А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 45
Текст из файла (страница 45)
о рис. 7! Так как функция У по теореме Кантора равномерно непрерывна в Р, то 'уе > О 26 > О: !у(з б Р, з б Р) (1з — з ) < 6): )У(з ) — У(з Я < е. Пусть ацр !Л(1)( = а, аор !Л'(1)) =)3. !во,! ! се!к 2 ! Тогда выполняется неравенство 6 1(зо+Л(1)) — (зо+РЛ(1))! < (1-Р)о < 6, есЛи 1-Р < —, а' и поэтому у(з)г(г < е)М 2к. / г В силу произвольности е > О отсюда следует, что 7(з) Из = О.
г Пусть у — произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая. Если она имеет точки возврата„то мы выбросим из области Р круги малого радиуса е с центрами в этих точках так, чтобы граница полученной области Р, не имела таких точек (рис. 72). Проводя внутри Р, линии уь (й = 1, и!), эту область можно разбить на части Рь, ограниченные звездными кривыми 7„' (й = 1, гп). По ранее доказанному 7(з) дз = О, Гь = (7ь, ть ), (г = 1 пз, г', 170 Гл. 4.
Инте»рированне в комплексной плоскости. где Гь ориентированы в поло:кнтельном направлении (см. рис. 72). Так как общие части границ смежных областей проходятся дважды, притом в противоположных направлениях, то У 1Т(.)"=11(.)б.=О, Г.=(7.,7Т), ь=», г. » где Г, — положительно ориентированная граница области Р,. Поскольку 7 и 7, отличаются лишь на конечное число малых дуг, а функция у ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг, который обозначим через 1, допускает оценку )1~ С 2лМе, где М > 0 — некоторая постоянная. Таким образом, интеграл по кривой Г сколь угодно мало отличается от интнрала по кривой Г„равного нулю, вследствие чего У(я)дя = О.
° г Рвс. 73 Из теоремы Коши для односвязной области легко получить теорему о существовании перво- образной аналитической функции, заданной в односвязной области. Эта теорема носит глобальный характер. Теорема 3. кобая аналитическая в односвязной области Р С С функция У имеет в этой области нервообразную. »я Если функция У аналитическая в односвязной области Р, то, согласно сдедствию 2 из теоремы 1, для всех простых (жордановых) гладких кривых 7, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл ~ У(с) бя, где Г = (7, 7 ), имеет одно и то же значение. Действительно, г пусть Г» и Г, — ориентированные гладкие или кусочно-гладкие кривые, с концами в точках зв и я, лежащие в области Р (рис.
73). Рассмотрим упорялоченный набор Г = (Гп Г ), являющийся замкнутой положительно ориентированной кусочно-гладкой кривой. Тогда имеем л»» =(»»»и )у»»» =», г, г» откуда »»»»*-+»»а = 7»»»»~ г, г, г, Поэтому криволинейный интеграл в рассмотренном случае можно обозначить так же, как и интеграл Ньютона — Лейбница » Пусть а б Р— начало гладкой или кусочно-гладкой кривой 7, с б Р— произвольная точка, являющаяся концом кривой у.
Тогда в области Р определена функция Р, где б 5. Теорема и интеграл Коши 171 Пусть (х + Ьх) Е Р. Тогда получим: гьа* Р(х -Ь гьх) — Р(л) 1 /' йе -у = — У(ук)-у() ~ гье ( (4) В связи с замечанием о независимости интеграла от выбора пути, соединяющего две точки, в правой части равенства (4) считаем, что путь, соединяющий точки г и х + 2ьх, является прямолинейным отрезком. Поскольку функция у непрерывна в области Р, то ве > 0 36(е) > О: 1Ь4 < о ~ ~у(г + дьх) — у(х)~ < е. Оценивая интеграл в равенстве (4), получим для Пзг) < й: У(х) дг = О. г' Р(х -1- ьхх) — Р(х) 1 гьз — У(х) < — е!Ьх1 =е 1ььх! Слеловатсльно, уз Е Р Г'(х) = 7'(х).
м В классической теореме Коши существенным является требование односвязности области. В неодносвязной области не каждый пуп гомотопен нулю, а по нбгомотопным нулю кривым интеграл от аналитической функции может не быть равным нулю, Рассмотрим пример. Пусть Р = (а Е С ) 1 < 1х( < 2), у(х) = -„'. Очевидно, что у Е А(Р). Возьмем замкнутую кривую (окружность) с параметрическим представлением (о(1) = ре*', 0 < 1 < 2е, 1 < р < 2. Тогда т С Р. Рассмотрим интеграл У(х) дх, г где Г = (7, 7 ) — ориентированная в направлении против хода часовой стрелки окружность радиуса р с центром в начале координат.
По определению криволинейного интеграла второго рола вдоль гладкой кривой Г имеем з 2 Р (ре'41 У(г)дх = / У(~о(1))ег'(Г)41 = / и = 2я( й О. ре*' г ь ь Однако, классическая теорема Коши обобщается и на случай неодносвязной области. Рассмотрим зто обобщение. Пуси даны (и+ 1)-связная область Р С С, ограниченная гладкими или кусочно-гладкими кривыми ур (внешняя граница), 7„.7„...,7„(внутренние границы), функция у аналитическая в замкнутой области Р (рис.74), Го = (7о 7ь ), Г1 — (7п 7',"), ..., Г„= (7„, 7„' ] — ориентированные кривые, при обходе которых область все время остается слева.
Теорема 4. При вьтолнении всех перечисленных выше условий слроведливо равенство г(ь. ) „о., К) г(о.. = .. вп гь ь ью где дР— яолояситееьно ориентированная полная граница области Р, состоящая из контуров Г,Г„...,Г„. т Проведем разрезы у'„уз, ..., у„', превращающие обласп Р в односвязную область Р'. Обозначим через Г' положительно ориентированную полную границу области Р'. Так как область с Р односвязная и У аналитическая в замкнутой области Р, то по теореме Коши имеем 172 Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. Поскольку берега разрезов у'„ у,',..., 7„' при интегрировании будут проходиться лважлы в противоположных направлениях, то в силу свойств криволинейного интеграла второго рода получим У(х) а. = ~ У(е)а. + Я ~ У(л) а, = О г г ью е г, (входящие в сумму интегралы по берегам разрезов взаимно уничтожаются). м Теорема 4 остается в силе, если функция / аналитическая в области Р и непрерывная в замыкании Р.
5.4. Интегральная формула Коши. Эта формула определяет аналитическую функцию в области через ее значения на границе области. Теорема. Пусть Р Га С вЂ” область, у — аналитическая функция в замыкании Р, дР— ноложителыьо ориентированная граница области Р, состояигая из одной или конечного числа кусочно- гладких кривых.
Тогда чг Е Р вынолняется равенство у()= —. ) — ( 1 Г У(() 21п' )' ( — х и Пусть л ŠР— любая точка, К, = (х' е Р: |з' — г! ( р) с Р. Рассмотрим множество Р, = Р (К (рис.75). Поскольку функция с", где Р(Г) = ~~~.', аналитическая в замыкании Ре, то по теореме Коши 4, п.5.3, имеем г(()а( = О, оп, откуда Р(()ас — д~ РК) а( = О, еп ок, где дК, — положительно ориентированная граница круга К,.
Получаем, что (2) Рне. 75 ок, В равенстве (2) перейдем к пределу при р О, приняв во внимание, что его левая часть не зависит от р, Правую часть равенства (2) запишем в виде оке ек, После замены переменной ( — л = ре', О ( Г ( 2я, получим: 2 з / У(() Т;рог' Ш Т 1(У(ое'ь -1- г) — У(х)) Ре" — а(=У(Я)у) ей) ь 41=2ЯЕУ( )+1~(У(Рви+ ) — У( )) Ш, / реи $5. Теорема и ивтеграл Коши 173 Поскольку аналитическая функция У является непрерывной, то сгг > О Зб > О: Ьз») < б =: !У(»+ бг») — У(»)~ < е. Взяв р < б, получим оценку 2 г с й/ (У(Ре +») — У(»)) д! < г/ (У(Рес +») — У(») ( д! < 2нг. о о В силу произвольности г > О / '' о У ( — » вк, Окончательно имеем — д( =!пп / — д( = 2ггсУ(»), У(() .
Т И) (-. ва откуда следует формула (1). м Следствие (теорема о среднем). Пусть У вЂ” анаситическол функция в жикнутом круге Кн —— (» б С: !» — »4 < )с), Тогда снраведлило равенство г г сс У( о) = — / У( + Лес ) д(, (3) 2сг / а т. е. значение функции У в цгннсре круга ровно среднему арифметическому ее значений на окружности. м Согласно формуле (1) имеем У(»о) = —. / У У(() 2-с / вкн Произведя замену переменной по формуле б = »о + )! ес', О < ! < 2к, получим 2 1 У с Не*со сЫ 1 У У(»а)= —. / У(го+Ве"), = — / У(»о-ьВен)д!.
и 2кс / Де*с 2сг / У(( -1Н" +П) ' д»+ »4-1 / »+1 г г, + ((» — П(» — с)) д»+ »+с Г( +1)( 211)) д»+ » — 1 г, ((» — 1)(» -Ь с)) / 1 1 1 1 чг д = 2кс ~ — -+ -+ — — —,~ = О. М » — с 4 4 4с 4с) г, гс Интеграл в правой части равенства (1) называется интегралом Косин. Считаем полезным напомнить читателю, по пояохсительная ориентация контура при его обходе соответствует направлению движения против хода часовой стрелки. При положительной ориентации границы области, состоящей из нескольких контуров, внешний контур обходится в направлении против хода часовой стрелки, а внугренние обходятся в направлении по ходу часовой стрелки.
Это принято во внимание при доказательстве теоремы 4, гс.5.3, и теоремы Коши этого пункта. Рассмотрим задачи. У д» 1. Доказать, что / = О, где Г = (7, 7„), 7 = (» б С: (»( = 2). / »4 1 г м пУсп, Г; = (Ом ~~) — положительно оРиентиРованные гРаницы окРУжностей РадиУса р с центрами в точках ' — 1, 1, — с, с, не пересекающиеся друг с другом. Применив формулу (1), получим: Гл.
4. Ивтегрироваияе в комплексной плоскости. 174 2. Пусть 7 = (х О С: ~х( = г) и )а! и' г. Доказать равенство ~ Поскольку на окружности у выполняется равенство х = гег", О < р < 2а, то ( г(х (гйг йх = ( е '"4)г, — — = д)г, Щ = гг()г = — —, е х то интеграл 1 сводится к интегралу второго рода по ориентированному в положительном напра- аленин (протнв хода часовой стрелки) контуру Г = (7, .(.,): 1= — и =- ' — ==- l дх /' йх / г(х = — и' = — (г х/х — а)з 1 х(х — а)(~ — о) ( з(г — о)(х — о) Так как у= г'г ', то (г / с(х 1=— д ./ (е — а)(х — — ') г Если контур Г окружает точку о, то по формуле Коши (1) получим: г )-' 2гг г" г ') 2 з ~ з 3 1 = — — а — — = -2яг(~а~ — г ) = 2яг(г — /а! ) а ~, б) Если ~о~ > г, то контур Г окружает точку —" и в силу формулы (!) имеем: г г 2яг г' г 1 = — ~ — — а) = 2яг((о~ — г ) а 1 о Обьединив обе формуды в одну, получаем; 1 = 2яг !Па) — г ! 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
