А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найти интегралы типа Коши: а) У(») = л', ) у!охю, Г = (у, у„), "у = (л Е С: !(! = ! ); г о р>=ау оград:-», =! р:~ ~ ° 3 )3 (! ап 16. Пусть функция У вЂ” аналитическая в круге Кя, = (» б С: ~л( < Л,) и ~а! < Л < Ло Доказать, что 2 Х*,— - хят- юУ(»)4», Г = (7, 7»р), 7 = (» Е С ° ~л~ — Л) г Вывести отсюда формулу Пуассона 0 17. Пусть функшоя У вЂ” аналитическая в круге Кя — — (л б С: ~ л — а~ < Л) . Доказать формулу л У'(а) = — ' / ЙеУ(а+ге»о)е 'РЛУ. о 18. Доказать, что / ей» с!8 »»(л = 2к» вЂ” „— о — (и б гй» Г = (Ъ у,р), 7 = (» б С ' !л( = (и + з) ау г *" Т Глава 5 Ряды аналитических функций.
Изолированные особые точки В этой главе изучаются равномерно сходящиеся ряды, членами которых являются аналитические функции. Основное внимание уделяется разложению аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, а также классификации изолированных особых точек аналитических функций, основан- ной на разложении их в ряд Лорана. 91. Ряд Тейлора 1.1. Обв(ие сведения о рядах. '(г!*! !ПО !.(*! "- К!.(*!), <!! =! =! где х„(у„) называют общим членом ряда, а число (функцию) / к = 2... ° н (* -к!.! - 2. !.<*! ° н) ь=! и=! (2) — его частичной суммой.
Предел последовательности (5„) частичных сумм ряда, если он существует, называется суммой ряда и обозначается тем же символом 2, х„(~ у„(з)), что и ряд (1). =! =! Обозначения ряда и его суммы различают по смыслу текста, в котором они встречаются. В частном случае, когда члены ряда — действительные числа, его суммой могут быть символы +оо и -со. Однако, числовой ряд называется сходящимся, если у него существует сумма и она конечная, т. е. является действительным или комплексным числом. В остальных случаях, когда сумма числового ряда не существует или является бесконечной, ряд называется расхадяи!имся.
Лля функциональных рядов рассматриваются понятия поточечной и равномерной сходимости, о чем речь пойдет позже. В некоторых книгах по математическому анализу появилось формальное определение ряда как пары последовательностей — (~!.!.!='г(и!.<!ь-. (гЗ !.!*!) )). и! но для ряла и его суммы сохраняется одно и то же обозначение. Определение Ряла Равенством (3) не являегся единственно возможным. Чиглаеий (функциональный) ряд можно интуитивно понимать как последовательность (х„) комплексных чисел (последовательность (Г„) функций), которые строятся по определенному закону и последовательно складываются.
В соответствии с этим числовой (функциональный) ряд записывают в виде Гл, 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 198 В настоящей книге ряд будем обозначать специальным символом 2,' х„(~ („) и опрелелять не как пару двух последовательностей, а как последовательность чисел (функций) вида (2): (4) Для суммы ряда, когда она существует, сохранено прежнее обозначение (5) Таким образом, символы ~ , 'х„и 2,' г, имеют различный смысл. Первый из них обозначает =! ряд, а второй — сумму ряда, когда она существует.
Здесь проводится аналогия с обозначениями функции Т и ее значения г(х). Теорема 1 (необходимый признак сходи мости ряда). Если ряд сходится, то носгедовательность его членов стремится к нулю. м пУсть Рад 2, х„(~ Т„) сходитсЯ, Я вЂ” его сУмма (Я(х) — его сУмма в точке х б пз), (Я ) ( (Я (х)) ) — послеловательность его частичных сумм. То~да л„= ߄— Я„, -! Я вЂ” Я = 0 ((„(х) = Я (х) — Я„!(г) -! Я(з) — Я(х) = 0).
М Теорема 3 (критерий Коши). Ряд 2 х„(~ У„) сходится (сходится в точке г Е 2)г„) тогда и только тогда, когда .ьр ьр н ьчэ, п(чь ) „Хь): г ' .~ ( г г,(*! ). (ы ь= -ь! ь= ы т Условие теоремы означает, 'по последовательность (Я„) ((Я„(л)) ) частичных сумм ряда фундаментальна. Поэтому утверждение следует из критерия Коши для числовой последовательности. М Если числовой ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд 2 ~з„~, то его сумму будем обозначать символом ~ з„, подчеркивая этим, что любая перестановка ряда имеет ту же сумму, что ен и сам ряд. Этим свойством не обладают условно сходящиеся ряды.
Поскольку последовательность компяексных чисел может рассматриваться как ряд, то они являются различными названиями лля одною и того же объекта — отобрюкения множества М в С. Поэтому с рядами мспкно производить те же операции, что и с последовательностями. 1.2. Последовательность функций н функциональный ряд. Поточечная сходнмость. Определение 1. Отображение Ф множества (Ч в множество всех функций называется функциональной носледовательностью. Значение отобразкения Ф(п) = („ называется ее п-ным членом.
Для последовательности функций примем обозначение ((„). Определение 2. Пусть У: С С, („: С С и !уп Е (ч( )9(„м Р) — — Я, Последовательность ((„) называетсн ноточечно сходяигейся к функции (, если!Ух б Я ((х) = йш У„(х). Если последовательность ((„) поточечно сходится к функции (, то пишем У„У. В случае, когда важен сам факт поточечной сходимости и не играет роли функция (, будем писать У„ Определение 3. Пусть ((„) — носледовательность функций („! С С, 2)Г„= Я. Функциокольная лосяедовагпельность (Я„), где Я„(х) = 2 (ь(х) чх б Я, называется функциональным ь ! рядом и обозначается аинволом 2 („. Функция Я„называется п-частичной суммой реда 2 Т„, а Т вЂ” его п-членом.
Ц 1. Ряд Тейлора 199 Определение 4. Паточечной суммой ряда ',г г„на множестве и называется иоточечный иредел ега частичных сумм, если ан существует. Ряд называется латочвчна сходящимся, если ега иатачсчная сумма существует и явплется конечной. Поточечная сумма ряда 2 у„обозначается символом ,') у„. Таким образом, у„~(з) = 1!щ ~! !/Е(г) !уз Е Х =! ь=! ПУсть Рч„= Я !Гп Е !Е(.
Тогда последовательность фУнкций (Я„) можно РассматРивать как ряд 2 (а„— Я„!), где дс(з) = О !Уг Е Я. Следовательно, функциональные ряды, подобно числовым, представляют собой особую форму изучения последовательностей функций. 1.3. Равномерная норма функции. Равномерная сходнмость последовательности функций н функционального ряда. Введем в рассмотрение равномерную норму функции, обобщающую модуль числа и совпадающую с ним, когда функция постоянная.
Это новое понятие используем при построении равномерного предела функциональной последовательности. Определение 1. Число зпр !У( )!, (1) :ЕЛг каисчнас или бесконечное, называется равномерной нормой функции у и обозначается ЦТЦ. Отметим основные свойства равномерной нормы функции. Теорема 1.
Длл любых функций У ! С С, д: С вЂ” ! С и ЛГЛ Е С сираведливы соотношения! 1) Цг Ц = О ь 1 = О; 2) ЦЛ1Ц = !Л! Цу'Ц; 3) ЦутдЦ < ЦУЦ -Ь ЦдЦ, если РГ и Р фй!. и 1) ЦТЦ=О~ зир !1(г)!=О=' !1(з)!=Оцз ЕРг =.! 1(г)=0 1!з ЕР) ~ 1=0; Епг 2) ЦЛЛ = гвр !Лу(г)! = я!р /Л! !У(з)! = /Л! гир !1( )! = !Л! ЦТЦ.
Епг *ЕЛЕ 3) Пусть з е Р! и Р, фс!. Тогда /1(з) + д(г)! < !Т(з)/+ !д(з)! < Еор !У(1)!+ язр !д(т)! = ЦТЦ е ЦРЦ. сепг ЕЛЕ Сонисно определению точной верхней грани имеем зир !Т(з) +д(з)! < Ц)Ц+ ЦдЦ, т.с. Цу -ЬРЦ < Ц)Ц+ ЦРЦ. И *ЕЛГес Теорема 2. Функция у ! С С ограничена тогда и толька тогда, когда ЦТЦ < +сю. щ Действительно, Цгсй = сир !Т(зН < +со с> ВМ Е Ж ! чл Е РГ !У(с)! . М сз у — ограниченная. и *Епг Для модулей чисел з Е С, в Е С справедливо равенство )згс! = )з)!т!. Для равномерных норм такого равенства не с!ллсствует, например, пусть у(з) = 1, если !з! < 1, у(з) = О, если !з! > 1, а д=1 — У.
Тогда Уд = О, Ц1дЦ = О, ЦУЦ =1 ЦдЦ = 1 т е ЦУРЦ за ЦУЦЦдЦ. Однако справедливо утверждение, Теорема з. Пусть у ! С С, д: С - С. Если Рг О Р фй!, то Цздй<ЦгЦ ЦРЦ (2) т Пусть з Е Рг г! Рв. Тогда )у(з)д(х)! = !У(з)(!д(з)! ~< Ц1Ц ЦдЦ. Из определения точной верхней гРани следует неравенспю зир !1(х)д(х)! < Цу'ЦЦдЦ, т.е. Цудй < Цу'ЦЦРЦ. И Ептв Оире!млтгие а. Пусть Я = Рг —— РГ„'чл Е р(.
Последовательность функций (у„) называетси равномеРно схвдлщвйсл к функции у на мнозкестне Я, если Цу — ТЦ О ири п -! оо. 200 Ггг. 5. Ряды аналитических фуикшгй. Изолированные особые точки При этом функцию / называем равномерным яределом яоследовательности (/„) и пишем / -"ц /, или /„ =з У на Я. Теорема 4. Если /„ - — х /, то /„ т Пусть Я = Рг = Рп, 'ггя Е р) и г Е Я. Тогда при и оо имеем !У(г) — У.(я)! < !!У вЂ” У.!! О, следовательно, /„У. и Следствие. Если иоследовательногть функций (/„) сходится равномерно, то ее равномерный яредел — единственный.
Теорема 5(о линейности равномерного предела). Есги /„=1 /, д„д, Я = Рг —— Рд = РГ = Р гуп Е Гг(, то гул Е С У ф Лд:Г / + Лд. М Имеем при и со: !!(/„+ лд„) — (/ ф лд)!! < !!/„— /!!+ !л! !!д„- д!! - о, следовательно, /„-г- Лд„ч У + Лд. и Не все теоремы о пределах сходящихся числовых и равномерно схолящихся функциональных последовательностей аналогичны друг другу. Это объясняется тем, что равномерная норма, в отличие от модуля числа, может принимать значение +ос.
Приведем пример двух равномерно сходящихся последовагельносгей функций, произведение которых сходится неравномерно. Пусть 1г(я Е Гг( я Е С) /„(г) = г, /(г) = г, д„(г) = — „'. Тогда /„~ /, д„О. Однако, ч(п Е Нгг Е С) (/„д„)(г) = -*, !!/ д„— О!! = !!/„д„!! = зир (-„' ~ = +со, т.е. сходимость -"ес неравномерная. Определение 3. Пусть /„: С С и гуи Е Гг( РГ„ — — Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
