А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 39
Текст из файла (страница 39)
м для решения задачи сформулируем, не вникая в подробности, принцип силгметряи Рпиила — Шварца, который рассмотрим подробно в главе 7. Суть его состоит в следующем: пусть область О С С ограничена замкнугой жордановой кривой Г, в состав которой вхолит дуга 1 окружности Л расширенной комплексной плоскости, Пусть функция / определена и непрерывна на О О 1, аналитическая в С, а на 1 принимает значения, принадлежащие некоторой окружности С С С. Тогда / продолжается через дуну 1 в область б, симметричную с О относительно В до функции, аналитической в С и 1 О б*. Такое продолжение (через 1) единственно и определяется следующим свойством продолженной функции /: если точки х Е 6 и х* Е б симметричны относительно Л, то точки зя = /(а) и ю" = /(я*) симметричны относительно С.
В частности, если Л и С совпадают с действительной осью плоскости С, то /(а) = /(у) при з Е О О 1 О б*. 1) Внешность креста изображена на рис. 56. Применим принцип симметрии Римана — Шварца: отображаем верхнюю полуплоскость с раз- резом ]О, 1] на верхнюю полуплоскость, полагая Функция зя, вместе с ее аналитическим продолжением, которое также обозначим я ы осуществляет отображение внешности креста на всю плоскость ял с разрезом вдоль отрезка ] — ъ/2, ч'2] Функция яп зяг =— ъ/2 отображает плоскость яь с указанным разрезом на всю плос кость зяз с разрезом по отрезку ] — 1, 1]. Функция Ряс.
56 гя = зяз+ Х/в2 — 1, обратная функции Жуковского, осуществляет отобрюкение плоскости юз с разрезом по отрезку ] — 1, 1] на внешность единичного круга. Окончательно получаем: 2 Ч 2 /2,Гг ч2( 2) Функция ю, = —,' осуществляет отобрюкение заданного множества на внешность креста из предыдущей задачи. Поэтому искомое отобрюкение ю определяется формулой ю = — ~з/ю + 1 — ХУ ю, — 1] = — Г '4 1-~- аз -Ь Х/1 — зз ] . М 96. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку 1 = (х Е С: Вез = а > О, О <~ (гп з < Л) на верхнюю полуплоскость.
м Искомая функция гя является композицией элементарных преобразований: ю, =я — а, юз =ю,, ягз — — зязя.й, за = з/юз = (е — а) +Аз. Гл. 3. Элементарвме функции а комплексной плоскости 138 Легко видеть, что аналитическая ветвь си, осуществляюшая заданное отображение, определяется условием си(0) < 0 (см. рис. 57), м Рас. 57 97. Отобразить на верхнюю полуплоскость н на внешность единичного круга внешность креста, состояшего из отрезка )-а, Ь) действительной оси и отрезка (-сг', сг) мнимой оси (а > О, Ь > О, с > О, а + Ь + с ~ 0) (рис. 58). и Согласно решению задачи 96, функция ю, = /гг+ с' конформно отображает верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку (О, сг) на верхнюю полуплоскость, причем рассматривается та ее ветвь, которая характеризуется условием ги,(0) < О. При этом прямолинейный отрезок границы б = (г Е С: -сс ( Ке г < -а, 1т г = 0) гз О (г б С: Ь < <Ке г < +ос, !т г = 0) отображается на отрезок ,Ь,.
а. =" 7 = (ги~ Е С; — сс ( Ке аг~ ( — Хг/аз+ сг, 1пии, = 0( Гз О ) ю1 б С: 0 < Хг/Ь' + с' < Ке пг, < +со, !пг ач — — О) . Уас. 55 Согласно принципу симметрии Римана — Шварца, функция ю, допускает аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость через отрезок б, При этом образом внешности креста в пг, -плоскости является внешность отрезка 1 = (ач б С: —,/аз+ с < Кеач ( ~г/~ь ч- сг, 1т ю, = О(. Согласно решению задачи 79, функция си = ) ю|+ ъ/ау+ сг ъгг~+сг+ ъаг+сг (1) ъ/Ьг+ сг — ег~ ./Ьг + сг — х/гу+ сг отображает внешность отрезка 1, следовательно, н внешность креста, на верхнюю полуплоскость. Решим вторую часть задачи. Обозначим длину отрезка [-ъгаг Ч- сг, ъ'Ь' й с') через 273 и подберем такое а Е К, чтобы выполнялись условия -ъ~а~+сг+а ъ/Ьг+ст+а =-1, =1, г г что равносильно уравнениям 2 (ъгьт+ от+ а) 2 (-ъгау-ь от+ а) =1, = -1.
ъгьг+ от+ ъ/аз+ от ъгаг+с~+ 1/ат — ст гъг Ы+г Решением этих уравнений является а = 139 и 6. Тригонометрические и пшерболические функции Функция юз —— -'(м + а) отображает плоскость цч с разрезом по отрезку [- т/ах+ сг, ъ/Ьз + сз[ л на всю ш, — плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, Ц, Для получения требуемого отобрюкения плоскости юз с указанным разрезом применим ф)чзкцию, обратную функции Жуковского: 2 ;з и = газ + Х//ю, '- 1 = — Х/л' + с'+ а+ ~Х/з5 Ь с'+ а [ — [)з где ъ/аз + сз ь/ьт+ сг тамаз ч- сз ч- ь/ьг+ сг а= 2 2 98. Плоскость с разрезами по лучу [ — а, +ос) (о > О) и отрезку [ — с(, с([ (с > О) отобразить на верхнюю полуплоскость.
и Функция м~ — — т/хт+ с~ отображает заданную область на всю ел -плоскость с разрезом по тучу [ — ъ/а'+ сз, +х). Требуемое отображение зл получим после применения операции сленга вправо на х/а'+ с~ и извлечения затем квадратного корня: 99. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезкам [г, Ьг[, [ — Ь(, — 1[, [1, а[, [-а, — 1] (а > 1, Ь > !). и Функция Жуковского зл~ — — —,' [х+ —,') отображает внешность единичного кру5в с указанными разрезами на внешность креста, состоящего из отрезка [-1 (а+ -), — (а+ -)~ действительной оси и отрезка ~- [Ь вЂ” -') й (Ь вЂ” Ц 1~ мнимой оси. Получили частный случай задачи 97, 5де а заменено на - (а 6 — ), Ь вЂ” на — (а-~- -), с — на — (Ь вЂ” -).
Следовательно, можно вос15 / 1х ! 1( «/' 1( ь/' пользоваться формулой (1) задачи 97, заменив в ней а, Ь и с выражениями, указанными выше. Тогда получим искомое отображение ок Рас. 55 а00. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность правой ветви гиперболы и' у' , созга зш'а П сть л — вершина правой ветви гиперболы, Р— ее фокус (рис 59). Проведем разрез по лучу [А, +со). При решении задачи 86 было показано, что функция Жуковского и = о + гв = з [а + ~ ) отображает лучи агах = а на софокусные гиперболы из ез — — — = 1.
созз а зшз а $6. Тригонометрические и пшерболические функции 141 осушествляет отобрюкение заданной области на верхнюю полуплоскость. Поскольку ггл Ь) Ь о л — 2а = 2 ~ — — агсгб -) = 2 агссгб — = 2 агсгд —, 2 о) о Ь' то полученную формулу можно записать в виде . е,ухг — от~э ь л ), где а =ашгд-, р= ., с= Хгоз+Ьг.
с ) о ' 2 агсгя — ' ь 2 Для приведения уравнения гиперболы к виду — ', — — ", = 1 взяли сока = -",, япа лг с = лгаТ+ Ь'. Тогда а = агсгд ь . а 103. Выяснить, во что преобразуются при отображении иг = сь гы 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полоса С = (е Е С: 0 < !ш х < л]; 3) полуполоса Р = (з б С: Кез < О, 0 <!гпз < л]. и 1) Пусть е- ! е- е*ьэ ! е-* — т 1 ы = и+ ли — — — — (е (соку+ гяпу) + е (соку — гяп у)) = 2 2 2 ' = сокусьх -'; (яп укь х. Тогда и = сок усй х, е = яп укь х.
Если х = С, то (х — 1)гг ге = -мз — — — сй Ь 105. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми у = х и у = х -1-'Ь. м Пусть г( — ширина полосы. Тогда, очевидно, г( = -т. ь е2 (см. рис, 63). Композиция отображений ю, =е*ьз, Рае. 63 ы=е '=е л л юз = -гдг г( решает поставленную задачу. Ы и' и' и = сокусЬС, е = япукЬС, —, +, = 1. сь' С кйг С Получили семейство софокусных эллипсов с фокусами в точках Ке х = х! . Если у = С, то и е и = сокСсьх, в = к!пСкьх, — — —, = 1. сь' С кй' С Прямые у = С преобразуются в семейство софокуспых гипербол с фокусами в точках Ке е = х) 2) При у = 0 и = сЛ х, е = О, а при у = л и = — сь х, е = О. Фуггкция м = сЛ к отображает полосу С на всю плоскость с разрезами по лучам ( — оо, — 1], ]1, +со).
3) Поскольку ге(0) = 1, ш(лл) = — 1, то отрезок ]О, ггг] переходит в отрезок ]-1, 1] и направлению движения от точки 0 к точке гл соответствует движение по направлению от точки 1 к точке — 1. При этом точки плоскости ш по правилу обхода находятся слева, т. е. приналлежат нижней полуплоскости.
При к = х, х ь — гю луч ( — оо, 0] переходит в луч ]1, +ос), а при з = х+ (л, х ь -оо функция ы(з) = — сьх имеет предел -оо и луч у = (е б С: Кех < О, !шх = гл] перейдет. в луч ( — оо, — 1]. В соответствии с правилом обхода полуполоса Р отображается функцией ге = сь х на нижнюю полуплоскость. я 104. Отобразить на верхнюю иолуплоскость полуполосу С = (х б С: Ке - < 1, 0 <!гпе < Ь]. м Композиция отобрюкений ич = е — 1, ы, = -гег переводит полосу С на полосу Р из прилгера 103, 3).
](оэтому функция мз = сь гез отображает заданную область на нижнюю полуплоскость. Следовательно, Гл. 3. Элементарные фувкции в комплексной плоскости 142 106. Отобразить на верхнюю полуплоскость круговую луночку, ограниченную окружностями Г = (х Е С: )з) = 2) и Т = (з Е С:)з — Ц = 1), и Функция ю, = —,*, отображает круговую луночку на вертикальную полосу С = (цч Е С: 0 < Кем, < -,'), а функция зез — — 2кни, отображает полосу С на горизонтальную полосу Р =- (мз б Г: 0 < 1гпиз < а) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
