А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Последователыгость (/ ) называетсв РавномеРно фУндаментальной, если (ггг > 0) (Зп, Е Гч) (ч(п >я игр Е Гг0): |!У чг У !! < г. Числовую последовательность можно рассматривать как частный случай последовательности постоянных фуггкций, прн этом понятия фундаментальности и равномерной фундаментальности совпадают. Теорема 6(критерий Коши).
Последовательность (/„) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно фундаментальна. м необходимость. пусть /„=г / н г > О. пользуясь определением равномерной сходимости, найдем такой номер и, Е 1Ч, что чп > и, !!/„— /!! < -'. Тогда гу(п > п„р Е Ы) !!/„,,р — /!! < -'. Следовательно, У(п > н„Р Е М) !!/„др / !! ( !!/ чр /!!+ !!/ / !! < ь, 'гто означает равномерную фундаментальность последовательности (/„).
Достаточность. Пусть последовательность (/„) равномерно фундаментальная и я Е Я. Тогда из оценки !У. -,(я) — У. (гН < (!/.+. — У )!, (3) справедливой гу(п Е Гг(, р Е Гц), следует фундаментальность числовой последовательности (/„(г)). Согласно критерию Коши, для последовательности комплексных чисел существует 1пп /„(г), который обозначим через /(г). Г!устъ г > О. Поскольку последовательность (/„) равномерно фундаменталъная, то существует такое и, Е Гг(, что Зг(п > п„р Е Гг() выполняется неравенство !!/„чг — /„!! < е, В силу неравенства (3) Й(п > н„р Е Гч(, г Е Я) имеем !У ьд(г) — У (г)! ( г.
перейдем в этом неравенстве к пределу при р — оо. получим зг(п ) п„я е Я) неравенство !/(г) — /„(я)! ( е. Согласно определению точной верхней грани, гдн ) н, ))/ — /„)! ( е, откуда следует, что /„--м У на Я. и Овределеиив 4. Пусть /„: С ' С, Ры = Я чп Е 1Ч, Ряд Я /„ называется равномерно сходят имея, если лоследовательность его частичных сумм сходится равномерно. Сумму равномерно сходящегося ряда назовем равномерной суммой. б 1. Ряд Тейлора 201 Оиредемние 5. Пусть у„: С вЂ” С, РÄ—т а !Гп Е Гй). Ряд ~ у удовлетворяет равномерному условию Коши, если наследавательнасть его частичных сумм является равномерно фундамгнниыьнай.
Критерий Коши, доказанный для равномерно фундаментальной последовательности, сформулируем в терминах теории функциональных рялов. Теорема 7 (критерий Коши для функционального ряда). Пусть У„: С - С, РÄ— — Я !Гп б Г!Г. Ряд ,'г У„сходится равномерно тогда и только тогда, когда он удовлетворяет равномерному условию Коши, 1.4.
Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Днрнхле равномерной сходнмостн функциональных рядов. Определение 1. Пусть У„: С вЂ” р С, РЫ = Я чп Е Г!Г. Ряд д,'У называется нормально сходящимся, если сходится ряд ) (!У„(!. Если все члены ряда ~, У„постоянны, то его нормальная сходимость равносильна абсолютной сходимости числового ряда. Теорема Л Пусть У„: С вЂ” ! С, Рг — 2 чп 6 Х Еши ряд ~ У„гхадшися нормальна, то ан является равномерно сходящимся, щ Из сходимости числового ряда ~ (!У„)! следует, что он удовлетворяет критерию Коши: чр (хгг > 0) (дп, Е РО (ч(п ) п„р Е )йО): д, )!Уй!! < г.
й= р! Из неравенства йр рр Уй <,) !!Уй !! й= ! й= -! выполняющегося !г(п б Г(, р Е р(), и теоремы 7, п.!лл следует равномерная сходимость ря- да~ У„.м Следствие (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть У„: С -! С, Ры = Я чп Е ГГ. Еии существует такой сходящийся числовой ряд ~ и„, чта 'чп б РГ !!У„(! < а„, то ряд ~ У„сходится равномерно. В качестве примера исследуем на равномерную схоцимость ряд ~ У„, где У„(х) = Г.-„-т-т, 0<» < -роз.
Поскольку У„(0) = 0 и 1цп У„(х) = О, то функция У„имеет чп б М локальный максимум, 2 являющийся одновременно ее равномерной нормой. Решая уравнение У„'(х) =;,' лытгр = О, получаем-' х = -т, !!У !! = У (х„) =,!,. Так как числовой рлд,) — !-г сходится, то по теореме 1 ряд ~, У„сходится равномерно. Если взять а„= -!г, то !!У„!! < а„и ряд д, У„равномерно сходится по мажорантному признаку Вейерштрасса. Пусть Уй .
С С (Ь = 1, и), дй '. С С (й = О, г!), Ргй — — Р й = В. Тогда и» Е Я справедливо тождество Абеля — ! Уй(»)(гдй(») — дй-!(»)) = У.(»)д (») — У!(»)дч(») — ~~' 1»Уй+!(») — Уй(»))дй(») (1) й=! й=! Действительно, Я ,Уй(д - дй- ) = Уй(д — дч) + Уз(дз - д!) + " + У.(д. - д.
) = й=! У!дч + (Л вЂ” Уз)д! + " + (У.-! — Ур)д.- + У.д. = У-д. — Угдч ~л~ (Уйч! Уй)дй й=! тожаество (1) я~ляется источником получения признаков равномерной сходнмости функциональных рядов. 202 Гл. 5. Ряды апалвтических функций. Изолированные особые точки Теорема 2 (о равномерной равносходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля). Пусть посзедовательиость функций (7„д„) сходится равномерно на мнозкестве Я. Тогда функциональные ряды, сходящиеся поточечно на мнозкестве Я, Т (д — д -!), де=0, (2) д(У ! — У) сходятся равномерно или неравномерно одновременно. м Пусть ряд (3) равномерно сходится на множестве Я. Согласно теореме о линейности равномерного предела и тождеству Абеля ~~', Уй(дй — дь-!) = У д — ) дй(Ьь! Уй) уп б р( (4) й=! й=! ряд (2) сходится равномерно на множестве Я.
Аналогично ряд (3) равномерно сходится, если ряд (2) является равномерно сходящимся. ° Определение 2. Последовательность комплексных чисел (х„) называется бимонотониой, если й«(п б М! р б Р)) (3) «.е «р (6) ) !хин! — х«„.! < 2 ) (хйь, — хй) . (5) й= и! й= ь! Смысл термина "бимонотонность" поясняет следующее утверждение. Лемма. Пусть «Уп б Р( х = х„+ ьу . Если последовательности (х„), (у„) монотонны, то последовательность (л„) является бимонотониой. М Имеем «у(п б р(, р б р)) .!. р «р !хйн! — хй! < ~~! !хй, — хй!+ ~~! !уйь! — уй! = й= ы й= н! й= ь! «р «я «р (хйь! — хй) + ~ь (уйы — уй) < 2 ~~! (хй ! — зй) .
и й= «! й= «-! й= Теорема 3. Если йх б Я последовательность комплексных чисел (3„(з)) бимонотоннан и зир !!дй!! 5пр !!Тй — 7„!! = О(1), й> / й,й> то ряд 2 д„((„ь! — У„) сходится равномерно. а Пусть х б Я. Тогда «р «-г «р дй(х)((й~«(з) — Уй(х)) < ~ !дй(х)! !(йн«(з) — )й(з)! < я«р !!дй!!2 ~ (~йь«(з) — (й(х)) < й= -«! й — ! й> й= < 2 зпр !!дй!! ) У„.,р„.«(з) — („(з)! < 2 звр /!дй/! зпр !!Уй — („!!. (7) й> й> й> Из оценки (7) и критерия Коши для функционального ряда следует утверждение теоремы. М Теорема 4 (Абеля). Пусть «Ух б Я последовательность комплексных чисел (7„(х)) бимоиотонная. Если ряд 2 Зз„сходится равномерно и !!У„!! = О(!), то ряд 2 („«р„является равномерно сходящимся.
щ Пусть Ф = 2,' (о„. Полагаем д„= Г )зй — Ф Чп б р(. По условию !!д„!! = о(1), Поскольку =! й=! зир !!дй!! звр !!зй — У )! = о(1)0(1) = о(1) и нп > 2 Зз„= д — д «, то выполнены все условия й> й> теоремы 3. Поэтому рад 2., д (7 ы — Т„) равномерно сходится. Так как !! у„д„!! < !!у„!!)!д„)! = 0(1)о(1) = о(1), то по теореме 2 ряд 2; у„пз„равномерно сходится, в 203 й 1.
Риа Тейлора Теорема б (Д и рихл е) . Пусть Ь)л б Я последовательность комплексных чисел ()„(г)) биманатанная Если ! р, =0(П и ((У„;(=а(Рц ь=ь (8) / ю I Оиределеиие 3. Ряд ~ 2,' уь ! называется п-огтаткам ряда 2,г„= ~ ~ гь) гон он Если ряд 2 У„сходится равномерно, то, очевидно, его п-остаток равномерно сходится к нулю. 1.5. Функциональные своиства равномерной суммы функционального ряда. Теорема 1. Если функцианальныи ряд 2,')„сгодится равномерно в области 0 С С и всв его члены являются непрерывными функциями в точке го б О, та его сумма Я будет непрерывной функцией в этой тачке. < Пусть в > О. В силу равномерной сходимости ряда ~„у„найдется такое п, б Н, что Уп>п, ((д-б„()= '~~ Уь (-'.
3 ь= +ь Выберем Л > 0 из условия Кь С О, где К„= [х б С: )а — хо! < Л), рассмотрим чгх б Кь разность д(л) — $(ло) = д(л)-д . (*)+д,(л)-й . (ло)+$,(ло) — й(ло) = ~~ь уь+д . (л)-д . (го)+ 2 уь(ло) ь= .+ь Ьт +ь та ряд 2 )„(о равномерна сходится. м Полагаем чп б !и д = ~ (оь Так как ьир ((дь!! зцр ((гь — г„(! = О(!)а(!) = а(1) и ь=ь ь> ь> )гп > 2 д„-д„, = Чь„, то, согласно теореме 3, ряд 2,'д„(у„.„ь — 2„) сходится равномерно. КРоме того, (!У д !! гч (!г.(!(!д !! = а(1)0(!) = а(1).
По теореме 2 ряд 2 У„ю„сходится равномерно, и ь Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд 2,' ф„, если ф„(х) = ь ь„у(п б Я, х б (О, +со)). Воспользуемся признаком дирихле, обозначив ьу(п б (ц, х б (О, +оо)) 2„(х) = „—, (а„(х) = (-1)".
Последовательность (/„(х)) является монотоьгиой чх б (О, +оо) и тем самым бимонотонной. Далее, !(1 (! = -„' = а(1), !2, уьь = 0(1). Следовательно, выполнены все условия признака Дирихле, т. е. Ряд сходится равномерно. Пример 2, Доказать, что ряд 2 — ' сходится равномерно в интервале (-1, 0), а ряд 2 „! — * в этом же интервале сходится, но не равномерно.
На рассматриваемом множестве ряд имеет вид 2 '( — 1)" — *„. Числовой ряд 2,' -':„) — сходится, а поскольку его члены не зависят от х, то эта сходимость равномерная. При каждом х б ( — 1, 0) последовательность ((х!") монотонная и ограниченная. По признаку Абеля ряд 2 — '„сходится равномерно на интервале (-1, 0). Исследование ряда 2 ~ — *~ на равномерную сходимость на интервале ( — 1, О) равносильно исследованию ряда 2 — „на равномерную сходимость на интервале (О, !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
