А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассмотрим примеры. 1. Найти область сходимости рида г а-к 1 — г" и при )к! < Г < 1 имеем ~, * „~ < —,"„„= а„. Ряд 2 а„сходится. следовательно, исследуемый ряд абсолютно и равномерно сходится на любом компактном подмножестве единичного круга К| — — (к Е С: (г! < 1). м 2. Доказать, что если радиусы сходимости степенных рядов ~а„г", ~~ Ь„г" соответственно равны В,, В„то: 1) радиус сходимости В степенного ряда ~~г а„Ьаг" удовлетворяе~ неравенству В ) В,В,; 2) ралиус сходимости В' степенного ряда У вЂ”" г" (Ь„ф О) удовлетворяет неравенству В| В' < —; Вг 3) радиус сходимости Во степенного ряда ~ (а„Ь»+ а„,Ь, 4 ...
+ а»Ь„)г" удовлетворяет неравенству Во кз пип(Вп Вг). а 1) Поскольку 1 1лп ~/7аД = —, В|' !пп ~фа„б„) = 1пп ( х/Та„! Хггть„!) < !пп тГГ!а„! 1!гп чу, то 1 1 — < —, т.е. В > В|Вг. В В|Вг Воспользовались неравенством'| !пп а„у„< 1пп к„1пп у„, выполняющимся 'Г(я„) О, у > 0). »а п 2) Так как а„= вп Ь„, то по доказанному в 1) В, ) В'Вг, откупа В' < лз. 3) Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся в замкнутом круге К„ш (к б С: |к! < Г), г < пап(В„Вг). Тогда радиус сходимости Во ряда (~а„к") (~~ Ьак") = ~~| (а„Ьа+ап |Ь!+ ... +Ь„ао)г" не может быть меньше ппп(Вп Вг).
а || см., нвпримор, я. и. ломко, л. х юа»раук, я. Г. Гав. Г. и. Го»оа . спр»ванно» шкооио по »мошка магом»вико, моска», "УРСС", |999, т. |, глдн примор |Об. 213 й 1. Ряд Тейлора 3. ДОКаэатЬ, ПО КОГда СуММа т СТЕПЕННОГО ряда ~~г а„(З вЂ” Ь)", Ь Е Ь(, ПрИНИМаЕт дЕйетантельные значения в некоторой действительной окрестности точки Ь, то все а„действительные.
М Очевидно, а, = у(Ь) Е )к. Поскольку 1(Ь+ ззз) — 1(Ь), )'(Ь+ гзх) — у(Ь) а~=)(Ь)= !нп = 1пп о* о гзз о* о г3х то аг Е Ж. Предположим, что а„= )'~"г(Ь) й К. Тогда уыг(ь+ 21*) — уео(ь) а„ю = !пп = т'" '(Ь) й !К. а*-о г.'Зх утверждение доказано с помощью метода математической индукции. М 4. Доказать, что лля коэффициентов степенного ряда ~~г а„з" с радиусом сходимости 11 ) Ь справедлива формула а„= / и(г, !о)е ~ д)г+ — / е(г, ~р)е "г г(уг, зт" / лг ",/ где 0 < г < 22, 1(з) = и+ос = ~ а„з" — суммаряда. =о чо Пусть т„= (з е С: !з! = г), Г, = (у„, Т,") — положительно ориентированная гладкая нли кусочно-гладкая жорданова кривая.
Тогда г, г 1 Г т((') 1 г за ге*гетер 1 г о о Применив интегральную формулу Коши прн и > 1, получим. г ~(()( д( 1~(ге )г ег"';дую=О, г. о или — / у(гезг)е'" г(уг = О. (3) 2лг" „1 о Складывая и вычитая (2) и (3), имеем г г Г г Г а„= — / )(ге'~)соопугг((о = — — / Г(гезг) з!пп(ог(уг. ггг" --/ о о Отсюда, полагая а„= а„+ о)3„, находим: го г 1 г 1 г"а„= — / и(г, уг) созпрг()г = — / е(г, (о) ипп(ойр, о о г г 1 1 г")3„= — / е(г, !о) соя игр оьр = — — / и(г, (о) а!ппугг(ог.
о о С помощью этих равенств получаем формулы (1) 'Фп Е )з). В случае и = О формулы (1) получаем сразу из (2). )ь Гл. 5. Ряды аналитических Функций. Изолированные особые точки 214 5. Пусть сумма степенного ряда у(з) = ~ ~а„х" с кругом сходимостн К, = (з Е С: ф < 1) =о удовлетворяет условию Ке 7(з) ) 0 Ух б К,. Доказать, что )Уп Е М )а„! < 2ио, где ио — — Ке У(0). а Согласно формуле (1) предыдущей задачи имеем 2 Г а„= — / и(г, )о)е '"'* 4()2. хг" / о Оценим а„, Получим 2 2 2ио !а„! ( — / и(г, (о) 4()2 = —.
2зт",/ ' г" о Принимая во внимание, что г Е (О, 1) — произвольное, имеем )а„~ ( 2ио. ° 6. Найти первые четыре члена, отличные от нуля, разлолсения функции 2 1 У(з) = )4)соя з (7(0) = 1) в окрестности точки з = О. Найти радиус сходимости ряда. а Воспользуемся представлением функции 7 в виде ) 1 У(з) = чгсозз = (! — (1 — сох 2)) ' = (1 — ю)1. Тогда 4ух Е С получим: 2 4 б ю =- 1 — соб 2 = — — — + — — — + 2! 4! 6! 8! ю 1 2 1, 5 (1 — ю) 2 = 1 — — — — и1 — — ю — — ю — ..., !ю! < 1, 2 8 16 128 б ! )то) 24 720 ''') 8 1 2 24 + 24 720 ) 8 т 4 1 )гх х У(х) = 1 —— 21,2 24 1)' ' = ! 21 2 1 4(х) 1 41 1 з+ — *,+...+ — ',+...
1+-',+ — *,+...+ — ',+ 2' ''' 2 бп! 2' 3' ' ''' 4 бл! Пусть разложение функции 7' в окрестности точки х = 0 имеет вид Тогда з зз х (аз+а,а+а,з'+ ... +а„х + ...) !+ — + — + ... + — + ... =!. 21 3! ' (н+ 1)! Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, пахучим) 1 1 1 ао — +а,— + ... +а„) — +а„=О, пбр( (и+ 1)! 'и! "" 2! 2 4 10 б =1 — — — — — — —.
4 96 5760 Очевидно, что Н = †, т. к. точка 2 = †" — ближайшая к точке з = О, в которой нарушается 2 2 анзллтичность функции 7. Заметим, что первые четыре члена разложения функции у в ряд можно получить непосредственно, вычисляя ее производные в точке х = О. ь з 7. Разяожить в ряд Тейлора функцию з 7(х) = в окрестности точки з = О и найти е' — 1 рзлиус сходимости. 4 Имеем 91. Ряд Тейлора 215 Полученные уравнения позволяют последовательно нахолить числа а„. Обозначим В„= и!а„.
Коэффициенты В„называются числами бернулли. Для их определения имеем в, в в„ Во -— 1; + — + +...+ — =О. (и + 1)! 1йй 2!(и — 1)! и! 1! Умножив обе части последнего равенства на (и+ 1)! и замечая, что очи~ — у = С„"в„получаем: 14 В~С„'чг 4-ВгС„'чг+ ... + „ф"ы = О (и Е РО.
С помощью последней формулы находим: 1 1 1 В~= — —, Вг=-, Во=О, Вв= — —, 2' 6' ' ЗО' Искомое разложение имеет вид з В~ В, , В„ =Во+ з+ з + .+ з +.". е* — 1 1! 2! и! Радиус сходимости этого ряда В = 2я, так как ближайшие к началу координат точки, в которых нарушается аналитичность функции 1' — з = х2аг( ~ 8, Найти радиус сходимости и исследовать поведение на границе круга сходимости следуюгцих степенных рядов: г -! „з а) ~(-1)" — (и > 1); 1и гг б) ~ — з ", й=сопзг, йб)4. 4" м а) Очевидно, ( ( — 1)" аь= ~ 1пи О, 1 Я =, = 1пп (1пи)~«-~ = 1.
1пп фа~) ь если й = Зи — 1, если й Ф Зи — 1, 1 1 1 1 В— (~" ) ь 4Г ггп если если ги Ф йи, в г в На границе круга сходимости, т. е. при з = зо-, получаем числовой ряд 2„"— '. Если йг) = 2гх чв (3 Е Е), то он расходится, поскольку превращается в гармонический ряд. Если йр ~ 2гя, то ряд сходится по признаку Дирихле.
М 9. Существуют ли функции У, аналитические в точке г = О, Удовлетворяющие Условиям: ~~(-.) =~<-;) =-',: >~®=~(--.') =3„„2 я а) Существует, это функция з ~-г зг. б) Применим метод рассуждения от противоположного. Предположим, что функция ~ с указанным свойством существует. Рассмотрим функцию уг, где уг(з) = —,',. Она удовлетворяет условию л ( ~ ) = —,„',, т.е. совпааает с функцией 1' на бесконечной последовательности точек (х„), тле х„= — ' О пРи и со. По теоРеме еДинственности г(а) щ гг(з) в окРестности точки з = О. Олиако, уг ( — -') М вЂ”,',. Получили противоречие, источник которого в предположении, по Функция У с указанным свойством существует.
° На границе круга сходимости з = ег и в этих точках получаем числовой ряд в ав- ! Е' ' ='Е' ( 1) иг ~гв,в ч е' =е' г !пи !пи Если Зг) — х = 2гих (иг Е Я), то ряд расходится. Если 39 — х н 2гил, то ряд сходится по признаку Дирихле. б) Здесь 216 Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 10.
Найти радиусы сходимости следуюших степенных рядов: и! 1) ~~» — "' а"; 2) ~~» з"; 4) ~~» (3+(-1)")"е"; 5) ~~» г соз»п; 3) 6) ~~~ (и+ а")г". и 1) Применим формулу (5), и. 1.6. Пачучим и! (и + 1)""!»г В= 1ип— = 1ип ~1+ -) =е. и" (и+ 1)! !«и) ,л ) 1, если в=и!, 2) Степенной рял имеет вид 2 а»е, где ໠—— ~ О, если я и'.
и!, следовательно, 1 В= =!. 1ип «»га» 3) Аналогично случаю 2) имеем В = 1. л»п ! «»»! »-'!"г=л .- -~.;*к..— ~ ~.,к=!. 5) а„= соз(п = ' ' . Со~ласно формуле Коши — Адамара 1 1 1 Х— !ии -"-' — ~— — — 1, если !а)<1, ( 1, если !а~<1, 6) Так как 1ип " » !и + а" ( = г , то В = 1 !а!, ЕСЛИ !а! > 1, ' 1,»р ЕСЛИ !а~ > 1. а 1 1.
Исследовать поведение на границе круга сходимости степенных рядов; 1) ~~» г" 2) ~~» —; 3) ( — 1)" п М 1) Согласно формуле (5), и. 1.6, В = 1ии — "„"' = 1. На границе крута сходимости получаем числовой рял 1 — если й = и!, а»= пг О, если в~п!, следовательно 1 В= = 1ип Х/и! = 1. !ии «Л» л ! На границе круга сходимости |алг ~ = -.г, поэтому в точках указанной границы рдд сходится л ! абсолютно. 3) По формуле Коши — Адамара 1 В= „=2. йш — """ На границе круга сходимости получаем числовой ряд ~; и, очевидно, расходяшнйся. ~ (-1)"е»зм „соя ар „яппи — ( — П" — +» ~с (-1) и и и Если д = »г, то ряд расходится.
Для всех остальных значений 0 ряд сходится, так как оба числовых ! и" "! ! ряда сходятся по признаку Дирихле. Поскольку на границе круга сходимости ~ ! », ' ~ = —, то ряд в этих точках абсолютно расходится. 2) Записав ряд в виде 2 , 'а„г", видим, что его коэффициенты равны й 1. Ряд Тейлора 217 12. Найти сумму ряда ~~ пг", !4 < 1, им Я. И Пусть 1'(г) = 2; пг". Рассмотрим функцию ог, где )о(г) =! функцию )о в круге схолимости, получим уг'(г) = 2 пг" ' = =! части полученного равенства на г, имеем: 7(г) = г)г ( ) = (1 — г)г 13. Найти сумму ряда хт '-~ и = 2'г" = —,',.
Дифференцируя =о —;-'~~. Умножая левую и правую и Ралиус сходимости ряда й = !. Если 14 < 1, то !п(1 — г) = — 2 — '„. Следовательно, »=! г — = -1п(1 — г). м и г ь! 14. Найти сумму ряда ~ ~' 2п+ ! М Радиус сходимости ряда Я = 1. Если ф < 1, то 1п(1 + з) = ~~! , 1и(! — г) = (-1)" г" п -.7. — ' и Тогда г !-!-! 1и(1 + г) — 1п(1 — г) = 2 ~ 2п+ 1 Таким образом 1б. Разложить в степенной ряд функцию г !-! сй' г. и Принимая во внимание равенство сЬ г = — '+' г' и разложение функции г ! сй г в степенной ряд в п. 1.7, имеем 1 1 22"гг" ! 2г" ггг" 2 2 к-о (2п)! 2 ~К-~ о(2п)! =о =о 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
