А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. Р— аналитическая функция в К и Ег(л) = у(з) тг 6 К. м Пусть Π— треугольник с вершинами в точках а, я, з + йьх, тле з Е К вЂ” любая точка и (я+ гзл) 6 К. Тогда О а К (рис. 69, а)). Ориентируем границу треугольника в положительном й 5. Теорема н интеграл Ковш !63 направлении (рис. 69, б)), соответствуюшем направлению движения против хода часовой стрелки. Согласно условию теоремы и свойству аддитивности интеграла, имеем Я)46= /'К)д(+ /'Н)д6+/'И)д(=Е() — Е( +й )+ /И)д(=О, ва г, 2 г, г, откуда У(г+Ьг)-Е(г) = / У(()И6.
г, Рассмотрим вырюкение Е(г + гьг) — Е(г) 1 à — 1" (г) = — / (Щ) — ) (г)) ь(б. гьг 2,/ г, Поскольку функция 1' непрерывная, то ьс > 0 Эб > 0; (~(6) — 7(г)( < с, если ~г)г! < б и б 6 (г, г + гьг). Принимая во внимание неравенство (6), п.4.1, получаем оценку Г(г + 2аг) — Е(г) 1 ььг ~дьем — у(г) < — с1гаг~ = с, откуда следует, что ег(г) = у(г). м Теорема 2. Если )' б А()3), то интеграл от г но ориентированной границе до любого тре- угольники 6 С 2) равен нулю. ч Применим метод доказательства от противного.
Допустим, что теорема неверна, Тогда существует такой треугольник б* Са Р, что / )'(г) дг =М, М>0. (3) Разобьем треугольник ьг средними линиями на четыре треугольника н орнентируем границу дб н границы составных треугольников так, чтобы их обход совершался в положительном направяении (см. рнс,70). Пусть дбг (7' = 1, 2, 3, 4) — положительно ориентированные границы составных треугольников. Тогда, очевидно, выполняется равенство 4 г='ос оо. г .та 3 так как интегралы вдоль средних линий берутся дважды в противоположных направлениях и при сложении взаимно уничтожаются.
В силу неравенства (3) среди составных треугольников с.) сушествует по меньшей мере один (обозначим его б, ) такой, что 7(г)ь(г > —. 4 М 1'(а) ь(а > —. 42 ао; Треугольник гг; опять разобьем средними линиями на четыре треугольника. Тогда, в силу привеленных выше рассуждений, среди них найдется по меньшей мере один такой треугольник сгг, Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. 164 Продолжая этот процесс разбиения на составные треугольники, получим последовательность вложенных друг в друга треугольников (б„), для которых выполняются неравенства М У(*)йг > —. 4" (4) Согласно теореме Кантора (см. В4, гл, 1) существует точка г,, принадлежащая всем треугольникам. Поскольку г» 6 б, то гг 6 22.
Так как функция у аналитическая, то тг 6 2) выполняется равенство У(г) = У(го) + У'(»0)(г — го) + а(г)(г — гг), (5) где а О при г ~ го т.е. тг > О Лб(г) > О: !г — га! < 6 ==о !а(г)! < г. Пусть К» — — (г 6 С: !г — ге! < б).
При достаточно больших и 6 г( б„С К». Принимая во внимание примеры 1 и 2 из п.4.1, получим: У(з)"г / 1(го)аг+ / У(го)(а е)ог+ / п(гйг го)ог / п(г)(г го)аг~ ос„' вс„ ос„ откуда следует оценка У(г) аг < г!дб„!, ос;, где !дб"„! — перилгетр треугольника б„, т.к. !г — гг! < !дб"„!. Согласно построению имеем !дб„'! = —, !дб'! 2" следовательно, выполняется оценка !дб*!' У(~)й~ < (6) ос„ Сопоставляя неравенства (4) и (6), получаем оценку М |дб !з 4" 4" откуда следует неравенство М < г!дб'!'.
В силу произвольного выбора г > О М = О. Получили противоречие, источник которого в предположении, что У(г) аг ~ О. и ос Из теорем 1 и 2 получаем следствие, которое сформулируем как теорему. Теорема 3. Если У 6 А(2)), то в людом круге Х„= (г 6 С: !г — гг! < г) С 2) она имеет нервообразную 1*».
М где интеграл берется но нрямолинейному отрезку (ге, г! С Х„. Теперь покажем, как из локальных первообразных аналитической функции можно склеить первообразную, действующую вдоль заданной кривой (пути). 1б5 б 5. Теорема и интеграл Коши 5.2. Первообразявя вдоль кривой (вдоль пути). Пусть функция 1' определена в области Р С С, у С Р вЂ” простая непрерывная кривая, зг — ее параметрическое представление, Ри = [а, Ь[ = 1. Тогда 1 определена в каждой точке г=!г(1)Е у,(Е1.
е Определение. Функции 1 — л С иизыеается аервоабразиой функции 1 вдоль кривой (аута) у, если аылолияются следующиеуслоеия: 1) Ф непрерывная иа сегменте 1; 2) для каждой точки (е Е 1 существует окрестность О„точки ге —— ю(1е), и которой фуикция 1 имеет пгреоМразиую Е, лричем Р((а(1)) = Ф(1) Чг Е Ом С 1, где Он — некоторая акрестиость точки ге в топологии 1. Нримечаиае 1. Если У имеет первообразную Р во всей области Р, то функция Г Р(Р(Г)) будет, очевилно, первообразиой функции 1 вдоль кривой 7.
Вообще говоря, в олределеиии лервообразной влоль кривой ие требуется существование иераообразной во всей области Р, злишь в окрестности каждой точки ло = Р(гз) Е 7. ,) — (1 ), 1, р 1, то лервообразнме функиии 1, одна из котоРых соотттетвует О,, „тля — окрестности О, могут ие совпадать. две первюбразные олной И Юй функции 1 в окрестности одной и той же точки Р(1~) = Р(гз) могут отличаться лишь иа постоянное слагаемое. Это является свидетельством того, что первообразная вдаль пути, яшяясь функцией параметра 1, может ие быть функцией' точки г.
Теорема 1. Ягя любой фуииции 1 Е А(Р) и любой игирерыеиой кривой 7 С Р иереообразиая фуииции 1 существует и определена с тачиастыа да иостояииого слагаемою. М Пусть Зз — параметрическое представление кривой 7, Р = [а, Ь[ = 1. Разобьем отрезок 1 на и отрезков 1ь = [1ь, 1ь[ так, чтобы два соседних отрезка пересекались: 1ь < 1ьщ < 1ь, 1, = а, !'„= Ь. По теореме Кантора функция уг равномерно непрерывна на сегменте 1. Поэтому се~менты 1ь можно выбрать настолько малыми, чтобы эй = 1, и образ уз(1ь) содержался в круге К„' С Р, в котором функция 1 имеет первообразную.
Существование первообразной следуе~ из аналитичности функции 1 (теорема 3, п. 5.1). Семейство первообразных, определенных в круге К,', имеет свойство: первообразные отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Выберем из этого семейства какую-либо одну первообразную и обозначим ее через Ен Затем рассмотрим семейство первообразных, определенных в круче К,'. Среди них существует одна (обозначим ее через Гз ), совпадаюшая на множестве К,' О К,' фл! с и,. Продолжая этот процесс, в каждом круге К'„выберем первообразную Еь так, чтобы Ьь — — Еь, на множестве Кь, П К„'.
Таким образом, функция 1 Ф(1) = Еь()г(1)), 1 Е 1ь (Ь = 1, и) является первообразной функции 1" вдоль кривой у. Докажем, что функция Ф определена с точностью до постоянного слагаемого. Пусть Ф, и Фз — первообразные функции 1 вдоль кривой 7 и пусть ф(1) = Ф,(1) — Фг(1). Возьмем произвольную точку (е Е 1. В ее окрестности Ои имеем ф(1) = Г! '((Р(1)) — г г '(Эг(1)), где ен' и еп' — две первообразные функции 1, определенные в окрестности точки г, = эг((о), Они могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, поэтому ф(1) = сопзг в Ом Функция ф определена на связном множестве 1 и является локально постоянной. Но непрерывная локально постоянная в каждой точке связанного множества функция является постоянной на всем множестве.
Докажем это утверждение. Обозначим через Е С 1 множество точек, в которых ф(1) = ф(ге): Е = (1 Е 1 [р(1) = ф(1е)). Поскольку 1е Е Е, то Е Фа. Из того, что функция ф локально постоянная, следует, что Š— открытое множество в топологии 1 (см. теорему 7, п, 6.4, гл. 1). Из непрерывности функции Р следует, что множество Е также замкнуто в топологии 1. Действительно, пусть !*в предельная точка множества Е. Тогда существует такая последовательность (1„) точек из Е, что 1„- С и ф(1 ) = ф((о), т.е. !ип ф(1„) = р(ге), Поскольку функция ф непрерывная, то яе 1цп ф(1 ) = ф(1 ).
Следовательно, ф(1*) = р(ге), т. е. 1' Е Е. Множество Е одновременно открытое и замкнутое в топологии 1. Согласно теореме $ 3, гл.2, Е = 1, или ф(1) гя ф(ге). Поэтому у( е 1 Ф~(1) — Фз(О = сопз1. в Гл. 4. Иитегрироваяие в комплексной плоскости. 168 Отсюда следует, гго существует замкнутая гладкая кривая 7, с параметрическим представлением шш В , = [О, Ц, гомотопнаа кРивой 7 в Р и содеРжашаасЯ в некотоРом кРУге К' С В. функция у имеет первообразную Р в этом круге. Поэтому функция Ф, где Ф(1) = Р((о1(1)), является первообразной функции у вдоль пути Ты При этом Ф(0) = Р(уч(0)) = Р(а), Ф(Ц = Р()з~(1)) = Р(а), откуда )(х) дх = / з(г)дг = Р(а) — Р(а) = О, Г, = (ун Тг~х). т г г, Следствие 2.
Если функции з: С э С аналитическая в односвюиой области В, 7 С Р любая гладкая замкнутая кривое, то 2(х) дх = О, 1' = (7, 7ов). / г м Утверждение следует из следствия 1, если принять во внимание, что в односвязной области каждая замкнутая кривая гомотопна нулю (см. п. 4.2) м Примечание 1.
Следствие 2 — это классическая формулировка теоремы Коши. Прн дополнительных условиях, когда 2~ непрерывна в В, а 7 — гладкая жорданова кривая, классическая теорема Кок~и показывается элементарно с помощью формулы Грина. ч Пусть В С С вЂ” область, дб — ее положительно ориентированная граница. Тогда получим: /г= Г г дс ди) ТТ гди дст Г(г)дх = / иах — чав+( / еде+иду = / 1 — — — — 1 их дул-( 1 — — — дхду = О / ~ дх ду) Д 'т,де дуУ' вс в силу условий Коши — Римана, выполняющихся лля аналитической функции з = и+ш.
и В теореме 1 н следствиях нз иее вместо гладких кривых можно брать кусочно-гладкие. Примечание 2. Классическую теорему Коши можно сформулировать иначе: если функция з . С С анатитнческая а замыкании В = В ы дВ, гле  — олиосввзнаа обчасть, и д — кусочно-гладкая кривая, то З(г]дх = О. вп Такую формулировку теоремы Коши можно обобщить. Охазыеаетсв, достаточно потребовать, чтобы З б А(В) и чтобы З была непрерывной на замыкании В. Теорема 2 (обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования), Пусть область В представляет внутренность кусочно-гладкой замкнутой кривой 7 и З' — функции, непрерывная в замкнутой области В и аналитическая в области Р.
Тогда выполняется равенство у(х)да=о, г=(7,7„). г М ПРЕДПОЛОжнМ СНаЧаЛа, Чта У вЂ” ЗВЕЗДНЫЙ КОНТУР, т. Е. СУШЕСтВУЕт таКаЯ тОЧКа Хв б Р, Чта любой луч с вершиной в этой точке пересекает у в одной и только одной точке (см. рис. 71). Например, звездными являются границы выпукяык многоугольников (в частности, треугольников) или кругов. Пусть р($) = хе + Л(1), 0 < 1 < 2зг — параметрическое представление контура у. Согласно предположению, функция Л имеет кусочно-непрерывную производную Л'(1).
Преобразование подобия ( = хе+ рЛ(1), 0 < р < 1, отобралгает ориентированный контур Г на контур Г с той же $5. Теорема и интеграл Коши 169 ориентацией в направлении против хода часовой стрелки (рис. 71). Поскольку контур у лежит а области Р, то по интегральной теореме Коши (следствие 2) имеем 2 У(()6( = / У(зе+ рЛ(1))рЛ'(1)61 = О, !'р откуда У(зе Ч- рЛ(1))Л (1) М = О. о следовательно, ! *'* = Уу( *«!М' !' о 2 ~г(7(зе -1-Л(1)) — у(хе+ рЛ(1)))Л'(1)Ф < а ~~ / (У(зо+ Л(1)) — Х(за+ рЛ(1))!!Л(1)/ Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
