А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда зу — 4 у — 1 у — 1 ш(х) = и+ ге = = —, а =, — 1 < и < 1, е = О. зу+4 у«-1 у+1 Луч у > 0 перешел в интервал — 1 < и < 1. Таким образом, функция ю отображает множество С на множество Р = (ш б С: !ю~ < 1 л 1шш < О). м 41. Во что преобразуется пмукруг Р = (з б С: !х! < 1 л !т г > О) при оюбражении с 2г — 4 помощью функции ш =, ? 2+гх м Дробно-линейная функция ш = —;2- отобрюка!+ -'* 2 ет единичный круг С = (х б С; !з! < 1) на себя.
Выясним, во что отобразится верхняя полуокружность "„' -.:,.:02 «ЬД,Г,з:,, ? = (я Е С: !х) = 1 л 1шз > 0). Возьмем три точки: гч = -1, 22 = С х, = 1. Они отобразятся в точки -1 ' 1 -1 -вФ'" --::г?ф 2 ш, = --, — !1, ш, = 2', юз — —; — 21. Следовательно, полу- 3 4 . 3 3 '4 окружность у отображается в верхнюю часть дуги окруж- 5 5 5 5 ности с концами в точках шу — 4;. Найдем теперь образ 3 4 интервала -1 < в < 1 прн отображении ш. По свойству дробно-линейного отображения зто будет луга некоторой окружности.
Найдем ее по трем точкам; з~ = -1, х = О, зз — — 1. Раньше мы определили, что точки з, и х, переходят в точки ю, = --, -!1, 3 4 ю, = —, — !!. Точка г переходит в точку ш = — -,'. Ясно, что центр искомой окружности лежит на 3 -4 мнимой оси. Пусть юз — — (О, Ь) — центр этой окру2кности, 22 — ее радиус.
Ее уравнение имеет вид и +(е — Ь) = К . Воспользуемся тем, что точки ш, и юз принадлежат ей: — „+ (1+ Ь) = К . 2 2 2 Поскольку точка — -', также принадлежит дуге искомой окружности, то (1+ Ь) = К . Получили систему лвух уравнений для определения Ь и 22. Решив ее, находим: Ь = — ,-', К = ,-. Итак, 3 образом интервала (-1, 1) является дуга окружности Г = (ш б С: !ю+4,-'/ = ), а весь полукруг Р отображается на луночку, содержащую точку ш = 0 и ограниченную дугами окружностей Г, = (ш б С: !ш! = 1) и Г (см. рис.40).
м 42. Во что отображается внутренность Угла 0 < 53 < — дробно-линейной функцией ш = 4 х — ? х — 1 м Сначала найдем образ луча г = в (я > 0). Точка я = 0 перейдет в точку ш = О. Из предельных соотношений 1пп — ', = — со, !пп — *, = +со становится ясным, что проме- 2 — Е 2Ю жугку (О, 1) в плоскости ю соответствует промежугок (-со, О). Если принять во внимание, что 1шт —, = 1, то приходим к выводу, что промежутку (1, +ос) в плоскости ги соответствует + промежуток (1, +со). Следовательно, при отображении ю луч л = в (я > 0) переходит в действительную ось плоскости ю с выброшенным интервалом 0 < и < 1. Луч (е = ф по свойству в б. Тригонометрические и гиперболические функции дробно-линейных отображений перейдет в дугу некоторой окружности, уравнение которой в общем случае имеет вид (и — а) + (е — Ь) = Вз. Для того, чтобы найти а, Ь и В, определим образы трех точек, лежащих на луче р = -".
Эти образы будут принадлежать упомянутой окружности и однозначно определять ее. Ищем образы точек з, = О, гз = е*т, гз — — со. После несложных вычислений находим; яЧ = О, юз — — — — -+ —, ыз — — 1. Поскольку все эти точки лежат 1 ! цуь-и!' на искомой окружности, то для определения а, Ь и В получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными: а +Ь' — В (-,'- )'+ („-,' и+Ь) =В' (! — а)'ч-Ь'=В' Ее решением являются а = -,, Ь = — -, В = —. Получаем искомую окружность: Таким образом, дробно-линейная функция ы = —,', отображает внутренность угла О < р < — на область, полученную из нижней полуплоскости плоскости ы удалением находящейся в этой полуплоскости части круга 1 ( чг21 К= гебС: ш — — + — < — з 2 2 2 (см. рис,4!). > б С: О < Ке г < 1) при отображении с помощью 43.
Во что преобразуется полоса Р = (з г — 1 з — 1 функций: 1) и = —; 2) и = — ? з з — 2 м 1) Найдем образ мнимой оси при отобрюкении гш гу — 1 ю= =)ч- —. (у у Прямая а = О перешла в прану!о и = 1. Найдем образ прямой л = 1. Он ортогонален к действительной оси, так как заданное отображение переводит действительную ось в действительную ось. Следовательно, этим образом является окружность с центром на действительной оси, уравнение которой имеет вид (и — а)'+с~ = В~. Точка з =! переходит в точку гл = О, а точка г = со — в точку ю = 1.
Для определения а и В получаем систему уравнеРае. 42 ний а = В~, (1 — а) = В~, решениями которой являются а = -', В = —,'. Уравнение искомой окружности имеет внд !гл — 1'~ = -'. Таким образом, полоса Р в рассматриваемом случае отображается на обласп,, ограниченную прямой, уравнение которой Кеге = 1, и касающейся ее окружностью Г = (гс б С; !ш — -,' ~ = -' Т (рис. 42). 2) Образы прямых х = О и л = 1 — окружности с центрами на действительной оси, так как действительная ось переходит в действительную ось, а углы сохраняются. На прямой л = О возьмем две точки: з, = О и лз = оо. Их образами являются точки ю = -,' и ю = 1.
Пусть уравнение образа прямой и = О имеет 2 2 2 вид (и — а) 4 а = В (поскольку этот образ окружность). Константы а и В находим из системы 112 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости уравнений (1 — а) = В, (1 — а) = В . Решив ее, находим: а = 4, В = 4. Прямая х = О | гг г г г переходит в окружность, уравнение которой !в — ,-' ! = -', ® Найдем теперь образ прямой х = 1. Обраг зами точек б, = 1, бг = оо являются точки |О| = О и вг = 1.
Поскольку указанная пря" мая отображается на окружность, то точки в, и вг принадлежат ей. Так как ее центр лежит на действительной оси, то уравнение окружй' ности имеет вид (и — а|) -> е = В,. Для нахо- ждення чисел а, и В, получаем систему ураво' 1 .Зьгйьг,',=;,-;., пений а, = В,, (1 — а,) = Во Решив зту си- г ,'=-,;:,'.Е- стему, имеем а, = В, = -.
Уравнение данной окружное~и записывается в лиле !в — -, ! = —,. Следовательно, полоса 2) отобрюкается функцией в = — ',' на область, ограниченную касаюшимися друг друга окружностями, уравнения которых !в — -'! = -' и !в — -,'! = -, (Рис.43). 44. Во что отображается кольцо К = (г б С ~ 1 < 1г( < 2) функцией в = — ? г — 1' м Точке г = 1 соответствует точка в = ео, следовательно, окружность Ъ = (х Е С:! ~ = 1) переходит в прямую, ортогональную действительной оси (при данном отображении действительная ось переходит в действительную ось).
Точке х = — 1 соответствует точка в = -. Таким образом, окружность 3, отображается на прямую, уравнение которой и = —,'. Образом окружности Тг = (г б С: ~г~ = 2) будет некоторая окружность в плоскости в с центром на действительной оси. Ее уравнение записывается в виде (и — а) + е = В.. г г г Ря». 44 Образы точек г, = -2 и г, = 2 принадлежат ей. Точкам г, и г, отвечают точки в, = —, и в, = 2. Для определения а и В получаем г гг г г г систему двух уравнений с двумя неизвестными (-, — а) = Вг и (2 — а) = В . Решив ее, имеем а = '-„В = -,. Окружность тг отображается на окружность Г = (в Е С: !в — '-,! = ';) .
Кольцо К отобрикаетсл на двусвязную область, граница которой состоит из прямой, уравнение которой Кев = -', и окружности Г (рис.44). 45. Отобразить на вертикальную полосу Р = (в Е С ~ О < Ке в < 1): 1) полуплоскость Р = (г Е С | Ке г ) О) с выкинутым кругом К = (г Е С: !я — 4 ! ~ (4 ); 2) двуугольник, заключенный между окружностями = (: ! - ", ! = -",')» = ( б С: ! - ' ! = У;) ( < )' 3) внешность кругов Кг — — (г Е С: !г+ гз! ~< -гз) Кг = (х Е С: !х — -г! < гг) так, чтобы (г( ) = О, м 1) Функция в| — — —,' отображает множеспю Рг|К на полосу 6 = ( в| Е С ! О < Ке в, < -' ), а отображение в, = г(вг = 4 переведет полосу б в полосу С' = (вг б С ~ О < Кев, < 1).
Согласно решению примера 33, 1), обший вид искомого преобразования определяется функцией в = в 4 |Л = —," + |Л, или гв = — |и|+ 1+ |Л = — 4 + 1+ (Л, где Л вЂ” любое действительное число, 113 $6. Тригонометрические и гиверболические функции 2) Функция м2 = —,' отображает двуугольник на полосу Р~ — — (м2 Е С ~ — ' < Ке в22 < — ') .
2 Ширина полосы равна — — — = -2: — 2. Функция в22 = -'-'-(м2 — — ) отображает полосу Р, 2 4-4 а,г г 2 а! 22 ф22 '22-ф '22 на полосу Р, = (мз Е С ( О < Кемз < !), а отображение и = в2, + 2Л или отображение и = -в22 + 1+ 2Л, Л б К, переводит полосу Р, в себя, т.е. в полосу Р (см, пример 35, !)). Окончательно полУчаем, что и = — ьа- (;2 — 1) + (Л, или и2 = а 24 — (-"2 — 1) + 1+ 2Л, Л б К— произвольное (см.
рис. 45). 3) Композиция цепочки отображений и2 = —, в22 — — ич — а, 2 2 2(22(2 2(22(2 ( ! ! ! 2(2 ( С!2 ! 2 Г С!2 Вгз Ю2~ Ю Мз 1 —— приводит к требуемому результату (см. рис. 46). > Рлс. 45 Г с,аа 46. найти дробно-линейные функции, переводящие точки — 1, 2, 1+ ! соответственно в точки 1) О, 22, 1 — 2; 2) 2, оо, 1. М !) Для наглядности запишем условие в виде таблицы Искомая функция имеет вид и, = Л вЂ”;+' . Точка -1 переводится в точку ю = О. Для определения Л и Ь получаем в соответствии с таблицей систему уравнений 1+2 22=Л— 2 — Ь' 2+2 ! — (=Л 1+2 †Гл. 3. Злементарнме функции в комплексной плоскости 114 Разделив друг на друга левые и правые части уравнений системы, получаем уравнение относительно Ь: 2» (1+ в)(1 — Ь+ в) 1 — в (в — Ь)(2 + в) После несложных преобразований находим: 3+ 2в Ь=— 2(в — 1) Подставив найденное значение в первое уравнение системы, получим: Окончательно имеем 2»(»+ 1) а» 4» — 1 — 5» 2) При виде таблицы становится ясным, что искомое дробно-линейное отображение следует искать в виде г — а ав = 1» » — в Условие в ео выполнено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
