А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 40
Текст из файла (страница 40)
рис. 64) Тогда функция зе = е ' = ез"' ' = е *-' отображает луночку на верхнюю полуплоскость (см. свойства показательной функ- ции). и 107. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, огра- ниченную окружностями Г = (з Е С: )з~ = 2), у = (з 6 С: ~з — 3) = 1) (плоскость с выброшенными кругами). м Искомое отобрюкение ю является композицией ю = е* ', где ю, = -'ти„ю, = '~ (см. рнс.б5) Таким образом, В .44 ез зе=е Т' — з Рее. 65 108. 1)тобразить на верхнюю цолуплоскость область, определенную неравенствами 1з — 1) > 1, )з Ч- 1) > 1, !гпз > О (верхняя нолуплоскость с выкинутыми полукругами).
и Функция и, = — ',+' отображает заданную область на полуполосу С = (ю, б С: 0< Кем, <2, 1тм~ < 0), а функций мз = з и, переводит С в полунолосу Р = (мз б С: О < Кемь < к, 56. Тригонометрические и пюерболические функции !43 !юшз < О). Из свойств функции 6 ~ соз6 следует, что функция ш = созш, = соз-Щ)— искомая. (см. рис. 66) ш 109.
Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (г б С: О < Ке з < +со, — ! < !ю а < Ц с разрезами по отрезку (О, Ц и лучу (2, +со). и Требуемое отображение ш определим с помешаю композиции элементарных преобразований; ш, = лз, ш, = е"', ш, = (шз+ „— '), ш, = -"-' —,,„-; —, ш = lш,. Послеловательные преобразования отражены на рис.67.
ш Рве. 67 110. Найти функцию ш(л), отображаюшую область, ограниченную окружностью Г = (з 6 С; (з! = Ц и прямой 7 = (з Е С: !те = Ц (полугпюскость ш = (з Е С: !пз !з! < Ц с выброзпеыным кругом К = (а б С: (з! < Ц) на круг К = (ш Е С: (ш! < Ц с нормировкой ш( — 31) = О, агам~(-3!) = з. м Функция ш, = *+', отображает множество С на вертикальную полосу 27 = (ш~ Е С: О < Кем~ < Ц, а функция шз = зщ — †, переводит .Р на полосу 27' = (шз Е С; — к < Кеша < ку. Гл. 3. Элемевтариые функции в комплексной плоскости 144 Полагая получим отображение полосы 2)' иа единичный круг с центром в начале координат (см.
рис. 6В). Рис. 68 Подставив в юз г = -Зз, получим юз(-Зз) = О, Дифференцируя вз(з), находим: 3;г л к юз(а) = —,, ю,(-3з) = з —, ащюз(-Зз) = —. (а-з)зсозз 4 (-~~ ) 16 2 Далее полагаем ю = ю(вз) и требуем выполнения условия нормировки агйю (-Зз) = -. Дифференцируя ю по переменной з,имеем йзи лю люз г(ю(а) Ию(юз) ) дюз(а) — — — агй— =ащ — ~ +ага— з(вз йа йа з лзиз или л, л л я — = ащю'(0) -з- —, откуда ащю'(0) = — — — = — —. 3 2' 3 2 6 Функция ю = ю(юз) долхгна удовлетворять условиям ю(0) = О, агй ю'(0) = — —. Слеловательно, ю=е 'тюз=е ззщ — = щ— принимая во внимание равенство щи = -з 1)з зз, можно представить ш(х) в виде 1+ зи3 згз(а+ 3!) ш = — — з)з 2 4(а — з) 111.
Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу 6 = (а б С: 0 < Кеи < 1) с разрезом вдоль отрезка у = (л Е С; 0 < Кеи < Л, !газ = 0) ()з < 1). м Функция ю, = ла отобрюкает полосу О на полосу 2) = (ю, Е С: 0 < Кею, < к), а функция ш, = сов за, отображает полосу В на всю плоскость с разрезами по лучам ( — со, — 1] и (совий, 4.со). Тогда шз — соакй совки — совий зиз+ 1 1+ совка — требуемое отображение. и 112. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (з б С: 0 < Кеа < л, !пза ) 0) с разрезом вдоль луча т = (а Е С: Кеа = — ",, й < !та < +со) (Л > 0). и Полагая ю, = сов 2а, получим отображение множества 6 на всю плоскость с разрезами по лучам (-оо, — ей 26! и (-1, +ос). Функция в, = лзгЯ- отобрюкает плоскость с указанными Упражнения для самостоятельной работы 145 разрезами на всю плоскость с разрезом по лучу )О, +ос). Слеловательно, со525 + сп 26 с0525+ 1 — искомое отображение.
М 113, Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную мнимой осью и окружностью Г = )5 Е С: !з — 1~ = 1), с разрезами вдоль отрезка Ъ = 15 Е С: 2 ( Ке5 ( а, !пэ 5 = 0) и вдоль луча 72 — — 15 е с: ь < кез < +ж, 1205 = О) (а < ь). М Полагая в2 — — -', получим отображение указанной области на вертикальную полосу Р = )в2 Е С: 0 < Кеэи2 < 1) с разрезами по отрезкам !О, -'1 и 1-', -,'1. функция вэ — — 2лэи, 2 г отображает множество О на вертикальную полосу Р = (вэ Е С: 0 < Кевэ < л) с разрезами по отрезкам )О, 2 ) и ~ — ', и], а функция в2 — — сох вэ отобразит полосу Р на всю плоскость с разрезами по лучам (- ю, со52, 1 и )005 2в ', +со) Полагая 2 С05 В2 — С05— ь в4 2 С05 Вэ — С05 — „ получим всю плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси.
Таким образом, 2 2 СО5 — — С05— = 2ГВ4 = С05 — — С05— — требуемое отображение. в Упражнения для самостоятельной работы 1. С помощью отображения эи = 52 Найти образ круга К = 15 Е С; !5 — 1, '< 2). 2. Доказать, что если точка г описывает окружность 7 = 15 Е С: !4 = 2), то точка эи = 5 — 22'+— описывает эллипс с главными осями, равными 5 и 3.
3. Найти образ первого квадранта 5-плоскости прн отображении 4. Доказать, что функция в = ( —,* ) взаимно однозначно и конформно отображает область г О = 15 Е С: !4 < 1, 1гп э > О) на область Р = 1в Е С: 120 в > 0). 5. Найти образ области С = (5 Е С: !5( < -') при отобрюкении =( — ':)' б.
Найти образ области О = (э Е С; 15( ( 2, 0 < агйе < —,) при отображении в = (*т-+25) 7. Найти образ множества Р = 15 Е С: Ке 5 > 0,120 5 > 0) при отображении 2 8. Множество Р = !5 Е С: 15! ( 1, Кеэ )~ 0) отобразить с помощью функции 9. Доказатгь ЧтО фуикциЯ 22 42 22 224 2422- 2 однолистно и конформно отобрюкает область Р = (з Е С: !з! < 1, 0 < агаи < —,) на область Р = 1в Е С: ~в! < 1). 146 1 л. 3.
Элементарнме функции в комплексной плоскости 10. Найти образы указанных областей при заданных отображениях: ъ 3 а) й = (з б С . ф < 2, 1ш з > 1), в = — (-* — +Я:-'-) ъх б) ъг = (г Е С: )я! > 2) гз (з Е С: |з — ъ'2~ < ъ'2), в = (-'= — д~-';:о ); ъз н) С = (з Е С: )4 < 1) и (з Е С: ~я + 1~ > 1), и = — (-; — "7з — ":) 11. Найти степенную функцию, отображающую взаимно-однозначно и конформно внутренность угла 0 < агй з < -„на всю комплексную плоскость и с разрезом по лучу агйв = -", . 12. Найти функцию, отображающую однолистно и конформно внутренность угла О < агб(я — г — 1) <— на область й = (в б С: Ке ю > О).
13. Найти функцию, отображающую взаимно однозначно и конформно внутренность угла --", < агй(г — г) < -„ на верхнюю цолуплоскость. 14. Найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение внутренности угла — — < агя(з — а) < — ', на область 6 = (в б С: 1ш и > 0). 15.
Найти функцию, отображающую однолистно и конформно область 6 = (г б С: Ке з > О, 1ш г > 0) на область 2) = (в Е С: Рею > 1). 16. Найти целую линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в ~очках О, 1, г на подобный ему треугольник с вершинами О, 2, 1+ г. 17. Найти целое линейное преобразование с неподвижной точкой 1+ 21, переводящее точку г в точку -г. 18. Для указанных преобразований найти конечную неподвижную точку зе (если она сушествует), угол поворота вокруг нее е и коэффициент растяжения к.
Привести эти преобразования к каноническому виду в — яе = Л(з — зе). !) в = 2з 4 1 — Зг; 2) и =(з-~4; 3) вс я+1 — 2г; 4) и — ю, =а(з — з,) (а~О); 5) в = аз + Ь (а и' О). 19. Дана функция в = -';:-*-г. !) Доказать, что прообразом семейства а = (ю Е С: ~в! = Л (О < Л < +ос)) является семейство окружностей (окружности Аполлония) Для данного Л найти радиус и положение центра соответствующей окружности в я -плоскости. 2) Найти прообразы лучей ахи = К 3) Построить сетку в з-плоскости, соответствующую полярной сетке в и-плоскости. 4) Найти область я-плоскости, соответствующую полукругу К = (ю б С; |в( < 1, 1гп ю > 0), 20.
Найти общий вид дробно-линейной функции ю = в(г), отображающей круг К = (з б С: ф < 1) на правую полуплоскость Р = (в Е С: Ке ю > О) так, чтобы в(з,) = О, в(я,) = со, где з, и я, — заданные точки на окружности дК и такие, что асяс, < агкз,. 21.
Найти центр ие и радиус В окружности, на которую функция в = -': —,*-~ отображает действительную ось (1т я, ~ 0). 22. Найти общий вид дробно-линейной функции и = в(з), отображающей круг К = (з б С: ~4 < В) на себя при следующих условиях: 1) в(а) = 0 ()а) < Я); 2) в(а) = Ь ()а~ < В, /Ь~ < В); 3) и(~В) = ~В. 23. Отобразить круг К = (з б С: ~4 < 1) на себя так, чтобы заданные точки гп яз внутри хрущ перешли в точки жа (О < а < 1). 24.
Отобразить круг К = (з б С: !4 < 1) на себя так, чтобы отрезок действительной оси 7 = (г Е С: 0 < Кег < а (а < 1), 1шя = 0) перешел в отрезок действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка. Упражнения для самостоятельвой работы 25. Доказать, что при отображении круга на круг линейное преобразование однозначно определяется заданием образов одной внутренней и одной граничной точек. 26.
Доказать, что если линейное преобразование имеет две неподвижные точки, то произведение производных в этих точках равно единице. 27. 1) Выяснить, для каких значений т функция м = Л(з + шг"), где и Е И, осуществляет конформное отображение круга К = (з Е С: [х[ < 1) на некоторую область, и найти эту область. 2) Выяснить зти же вопросы для отображения внешности круга К при помощи функции м = )2 [з Ч-,— „) и внутренности того же круга прн помощи функции м = В (-,' + пзл"). 28. Полуплоскость Р = [з Е С: 1ш з > О) с разрезом по луге окрухсности 7 = (х Е С: [з[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е', где 0 < а < г, отобразить на верхнюю полуплоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
