А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда ш (а+ Ьа) = — — еа ' = 2Ь 2Ь в, 26а ш(») =е (» — (а — Ьа))' агй ш (а -1- Ьа) = В, — — = В, 2 откуда В, = а + В. Окончательно получаем ;( зв) — (а+ба) ш=е,а ). » — (а — Ьз) ,» а ш = Ла —, + шв. Ш »+а 57. Отобразить верхнюю полуплоскость Р = (» б С ~ 1ш» ) О) на круг К = (ш б С: 1ш — ш,~ ( )Ц так„чтобы точка а перешла в центр круга, а производная в этой точке бьша положительной. м Сначала отобразим полуплоскосп, Р на единичный круг К, = (ш б С: ~и) ( 1) так, чтобы точка а перешла в его центр и = О. Согласно решению примера 56, 1), ш, = е'в — '„,'., причем и'(а) = -'е'( а ) . При В = — ш'(а) = 1 ) О. Следовательно, ш, = еа а — *'.
= з — ','.. Теперь совершаем преобразование подобия и переноса ш = 2(и(+ шв. Окончательно получаем: 5 б. Тригонометрические и гиперболические функции 119 53. Отобразить круг К = (з Е С: (а! < 2) на полуплоскость Р = (в Е С ! Ке в > О) так, чтобы»и(0) = 1, агй в (0) = —. 2 М Поскольку при дробно-линейном отображении симметричные точки переходят в симметричные и О»-» 1, то со» -1. Из таблицы в 1 — 1 вилно, что дробно-линейная функция, отображающая К на Р, имеет вид е — а ю = Ь вЂ”. » — Ь Из условий нормировки находим: Ь = — 1, Ь = -а.
Поэтому а — а в = — —. з+а Дифференцируя, получаем 2а, 2, / я »е (з) = — , в'(О) = — †, атб в'(О) = агб ~ — — » = »г — а»ра = — , (я Ьа) а' [, а) 2' откуда агйа = —. Следовательно, а = »а, (а~ > 0) и в = — —,„'. Пусть в = и 4»о. Граница круга К переходит в мнимую ось плоскости в, т.е.
2е'»»е, »е = ---ш:-,*-"-~. В частности, при о = 0 имеем 2е*» — »а» = О. Это равенство выполняется при условии, что Р = — ', ໠— — 2. Окончательно находим: и определяем искомое отображение общей формулой дробно-линейного преобразования в,— а Ю4 й ⻠— Ь Согласно условиям нормировки имеем Ьа — 4= —, Ь ' а+» Ь =О, — 4»=Ь, Ь+» откуда Таким образом а=-», Ь=1, Ь=-4»2 2»+»»я+2 в= — 4»», = — 4 -* — 2» — 1 з — 2 — 4» » 60. Найти функцию, отображаюшую верхнюю полуплоскость на себя так, что в(а) = Ь, ага в'(а) = а (1»п а > О, 1»п Ь > 0). ш Пусть в = в(х) — искомое отобрюкение. Тогда функция »ю — Ь в ш» — е», д Е ЬЬ вЂ” произвольное, »е — Ь з — 2» в(») =— г -1- 2» 59. Отобразить круг К = (г Е С: !» — 4»! < 2) на полуплоскость Р = ((и, е) б м' ~ о > и) так, чтобы центр круга перешел в точку — 4, а точка окружности 2» — в начало координат, М Сначала отобразим круг К на единичный круг К, = (в, б С: ~в»~ < 1) с помощью функции в, = -' — 2».
Тогда в, = 0 в = -4, ю» — — — »» О. Так как точка ю = -4» симметрична относительно прямой е = а точке -4, то в~ — — оо — 4». Составляем таблицу Гл. 3. Элемеитарыые фуыкювы в комплексной плоскссты 120 отображает верхнюю полуплоскость плоскости ю на единичный круг с центром в начале коорди- нат.
На этот же круг функция -" — а в в-в — е'", св Е !к — произвольное, г — а отобрюкает верхнюю полуплоскость плоскости .. Таким образом, ю — Ь,,в — а = = е' ' —, В, = р —  — произвольное. в, ю — Ь в — а Дифференцируя обе части этого равенства, получаем: 1та,,в 1та ю(г) = с* ' (ю(з) — Ь)' (в — а)' Полагая здесь в = а и принимая во внимание, что ю(а) = Ь, имеем 1щь,в, ю (а) = е 1ща Так как ~'"~ > О, то агйю'(а) = Во ПолагаЯ В, = а, полУчим: ю(з) — Ь; з — а = е' —; ага ю'(а) = а.
м ю() — Ь в — а ю — а,аз — а — =е ю — а г — а Дифференцируя это равенство, имеем ю (а) е* (ю(г) — а)' (в — а)' Подставив сюда з = а, находим (приняв во внимание, что ю(а) = а): ю'(а) = -е' . Следовательно, агй ю'(а) = В ш л = — —, (по условию задачи). Из двух значений В, = -узл, Вз = —, з ' подходит значение В = —, поскольку -л < агйю~(а) < л. Окончательно имеем ю — а в — а ю — а г — а 62. Для функции ю = е' ()а( < 1) огображпощей единичный круг на себя; 1 — ав 1) найти агава(егв) = В(р)„' 2) найти ги (0) и ю'(а); 3) выяснить, какая часть единичного круга при этом отображении сжимается и какая растягивается; дю 1Вю 4) найти щах — и пйп ~ — для (4 < 1. г(в ы 1) При я = егв получаем евв — а ю = е' .
= е* 1 — ае*" ег" — а , егв — а = ен сев(е вя — а) е "' — а Пусть а = Леве'. Тогда з!п ⻠— Л з!и В! В(ув) = а — (в + 2 агсгй(егв — а) = а — !в + 2 агсгй сов ув — Л сов В! л 61. Отобразить верхнюю полуплоскость на нижнюю так, чтобы ю(а) = а и ага ю (а) = —— 2 а Пусть ю = ю(в) — искомое отображение.
Полагая ю, = е' ю = -ю, получим верхнюю полуплоскость. При этом а в-в -а. Согласно предыдущему примеру ю! -!- а,в в — а = е' —, В Е Ж вЂ” произвольное. ш~+а в — а Заменив ю, на -ю, получим: 121 $6. Тригонометрические и гиперболические функции 2) Дифференцируя, находим: г„! — бз 4- а(л — а),„1 — (а! в'(е) = ег" = е'", в'(0) = е*" (1 — (а! ), ш'(а) = (1 — аа)' (1 — аад)' 1 — (а(з 3) Если );-;:-=-, > 1, то соответствующая часть круга растагивается; если 1а,,г ! < 1, то Р соответствующая часть круга сжимается. Решив эти элементарные неравенства, получим, что множество внутренних точек крута 0 = ) л Е С< (е — — ! < ~ — т — 1) растягиааетсл, а мно- )/ 1.! жество внешних точек круга 2) = (= Е С: (з — = ! > г — г — 1 г сжимается.
Окружность у = з Е С: !а — =' ~ = ~/~ — 1~ — изометрическая. Если а = О, то !ш'(л)! = 1. 4) Иэ оценок (1 — аал! > 1 — (а(!е! > 1 — (а!, (1 — аал! < ! ч- !а!!г! < 1-1- (а(, для производной ги'(е) находим гпах !в'(г)! и гпш !ю (э)!: ш< ~ (м<1 1 4-(а! , 1 — (а! гпах !в'(г)! =, гл!п (в'(г)! = 1 — !а!' П Ш ~ 1 -~- )а! 63. Отобразить круг К = (а Е С: !л! < 1) на круг К~ = (ш Е С: !в! < 1) так, чтобы: 1) ю ( —,') = О, агйш' ( —,') = 0; 2) в (-',) = О, агав' (;*) = —,; 3) ю(0) = О, агав'(0) = — г', 4) в(а) = а, агав'(а) = о.
и 1) Воспользуемся решением залачи 62, полагал в 2) а = -,. Получим: ! е' агав' (-,') = ага —, = 0 ю а = О. 1 — -' Тогда а — — 2з — 1 1 2 ш= —, 1 — =' 2 — г 2 2) По аналогии с предыдущим полагаем а = -*. Тогда ю (-*,) =,, агав (;*) = — в а = —. Следовательно е — -' 2е — г 2(г -~ 1 в =е'Т 14т 2+ге 2+ее 3) В задаче 62, 2) показано, что в'(а) = .Я! . Полагая здесь а = О, гюлучим ш'(О) = е' .
Из условия агав~(0) = — — следует, что а = — —. Тогда ш = е Та = -(е (в общую формулу в = ег" —,*," подставляем а = — -",, а = 0). 4) Пусть в = в(л) — искомое отображение К на К,. Функции а ~ еге —,' ' и в ь е'" —,,"„ отображают соответственно круги К и К1 на себя (р Е И, (е Е И вЂ” произвольные). Поскольку агав'(а) = а, то, по аналогии с решением задачи 60, имеем в — а г з — а = е' 1 — ав 1 — аз 64. Отобразить круг К = (з Е С: (з! < 21!) на круг К, = (ш Е С: (в! < )Ьз) так, чтобы ш(а) = Ь, агбв'(а) = а ((а! < 22г, (Ь! < )Ьз). 4 функция ги (е) =— 2(г Гл.
3. Элементарные функции а комплексией плоскости 122 отображает К на единичный круг, а функция ;в % — ю1(а);в вз = е' = е' 1 — в,(а)в, з — а .",' = е*'В| т 1 — аы  — аз отображает этот единичный круг на себя. Пусть в = ю(з) — отображение круга К на круг Кш Тогда функция ю — Ь юз=е' Вз В, — Ьв также отображает единичный крэг на себя.
В полученных формулах р Е И, Зз б  — произвольные. Таким образом, в — Ь яя 1 з — а Вз = е' " В~  — Ьв 2  — аз ! Продифференцировав это равенство, пояучим; ш'(з)(Взз — !Ь!2) Вз — ~а1з яв (Вз Ью(,)) ' ' (Вз-;з) ' Полагая з = а и принимая во внимщгие, что в(а) = Ь, находим: 2 2 Вз ю А па — ю ~ В~ Вз 1М в-ю ю(а)= е ~, в(а)= —. е' В~ )Ь)з Вз 1а/з Вз Вз )а)з л Я- '— 1ь1' Поскольку — з -+ — > О, то взяв е — Эз = а, получим, что агав'(а) = а. Окончательно имеем л1 я -! р ю — Ь,„з — а Вз, = е'"В, . ° .
В' — Ьв Вз — а 2 ! аз ю~ — — еш, еЕИ. 1 — аз Рассмотрим таблицу нормировки Для определения неизвестных параметров получаем систему уравнений Подставив во второе уравнение системы еза = — ', получим; 1 — а = -2а+ 21а(~ или а = 21а( — 1. Поскольку (21а(~ — 1) б В, то а — действительное число и а = а. Для определения а получаем квадратное уравнение а — "- — -' = О, корни которого а~ = ! н аз = --'. Так как (-веге~ = (а( = з 65. Отобразить круг К = (з б С: 1з) < 1) на круг К, = (в Е С: ~ю — Ц < 1) так, чтобы ю(О) = -' и (1) = б. а Полагаем в, = в — 1. Тогда 1в,~ = )в — П < 1.
Отображение единичного кроа К на единичный круг Кз = (ю~ Е С: ~ю~ ( < 1) в общем случае имеет вид б 6. Тригонометрические и пспербалические функции 123 (см. первое уравнение системы), то а = --,. Таким образом, а = — —,', е' = -1. Подставив эти с .в значения в формулу для в,, получим: »+ -' 2»+ 1 1+ — * 2+» 2 Окончательно имеем 1 — » в=в~-Ь!= —. Ш 24» бб. Отобразить крут К = (» Е С: ~» — 2! < 1) на круг К, = (в Е С . ~в — 24 < 2) так, чтобы в(2) = с и агвш'(2) = О.
ш Полагаем в, = » — 2 н в, = ='*. Задача свелась к отображению круса К, = (в, Е С: ~в, ! < 1) на крут Кз = (вз Е С: (ш,) < 1) при условиях ш,(0) = --*„в',(0) = О. Воспользуемся решением задачи 64, полагая там Лс = К» = 1, а = О. Получим; » — 2 — -* 2 шз -!.— = вп 1 — зв, 2 Принимая во внимание связь между в, !+ -',в, 1+ -'(» — 2) 2+ '(» — 2) и ш, имеем с 2» — 4 — (,тс» — 2+ с в=2(вз+()=2~ +с( =2 ~, 2 + с(» — 2) ( с» -1- 2 — 2с 67. 1) Отобразить кольцо К = (» Е С ( 2 < !4 < 5) на кольцо К~ — — (в Е С ~ 4 < !ш~ < 10) так, чтобы в(5) = — 4. 2) Отобразить кольцо К = (» Е С ! ! < )» — 2с~ < 2) на кольцо К, = (в Е С ~ 2 < !в-3+2с~ < 4) так, чтобы в(0) = — 1 — 2с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
