А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4) Здесь чисто мнимым значениям г должны соответствовать чисто мнимые значения ю, где зл = аг+4Ь, а 6 Я, Ь Е К. Для того чтобы правая полуплоскость переходила в себя, требуется выполнение условия ш'(г) = а > О. Поставленному требованию удовлетворяет функция ге = аз+(Ь, або, ЬЕКла>0. Для однозначного определения преобразования требуется задать соответствие двух пар точек: либо двух пар граничных точек, либо пары внутренних точек, поскольку другая пара определится по свойству симметричных точек. М 35. Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего: 1) полосу 23 = (з Е С: 0 < Ке г < Ц на себя; 2) полосу С = (х Е С: -2 < 1ш * < Ц на себя; 3) полосу, ограниченную прямыми у = х н у = х — 1, на себя.
Выяснить, какие пары точек могут при этих отображениях соответствовать друг другу и в каком случае это соответствие будет однозначно определять отображение. м 1) Искомое преобразование имеет вид я( = аз + Ь. Поскольку оно должно перевести полосу )3 в себя, то прямые х = 0 и х = 1 должны перейти в прямые а = 0 и а = 1. Возмо:кны два случая; 1') х = О к = О, х = 1 - и = 1; 2') х = 0 - и = 1, х = 1 -+ и = О. Рассмотрим их в отдельности. 1') При з =.зу ю = (е, зв = (ау+ Ь, в частности, при у = 0 !е = Ь, следовательно, Ь = !Ь(, Ь( Е (й, а Е (й.
При х = 1 + !у ю = 1 + !е, 1 + зе = а(1 + !у) + зЬ. Отсюда находим а = ! . Таким образом, искомое преобразование имеет вил м = х + !Ь, Ь Е (й $б. Тригонометрические и гиперболические функции 107 2 ) При а = зу в = 1+ нн !+ за = зау+ Ь, в частности, при у = 0 1-Ь зя = Ь. Следовательно, Ь б С и Ь = 1 ч- зЬ,, Ь, б К, а б К. При а = 1 ч- зу в = зе, зе = а(1+ зу) + 1+ зЬз. Отсюда находим а = — 1. Окончательно получаем в = — а + 1 + Ьз, Ь б К.
В случае 1') прямые х = с, параллельные граничным прямым, переходят сами в себя, а в случае 2') соответствуют друг другу параллельные прямые, симметричные относительно средней линии полосы * = -,'. Отсюда ясно, что для однозначного определения отображения следует задавать соответствие пары точек либо лежаших на одной и той же прямой х = сопи Ф либо на прямых, симметричных относительно прямой х = —,'. Отображение не будет определено однозначно, если соответствующие точки будут лежать на средней линии полосы.
Таким образом, в=х+зЬ или в=-а+1+зЬ, ЬЕК. 2) Отображение х, = — -',(а ч- 21) переводит полосу С в полосу Р. Согласно результатам, полученным при рассмотрении случая 1), отображение в, = х, +Ьз, Ь б К, нли вз = -а, +14-Ьз переводит полосу Р саму в себя. Пусть в — искомое отображение полосы С в себя.
Тогда отображение в, = --,'(в + 21) переведет пшюсу С в Р. Таким образом, отображение в находим из условий: вз — — в,, или в, = в,, т.е. 3 3 3 з --(в + 2з) = --(х + 2з) + Ьз, или — -(в + 2з) = -(х + 2з) + 1+ Ьб 3 3 3 3 В первом случае в = а — ЗЬ = х+ Ь,, Ь, б К, во втором случае имеем в = — х — з — 3Ь = -х — з + Ьт, Ьз б К. Относительно соответствия точек для однозначного определения отображения рассуждения аналогичны, поскольку мы свели случай 2) к случаю 1). 3) Ширина полосы равна соз — = ' . Рассмотрим отображение '2' з' 1 хз —— ч'2ез з х = ч'2 — -1- — ) х = (1+ з)а ~, зз2 42/ Оно переводит заданную полосу в полосу Р.
Если в — искомое преобразование, то, аналогично рассмотренному случаю 2), (1+ з)в = (1+ з)х + Ьз, или (1+ з)в = -(1+ з)х + 1+ Ьз, Ь б К. В первом случае получаем Ь в = х 1- -(! + з) = х -1- Ь,(! + з), Ьз б К, 2 а во втором случае имеем Ь+1 Ь вЂ” 1 Ь+1 з'(Ь вЂ” !) Ь вЂ” 1 в = -х+ — вз — = -а+1+ -1+ = — а+14 — (1-Ьз) = -х+1+Ц1гз), Ь б К.
2 2 2 2 2 Поскольку н случай 3) сводится к случаю 1), то прехзние рассуждения о соответствии точек для однозначного определения отображения остаются в силе. в 36. Найти целую линейную функцию в = в(а), отображаюшую полосу, заключенную между данными прямыми, на полосу Р = (в б С; 0 < Кем <!) при указанной нормировке: 1) х = а, х = а + Л; в(а) = 0; 2) х = а, х = а + л; в (а + — ) = т + з, 1зп в (а ч- т + з) < 1; 3) у = Лх, у = Лх + Ь; в(0) = 0; 4) У = Лх Ч- Ьн У = Лх + Ьз, в(зЬ! ) = О. и 1) Ширина полосы равна Л.
Отображение хз — — (а — а)-„переводит заданную полосу в з множество Р из примера 35. Согласно решению этого примера, отображение в = х, + Ьз, Ь б К переводит полосу Р в себя. Из условия нормировки в(а) = 0 получаем, что Ь = О. Таким образом, в = — ',, 2) Функция в = — '„" + Ьз, или функция в = — — *,," + 1+ Ьз, Ь б К отображает указанную полосу на множество Р (см. пример 35). Здесь первое условие нормировки задано на средней линии полосыз поэтомУ искомое целое линейное пРеобРазоаание задаетса нецднозначно.
ВтоРое условие 1пзв (а+ з + з) < 1 приводит к случаю 2') примера 35, т.е. прямая х = а переходит в 10о Гл. 3. Элементарные функции а комплексной плоскости прямую и = ! и прямая х = а+ Л переходит в прямую и = 0 (обходы прямых в плоское~ах х и в противоположны). Поэтому г — о / йо! 1 1 ()=- — 1 Ь,, — =- Ь=- Л 2) 2 2 откуда Ь = 1.
Следовательно, в = — о'" + ! — искомое целое линейное отображение. 3) Найдем ширину полосы в плоскости з, Поскольку !да = Ь, то Ь Ь Л + ЬЫ 6 = Ьсоза = и /! + гд'а ъП+ Ь! 6 Ь повернув полосу на угол — ( — ", + агс!ай) и умножив результат на — „, получим полосу Р из при! мера 35: А + )о — '(коаич ь) Ь Условие нормировки выполняется. 4) Этот случай сводится к предыдущему, Пола~ая *, = х — (Ь, и принимая во внимание, что !да = Ь, получим г) -О й' .о(а,.и!оь) в= е о (о — оЬ!).
Ь, — Ь, Условие нормировки выполняется. м 37. Найти целую линейную функцию, отображающую крут К! — — (х Е С: !г( < 1) на круг Кл —— (в Е С: !в — во~ < Я) так, чтобы центры кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр перехолил в лиаметр, образующий с направлением действительной оси угол а. м Полагаем в = ах+ Ь. По условию х = 0- во, 1 во+Ле' Из этихданных находим: во = Ь, а 4 во = во + Лег*, откуда а = Ве' . Окончательно имеем в =Ве а+во 38. Для функции в = -' найти образы следующих линий: 1) семейства окружностей х'+ у' = ах; 2) семейства окружностей х + у = Ьу; 3) пучка парюшельных прямых у = х+ Ь; 4) пучка прямых у = )гх; 5) пучка прямых, проходящих через заданную точку ео ~ 0; б) параболь! у = хз. М 1) Пусть з = х 4 оу, в = и -Ь ое, тогда 1 и в а+!у = — ! и .1- ов из -1- ез из -1- е! Отсюда имеем ! з х = у = , х -1- у и'+е" и! -Ои" из + из' ПосколькУ аа = зчзт, то из УРавнении семейства окРУжностей следУет, что 1 аи ио ! сз из .! из — уравнение семейства образов.
Искомое семейство образов имеет вил и = -. Это семейство прямых, параллельных мнимой оси в плоскости в. Сама мнимая ось в это семейство не входит. 2) Очевидно, что искомое семейство — прямые и = — -„, параллельные действительной оси в плоскости в, причем сама действительная ось в это семейство не входит. 3) Уравнение пучка образов имеет вид и и = — + Ь. из+из из.!. вз 109 б б. Трнгонометрвческие и пшерболическне функции Его можно записать в виде Ь(и'+ юз) + и+ ю = О, или и+ — + о+в Получили семейство окружностей ради>са Я--, с центром в точке (го, зо) . Окружности этого семейства касаются в начале координат прямой ю = -и.
Сама эта прямая также входит в семейство, что соответствует значению параметра Ь = О. 4) Запишем уравнение пучка образов ланного семейства. Оно имеет вид ю Ьи т.е. Ьи ч- ю = О. и' + юг из + ю' Получили пучок прямых ю = — Ьи. 5) Уравнение пучка прямых, прохоляших через заданную точку го — — (х,, у,), имеет вид у — уо = Ь(х — хо). Уравнение семейства образов этого пучка , — У,=Ь(,, — „) после очевилных преобразований запишем в виде (Ьхо — уо)(и + ю ) = )си + ю.
Получили пучок окружностей, в который входит также прямая, проходяшая через точки го = О и ою = — (образ прямой, проходящей через начало координат). ! =о б) Поскольку ю и и" 1-ю (и +ю) является образом параболы у = х при отображении и, то остается лишь упростить полученное г уравнение. Имеем з и = — ю(и +ю), и(1+ю)= — ю, и = — —.
2 г 2 2 3 2 1Чю Кривая, заданная полученным уравнением, называется лиссоидой. М 1 39. Выяснить, во что функция ою = + Ь переводит: г — ао 1) прямоугольную сетку х = С, у = С; 2) полярную сетку ~х — хо~ = )2, ага(х — го) = а. < 1) Пусть г = х + гу, гю = и + (ю, Ь = 6| + гйз. Тогда 1 го(г — хо) = 1+ 6(г — го), го = хо т гуо, г(гл — 6) = 1+ го(гю — 6), х = — + го, ю †1 (и — 6|) — г(ю — Ьг) х+ гу = хо+ гуа+ = хо+гуо+ (и — Л,) + г(ю — Ьг) (и Ь )г+(ю Ьг) и — Ь, ю — Ьг я=хо+ (и — 6 )'+(ю — Ь )з' (и — Л,)з+(ю — Ь )з Подставляя вместо х и у С, получим два семейства окружностей (С вЂ” хо)((и — Ьо) + (ю — Ьг) ) — (и — 6~) = О, (С вЂ” уо)((и — 6~) +(ю Ьз) )+(ю — )гз) = О. з 2 2 2 Первое семейство проходит через тбчку и = Ь и касается в ней прямой, параллельной мнимой оси, причем эта прямая входит в семейство.
Второе семейство касается в точке м = Ь прямой, параллельной действительной оси. Прямая также принаклежит этому семейству. 2) Поскольку а — хо = Вео" и юг = — ', + Ь, то ю — Ь = — 'е '". Получено семейство ОКРУжНОСтЕй РалнУСа Л С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Ю = Л. ОЧЕВИДНО, ЧтО ШЛ(ОΠ— 6) ы — а — СЕМЕйетВО лучей, выходяших из точки гл = Ь, м 1!О Гл.
3. Элементарные функции в комплексной плоскости 40. Во что преобразуется квадрант б = (х б С: Ке х > О, 1гп з > О) при отображении с Х вЂ” 2 помощью функции ш = — ? а+2 м Приз=я иО<я<+оо я — 3 в — 1 2я 2 Ш=И+4Е= —, = 2 я + ! *2 «- 1 в2 + 1 Функция я + -'2-,'- неубывающая, я — 1 я — 1 2 я — 1 я — 1 2 2 !пГ 2 2 ' 2 = 1нп — - = -1, зцр — = !нп — = 1. О«+ в +1 4ов .1-1 ' 4«,4 х +1 * 4 я -~-1 Поэтому в рассматриваемом слу'2ае — 1 < и < 1, е < О. Поскольку ~ю~ = 1, то часп границы квадранта?2 —— (х б С: 0 < Кех < «-оо,1гпх = О) переходит в нижнюю полуокружностьрааиуса ! с центром в точке ш = О. Пусть г = зу, 0 < у < «.сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
