А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 30
Текст из файла (страница 30)
М В плоскости ю| — — !их (1и! = 0) получим полосу М' = (ю| Е С: 0 < 1шю, < 2я). Функция ю = —,ю, = —,"* осуществляет указанное отображение. ° . ! ! 2б. Найти конформное отображение луночки 0 = (е Е С: ~х~ ( 1, ~я — -', ~ ( ,—') на верхнюю полуплоскость Р = (ю Е С:!ш ю > 0). Л Пеночка функций ! 1 ! 1 — !е |г(1 — (з) юз = ю=е ' х — !' х — ! 2 2(х — !)' х — з отобрюкает 0 соответственно на полосу М, = (ю~ Е С: 0 < !шю~ < 1), на полосу Мз —— (юз Е С: 0 <!ш юз < !'), на полосу Мз — — (юз Е С; 0 < !ш юз < я), на верхнюю полуилоскоси, Р.
Таким образом, ю = е 27. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми у = я н у = яюЛ, Л>0. м Находим ширину полосы й = ь . Искомое отобрюкение получаем посредством композийз' ции следующих отображений: 1) ю1 = е 4 я = ' 'з — поворот на угол --; ь 2) ю, = ую~ = — ю, — подобие с коэффициентом подобия — „ /2 в2, як! Я-Яе 3)ю=е '=е ь '=е ь $4. Общая степенная и общая показательная Функции 97 Простейшие конформные отобрюкения, осушествляемые показательной функцией чг = е', приведены на рис.33.
Рис. 33 54. Общая степенная и общая показательная функции 4Л. Обп(ая отененная функнйя. Согласно правилу возвеления комплексного числа в произвольную действительную степень, имеем при р Е Ж ге = з~ = 1зг(соя рЗг+ гни р)г) = 1а~~е ~~, (е Е Агяа. Если р = и (и Е гЫ), то функция ге аналитическая в С. Она изучена в б 2. 98 Гл.
3. Элементарные функции в камплексиой плоскости Если р — произвольное рациональное число и р = в (р и а — взаимно простые), где ч р б х, а б (ь)1(1), то функция в в каждой точке я е с л я ф О имеет а разных значений и в любой односвязной области, не содержащей нуля н бесконечности, можно выделить а однозначных ветвей. Следовательно, нуль и бесконечность — точки разветвления (а — 1)-го порядка д многозначной функции в = я ч Если р — иррациональное число, то в каждой точке - р' О, я ~ со существует сколь угодно много значений яч. В любой односвязной области, не содержащей точек О и оэ, существует бесконечное множество однозначных ветвей многозначной функции в = яь. Объясним, какой смысл вкладывается в понятие комплексной степени з, а Е С.
Запишем равенство (1) в виде яя =)я)яемя = ея й' 'я~ = ея и обобщим это равенство на комплексную степень. А именно, ь- ызь я =е "*=е е' Заметим, что степень с произвольным показателем, вообще говоря, не подлежит правилу сложения показателей при умножении степеней, а также правилу умножения показателей при возведении степени в степень. Так 2 гьь* чь гь *ч чь ( м Пьь* м ч =я ( )р ( ьь*)р рвы г юь ] ф д ьь 4.2.
Общая показательная фушщня. Общая локазатеяьяая фуикция в = а* (а к О) определяется формулой а' = е'~". Чтобы получи~ь определенную однозначную ветвь, следует зафиксировать одно из значений Ела, например, (ла = Ь. Тогда а* = е " б А(С) — везде дифференцируемая функция (напомним читателю, что символом А(Р) обозначается множество функций, аналитических в области Р). Рассматривая все возможные значения 1ла, получим все возможные однозначные ветви многозначной функции я ь а=. Поскольку два значения Еп а отличаются на слагаемое вида 2йяй то две ветки функции в = а* отличаются множителем вида е" *, который является однозначной функцией со значением 1 лишь для целых значений я. В рассматриваемом случае ветви многозначной функции в = а* существенно отличаются от ветвей всех ранее рассмотренных многозначных функций.
А именно, в исследованных ранее случаях на плоскости С существуют точки разветвления, перемешаясь вокруг которых по замкнутым кривым и требуя непрерывного изменения значений функции (ее определенных ветвей), имели возмохсность непрерывно перевести одну ветвь в другую. В паннам случае картина иная. Здесь каждая ветвь является олнозначной функцией в С. Двигаясь по любому замкнутому пути при возвращении в начальную точку получим то же самое начальное число я, возможно, с другим значением аргумента, а значит и то же самое значение е *.
Таким образом, многозначная функция в = а* не имеет точек разветвления и ее однозначные ветви не могут непрерывно переходить одна в другую, Это позволяет рассматривать нх как самостоятельные, не связанные друг с другом функции: ~ь Ш чз '1 Мм -з О Фиксируя одну из этих ветвей (т.
е, значение йч а = Ь), можем рассмотреть функшпо, обратную по отношению к этой ветви, которая является логарифмом в по основанию а: 1 1лв я = — 1л в = — = (лд„в. Ь 1па б 5. Функция Жуковского $5. Функция Жуковского 5.1. Определение функции Жуковского. Канформность. Отображение ю= к+в называется функцией Жуковского. Она аналитическая в ЩО). Ее производная — „= - (!- --1) г 1/ 14 отлична от нуля везде в этой области, за исключением точек г = ж[. Следовательно, отображение (1) конформное в С, за исключением, возможно, точек О, 1, — 1. Докюкем, что в точке г = 0 отображение конформное. Принимая во внимание, что ы(0) = оа, рассмотрим Поскольку — ( — ) ~ и О, то, согласно определению угла между кривыми на бесконечности, 1 222 имеем конформность в точке г = О.
Из равенства в2(г) = н2 (1) следует конформнасть также в точке г = аа. Чтобы убедиться в том, что в точках г = Ы отображение (1) не конформное, рассмотрим его как композицию отобрахсений 2 юг+! 4г1 = 4 1г2 — я11 +!' ' 1 — ~~ 4 Первое и последнее отображения дробно-линейные, а значит конформные в С.
Отображение шг удваивает углы в точках 0 и ос, которым отвечают точки г = ж! . Поэтому функция Жуковского удваивает углы в точках ж1, в силу чего пе является конформным отображением в этих то псах, Установим условия однолистности этой функции. Пусть 51 и 22 — две разные точки из С, в которых значения функции Жуковскою равны, т. е. / г, + — — р Š— ! = г, — 22+ ~ — — — ) = (г, — 22) 1 ! — — ! = О. гг( 21 22 2152 С1 = (г б С; /г[ < 1), Сг = (г Е С; [г] > 1), Сз —— (г б С; 11п 2 > О), С4 = (г Е С: 11п2 < 0). Единичная окружность с центром в начале координат лепит плоскость г на две области одналистнасти: С, и Сг.
Полагая г = гезг, а2 = в+ !е, запишем функцию Жуковского в виде 1/ 1/ и = — г + — саа 52, е = — г — 5!и 1р. 2~ г/ ' 21 г~ (2) Из (2)'следУет, чга окРУжность У = [г б С: ]г] = ге ~ 1) отобРалсаетса фУнкцией ЖУковского в эллипс с полуосями а = -' (ге + -„' ) и Ь = -' ( ге — — „' ! с фокусамн в точках ж! (с' = а' — Ь' = 1).
"4 2 Между точками окружности т и эллипса сушествует взаимно однозначное соответствие. При ге > 1 направления их обхода совпадают, а при ге < 1 они противоположны. При ге 0 (ге-4 со) а-4со, Ь- со, апри ге-11 а- 1, Ь-10. Отсюла устанавливаем, что образом области Сг, как и области С „является вся плоскость С с выброшенным отрезком [-1, Ц, в который переходит единичная окружность ч. Чтобы установить взаимно алназначное соответствие точек окрузкности у и отрезка [-1, 1], делаем разРез алаль При 51 ~ 52 ИМЕЕМ 2152 —— !. Следовательно, для однолистности функции Жуковского в какой- нибуль области необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никакой пары тачек г„гг, лля которых г,г2 = 1.
Примерами таких областей служат множества Гл. 3. Элементарные функции в комплексиои плоскости 100 отрезка. Взаимно однозначное соответствие точек окружности и разреза устанавливаем согласно правилу обхода (рис.34). Функция, обратная к функции Жуковского, имеет внд в ! /ют (3) и является многозначной с точками разветвления первого порядка в = ю1. Ее поверхность Римана изображена на рис. 35. в=, !6~=1, з+! й(з — !)' переводящее одну из областей з-плоскости, ограниченных Т, на верхнюю полуплоскость. Тогда йш+1 йш — 1 Принимая во внимание условие з,зз = 1, получим (йю! '! 1)(йвз ! 1) з|зз = =1, (йш, — !)(йвз — 1) или й ввз+ й(ш, 4 вт)+ 1 = й ввт — й(в|+ юз) 4 1, 2 г Отсюда имеем ш, = -вт.
По свойству взаимно однозначного отобрюкения прообразы точек ю, и вз, т. е. точки зз и зт, лежат с разных сторон у. В 2 2 29. Найти конформное отображение внешней части эллипса — + — = 1 (а > Ь) на внешнюю аз Ь' часть единичного круга с центром в начале координат. а В плоскости в~ —— и1 + мй = — я=4 получаем внешнюю часть эллипса г/Ы н, е, а - Ь вЂ”,+==1, а= Ь= а' Ьт ' з/ат — Ьз ' з/ат — Ьз ' а в плоскости в, = ю, 4;/ю1-1 (юз(оо) = со) — внешнюю часть круга радиуса д: Л = б + Х/гат — 1 = а+6 з/ау+ !И С = (вз Е С: !юз! > Д), Рассмотрим примеры.
28. Доказать, что любая окружность, проходящая через точки ю!, делит пяоскость С на две области однолиспнкти функции Жуковского. а Пусть у — любая окружность, проходящая через точки ю! и пусть точки зи з, не лежат на у, причем з,зт = 1. Докажем, что одна из этих точек лежит внутри круга с границей Т, а другая — вне окружности Т. Рассмотрим отображение 101 б 6. Тригонометрические и пшерболнческие функции В плоскости ю = лз получим область 2) = (ю Е С: !ю! > Ц.
Таким образом, и(+ „~гю,'-Т чгат — Ьт г х зз 1 1 — (* °,/Р- '+и). ° а+Ь ~ /атл-Ьт чГа~ — ЬГ ( а+Ь 30. Найти функцию, конформно отображаюшую область, заключенную между ветками гик' у' перболы — — — = 1, на верхнюю полуплоскость Р = (ю Е С: 1ш ю > О). аз Ь2 и Рассмотрим преобразование подобия ю, = =, переводяшее заданную гиперболу в чгы. ы ' гиперболу и, о, а Ь вЂ” — ==1, а= Ь= аг Ьт ага( 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
