы не указываем саму кривую в интеграле, а только точки яо и '. Интегральная формула Коши 57 Рис. 11 Докажем, что функция Г(а) е А(Р) и что ее производная г'(а) = ] (а).
Рассмотрим разность 3' У(Ож — 3'Уы)4~ — Ла)— г+Ьг ~(~) с[~ ~~гя ~(а) г+Ьг / 1(0 — У(а) „ Ьа ь г У(а) Поэтому г+Ьг ! Х !М)-УО! И6 < п1ах ~~(~) — ~(а) / . Ее[г,г+Ьг] В силу аналитичности ]"-(а) при Ьа — О имеет место п1ах ~ Я) — Х(а)] — О . Итак, Г'(а) = у(а). Следова.- са[г,г+Ьг] тельно, Г(а) Е АФ). Лекция 4 58 Определение. Функция Ф(г) называется первообразной функцией для Г(г), если Ф(г) — аналитическая функция в области Р и Ф'(г) = Г(г). Пусть Ф(г) — первообразная функция для функции Г(х). По доказанному, функция г (г) = ) Д() д~ тоже первообразная. Покажем, что Г(г) — Ф(г) есть константа. Функцию г'(г) = ) Д() Щ в дальнейшем будем называть не- сс определенным интегралом.
Итак, пусть Г(г) — Ф(г) = 1р(г) Е А(Р), тогда:р'(г) = Г'(г) — Ф'(г) = О. Покажем, что тогда р(г) есть константа. если 1р(г) = и(х,у) + ы(х,у), то из условий Коши-Римана следует и' = и'„= и„' = ~и = О, т.е. и(х,у) = с1, о(х,у) = с2, 1р(г) = с1 + 2с2 = с — константа. Поэтому Ф(г) = г (г) + с = ( Я) (Ц + с, Ф(ге) = с нлн ) Д() д( = Ф(2) — Ф(ге). Эта формула есть формула Ньютона- 70 Лейбница, известная ранее для действительного случая. Рис. !2 Пусть Р— односвязная область, О ф Р, 1 Е Р (рис. 12). Рас- 1 смотрим функцию Дг) = — Е А(Р).
Тогда неопределенный Г ~К 1 интеграл ~ — есть первообразная для Г(г) = —. Назовем этот 1 Иитегральиаи формула Коши интеграл малым логарифмом 2 или главным значением лога- 1 ск 1 рифма: 1пх = / —, тогда (1па)' = —. Заметим, что при г 1 2 = х > О интеграл / — = 1п х. 1 ~Зд 1~2~ Пы~~~, 1 *=! ~4-»' д», — <~щ < Пусть Р— односвязная область, О е Р; г, — г' ф Р.
Рис. 13 1 Рассмотрим функцию 1(2) = Е А(.Р) (рис. 13). То- 1+ 22 да неопределенный интеграл 1 есть первообразная для / 1+~2 о 1 сК У(2) = . Назовем этот интеграл / малым арктан- 1+2 / 1+~2 о генсом г, агапа = /, (ахс2й2)' = . Заметим, что Г д~, 1 ,/ 1+~2 ' 1+ 22 о | 111 — = агс2я х при 2 = х. 1+Р о Лекция 4 60 1 /'1+ гя'~ Задача 13. Показать, что агсСй г = — 1п ~ 2г 1,1 — гг,г' Ранее мы доказали интегральную теорему Коши для аналитической функции Ди) в односвязной области Р. Можно поставить задачу, в каком-то смысле обратную данной. Если в односвязной области задана функция Дя), для которой интеграл | Д~) цс = О по любому контуру Г С Р, то можно ли г утверждать, что Дг) Е А(Р)2 Ответ положительный, если потребовать, что Дя) е С(Р). Справедлива следующая теорема.
Теорема Морера. Пусть Р— односелзнал область и ~(в) Е С(Р). Если для любого контура Г С Р | Да) сЬ = О., г то Дя) Е А(Р). Доказательство. Введем функцию л Е(я) = И) К ио — фиксированная точка, ге Е Р, г Е Р. В силу условия теоремы определение функции Е(я) корректно, так как значение функции г (я) не зависит от выбора кривой, а зависит только от начальной и конечной точек. Рассмотрим разность 61 Интегральная формула Коши Тогда — Дг) < тпах Щ) — Дз) ~ . Тем самым производная Г'(в) = ~(е). Так как ~(з) Е С(В), то Г'(г) е С~В) и, таким образом., Г(-.) — аналитическая функция в области П.
Но аналитическая функция имеет бесконечно много производных, отсюда следует, что Дз) Е А(В). Теорема доказана. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ПРИНЦИП МАКСИМ'УМА МОДУЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ПРИНЦИП МАКСИМ"УМА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ лекция Ф и и я и„= н,„= и„, = — и т. е. и," + и" = О. Аналогично с", + и„"„= О.
Введем в рассмотрение оператор д2 дт Ь= — +— дх' ду" который называется оператором Лапласа Определение. Функция и(х, у), дважды непрерывно дифференцируемая в области Р (обозначение — и(х, у) Е С2(.0) ) и удовлетворяющая условию Ьи = О, называется гармонической. Мы показали, что если ~(г) е А(В), то ВеД~) и 1т~(г) есть гармонические функции в области В. Предположим, что в области В задана гармоническая функция и(х,у). Возникает вопрос — можно ли по данной гармонической функции построить аналитическую функцию Рассмотрим функцию 1(х) Е А(Р). По доказанному ранее следует, что 1(х) — бесконечно дифференцируемая функция.
Если 1(г) = и(х, у) + Ы(х, у), то функции и(х, у) и н(х, у) также являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Из условий Коши-Римана вытекает, что Гармонические функцнн. Прннцпп макснмума )".(х) такую, что Ве Дх) = и(х,у). Покажем, что если область Р— односвязная. то вопрос решается положительно. Пусть Р— односвязная область и и(х, у) — гармоническая функция в Р. Введем функцию (к,к) и(х., у) = — и'„Йх + и Иу, (ко,ко) где точки (ха, уа), (х., у) б Р. Определение функции и(х, у) корректно, так как интеграл, стоящий справа, не зависит от выбора пути интегрирования.
Если à — контур (замкнутая, кусочно- гладкая жорданова кривая), то — и дх + и Ну = д ~ — (и,) — — ( — и )~ Мха = 0 1 г пг (использовали условие Ьи = 0). Дифференциал функции и(х, у) есть сЬ = — и'„дх + и' с(у. Поэтому и,'. = — и'„, и„' = и', и Ьи = О, т.е. и(х, у) — гармоническая функция в.области Р, функции и(х, у) и и(х,у) связаны условиями Коши-Римана и функция Да) = и(х,у) + ги(х,у) аналитична в Р. Функция и(х,у) определяется по функции и(х,у) с точностью до константы. Пусть функция и(х, у) гармонична в Р и точка га е Р; тогда существует окрестность У,(аа) С Р, е > О. Так как У,(ха)— односвязная область, то существует функция ~(х) Е А((.)о(га)) такая, что Ве((а) = и(х,у) по доказанному ранее.
Но Ве((а) есть функция бесконечно-дифференцируемая, поэтому и(х, у) бесконечно-дифференцируема в У,(ха). Так как ха — произвольная точка области Р, то отсюда следует, что гармоническая Лекция 5 функция и(х, у) — бесконечно-дифференцируема, обозначение и(х,у) Е С (1г). РассмотРим фУнкцию Дх) Е А(П) и кРУг 1Я: [Я вЂ” Яо[ ( т'гс 1З, хо е Р, т ) О. По формуле Коши 1 г' г" (я) г1г Х(яо) = —. 2лг,/ я — хо Сделаем замену переменного: я = яо + те е, ~р Е [О, 2л), .дя = тгеге йр. Имеем 1 Г,г (го + тЕ~);~ 1 ,Г(го) = —, / .
тгегейр = — / Г"(го+ те'т) Йр. 2лю,/ теое 2л „I Формула 2л 1 Дло) = — / Дяо + те") д р о носит название формулы среднего значения. Если Дя) = и(х, у) + Ь(х,у), то отделяя действительную и мнимую части в формуле, будем иметь 1 и(хо,уо) = — / и(хо+ гсов у,уо+ тяпу) йр., 2л,/ о т. е. формула среднего значения справедлива и для гармонических функций. Формула среднего значения для аналитической функции, также как и формула среднего значения для гармонической Гармонические функции. Принцип максимума 65 функции, используется для доказательства принципа максимума модуля аналитической функции или для доказательства принципа максимума гармонической функции. Принцип максимума модуля аналитической функции Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
