А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Разложить в степенной ряд функцию г ! чгг + е При выполнении неравенства !4 < 1 получим (см. и, 1.7): ! ./ ")1='*("-) = — '"-=' И ' ' л/2 ~ 2 ! 2! х(г' г хг )'''(у и+!) Iгт" 1 1+г l х ч — л !(2п — 3)!! Ггт + и! Ы "'/=,У1 ~ У- . ~,~ ) =г г'"+ 1 1 + г = — !и .в 2п+1 2 1 — г =! 15. Разложить в степенной ряд функцию г з!и г. М Воспользуемся равенством и!и'г = ' ', '* и разложением в степенной ряд функции г !-! соз г в п. 1.7. Получим: 2г-! г 2 2 (2п)! (2п)! * =о =! Гл. 5.
Ряды аналитических Функций. Изолированные особые точки 218 1 18. Разложзпь в степенной ряд функцию е з-! аз+ Ь м При )4 < ) ь! имеем 1 1 1 1 ч-з „а"е" ,7 ( 1) +Ь Ь !+а Ь Ь" ь =о 19. Разложить в степенной ряд функцию к з-! е! — 4е + 13 м Раскладывая функцию на простые дроби, получим: 2+ 31 1 з,.з, 2 — Зз 1 —,— ', з! — 4г+ 13 бз з — 2 — Зз' я — 2+ Зз бз При выполнении неравенства !е( < Л3, имеем г ( 1 е! — 4а+ 13 бз ~ 2+ Зз' ~-~ =о + бз ~ ~-~ (2-ь Зз)"+' =о 1 + — з (2+ Зз)" 2 — Зз ~-~ =о (2 — Зз)" Е ',)=— 1 (2 — Зз)"ы !) бз (2+ Зз)"+' — (2 — Зз) Е 13чы =о з с (2 — Зз)" — (2 43з)" г б 13" =о ( 1) о! »о! Е- (-1) пг" (1 + «)! =! ез (14 )! 21. Разложить в степенной ряд Функцию е Ассой г.
Имеем при !с( < 1 ! о! !'й(=~(-1)-' .в о =о з(! Г Атсзйя = / — = / ! ( 1) ! зй -/ +1-/ о о = ~(-1)" =о 22. Разложить в степенной ряд ~ е зй. М Очевидно, Г !2 2 о! о о О ! 20. Разложить в степенной ряд функцию е з-! (1+ е)! м При !з) < 1 имеем —,' = 2 ( — 1)"е". Дифференцируя, получим: $2. Ряд Лорана н изолированные особые точки аналитических функций 219 Г 51П( 23. Разложить в степенной ряд / — сй. о Ю Имеем 5 2.
Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 2Л. Теорема Лорана. где а„определяются по формулам г и) пбХ, 2я( / (( — го)"+' гр Гр — - (7р, 7р ), 7р ю (г б С: 1г — го1 = Р), 1 < Р < 25. М ФиксиРУем любУю точкУ г б ь„н и РассмотРим кольцо )г„л —— (г б С ! г <!г — го! < Л ) Сь )р,, л. По формуле Коши имеем г(о г г(() г г(() Г()= —, / — д(= — / — дГ- —,/ — д(, б)„, 2111 / ( — г 2я( / ( — г 2ль / Оь„, „, г, г, Здесь кривые Гл и Г„. пололсительно ориентированы. Лля любой точки ( б ул. 1~ — ~й — =а<1.
( — го 25 (2) (3) Отсюда получаем 1 1 ~-» (г — ло)" — (ь — го)"+ (à — го) ~1 — с „) о Рад (4) абсолкьтио и РавномеРно сходитсЯ по й б 7л . (4) Среди функциональных рядов, отличных от степенных, наиболее близким к степенному является ряд вида 2 , ''" „. Его область сходимости — внешность круга радиуса г = 111п "гг~с,| 1 — »1" с центром в точке го, которая прн г = со вырождается в бесконечно удаленную точку, при О < г < »ю — зто внешность круга в собственном смысле слова, а при г = О совпадает с пяоскостью С, из которой выброшена точка г = го. Если г < со, то ряд сходится абсолютно и равномерно внутри области В = (г б с: 1г — 54 > г), следовательно, его сумма Г является аналитической функцией в 2) и Г(оо) = со. при этом говорят, что функция Г аналитическая е бесконечно удаленной тоюсе.
теорема 1 (лорана). Любую функцию Г, аналитическую в кольце )г„, л = (г б С ! г < )г — го( < Я)» г > О, В ~ (со, можно предстаеить в этом кольце как сумму сходящегося ряда Г( ) =,у, а.(г — о)" (1) Гл. 5. Рады аналитических функций. Изолированные особые точки 22О Если ( б тр, то ! ь' — ао г — = — = а < 1. ао (з зо! (ь — ео) (л — зо)ь ы =о (5) Ряд (5) равномерно сходится относительно (' б у, .
Подставив (4) и (5) в (3), получим: ((е) = ~~~ (е — зо) — 1 , + ~~ь (е — зо) " „1 Г У(() д( " „, 1 Г,((() д( 2яо l (( — о)"" 2я(./ (( зо) " =о гн =о г„ или у(з) = ~~ а„(з — зо)" + ~~о аь(е — зо), =о ь= — 1 где (пбйо), ах= —,/ ь (-ЛчМ). Г И)д( 2ло / (à — зо)ьы гр ) и)й( 2я! / (à — зо)ам он' По теореме Коши интегралы по ориентированным окружностям Гн и Г„можно заменить интегралами по любой поло:кительно ориентированной окру:кности Г„= (ур, ул ), где уе (~ЕС:1~ — зо!=р), ~'<р<22'. Ы Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом лУорана функция 1 в кольце $'„н Рассмотрим отдельно те два ряда, из которых состоит ряд (!).
Первый из них а (з зо) есть обьячный степенной ряд. Его областью сходимости является круг Кн — — (з б С: |з -ео! < Л), где — „' = !пп ~„4!а„!. Второй ряд а- (з ео) является степенным относительно з' = — '. Выше бьшо указано, что его областью сходимости *-*о является внешность круга радиуса г = 1пп уУ!а „!. Если г > Л, то область сходимости ряда 2,' а„(з — ео)" есть пустое множество.
Если же г < Л, то его областью сходимости является кольцо У, и = (з б С ! г < !з — ео! < В). Из теоремы Абеля следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, принадлежащем кольцу 1'„л. Согласно теореме Вейерштрасса, сумма ряда Лорана является аналитической функцией в этом кольце, Рлд 2,а„(з — хо)" называется нравильнойчастью ряла Лорана, вряд ) а „(з — ао) " носит название его главной чаевш.
Пусть з(а) = ~ с„(а во) и ряд 2, сь(а-ао)" = 2, с „(а-ао) "+ Я с„(а-во)" сходитах еи еао ся равномерно в кольце 1',л. Умнохсив на (а-ло) ь ' обе части равенства у(з) = ~; с„(а — зо)" б 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 221 и интегРиРУЯ полУченный Рад почленно по оРиентиРованной окРУжности Гя = (7„7лю), 7л (» б». ! !» — »ь! = р), г < р < )2, получим; г, Г(») ч †» Г (» » )й~-! г г, Принимая во внимание, что /' „„,!„ь>, )г О, если Р- (» — »О) й»=1 р е !а!=1 2 . 2л!, если пнй, и = /с, г, имеем /' Г(») сь =— 2л! „1 (» — »о)"+' 2.2. Классификация изолированных особых точек в С. Определение. Точка а Е С называется изолированнои особой точкой функции Г, есги существует такая проколотая окрестность этой точки, т е. кольцо 5~ л = (» Е С ~ О < !» — а! < )2) с нулевым внутренним радиусом, в котором функция Г аналитическая. Пусть» = а Е С вЂ” изолированная особая точка функции Г.
Рассмотрим разложение функции Г врал Лорана в кольце Ъь л Г()=Е -(-) В зависимости от вида разложения (1) различают три типа изолированных особых точек. 1) Если в разложении (1) отсутствует главная часть, т. е. члены с отрицательными степенями, то точка» = а называется устранимой особой точкой функции Г. 2) Если в разложении (1) главная часть содержит конечное число членов, то точка» = а называется полюсом функции Г.
При этом, если с, = с, = ... = с <„,! —— О, а с ~ О, то число п называется порндком полюса, Полюс первого порядка называют также простым полюсом. 3) Если в разлохсении (1) главная часть содержит бесконечное число членов, то точка» = а называется существенно особой точкой. Пример 1. Функция» Г(») = — "",* аналитическая в кольце )а = (» Е С ( О < !4 < оо). Ее разложение в ряд имеет вид 5!и» »з»» — =1 — — + — — — + ..., » 3! 5! 7! из которого следует, что» = Π— устранимая особая точка функции Г. Пример 2.
Функция» ! Г(») =;-г»ы имеет две изолированные особые точки», = 2г, »з = -2Е Разложим функцию Г в рлд Лорана в проколотой окрестности точки», гьпь = (» Е С ~ О < )» — 21) < 4]. Получим." 1 ь ! ь 1 ! ~-» (-()" — + — + — + ь — (» — 2!)". »з + 4 4(» — 2ь) 4(» + 2!) 4(» — 2ь) 1б (! + — — * з! ) 4(» — 2!) »-' 4"+з ы »=О Мы доказали следующее утверждение. Теорема 2. Любойряд 2,'с„(» — »ь)" = '> с „(» — »ь) "+ 2 с„(» — »ь)" вкольцесходимосх гн е»а сти 1', л является рядом Лорана своей суммы.
Из этой теоремы, в частности, следует, что разложение аналитической функции Г в кольце )г, л в ряд по целым степеням» вЂ” »ь единственное. Формула (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяется редко, поскольку требуется вычислять интегралы. Поэтому для получения лорановских разложений можно воспользоваться любым законным приемом. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолираваииые особые точки Отсюда заключаем, что точка г = 2! является простым полюсом функции /. Аналогично получим разложение функции 1 в ряд Лорана в проколотой окрестности точки г, Ъ'~'4 — — (г б С ~ О < !г + 2й < 4), с помощью которого убедимся в том, что гочка г! = -2! также является простым полюсом функции 1. Прммер 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
