А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ьг ага( 4 Ьз а заданную область — на область, размешенную между ее ветвями. В плоскости юз = ю, 4 з(ю( — 1 (ют(сс) = ос) получаем внутренность угла а < агйюз < я — а, а = агс(й —, в плоскости юз —— е ' юз— внутренность угла О < ага юг < х — 2а.
Искомое отображение имеет вид 5 6. Тригонометрические и гиперболические функции Тригонометрические фуккции е ~-~ яп з и з ° созе определим через показательную функцию з ~-~ е* по формулам Эйлера е'= ч- е '* сода = 1 е 5(пх = 2( 2 () Из свойств показательной функции следует: !) при е = х яп х и созе совпадают с тригонометрическими функциями х ~-~ яп х и х ~ сов х лействительной переменной х; 2)япз и созе дифференцнруемы в С и прн атом (япх) = созе, (созе) = — з!па; 3) выполняются основные тригонометрические соотношения, такие, например, как 2 2 з(п а ( соз е = 1 з!па = соз (х — — ) 1 2)' теоремм сложения и др; 4) япх и созе — периодические функции с основным периодом 2а; 5) а ьч з!па — нечетная функция, е ьч созе — четная функция. С тригонометрическими функциями а ~ яп х, х ~ соа а тесно связаны гиперболические функции х ~-~ ай х, а ьч сЬ х, определенные формуламн едг е* — е * ач е*+е ' зЬх =, сЬх = 2 ' 2 Их связь с тригонометрическими функциями выражается равенствами зЬа = -(з!п(х, ейх = соа(х, япа = -(зЬ(х, созе = сЬ!х.
102 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости Из формул (!) следует, гго отображения, осуществляемые синусом и косинусом, являются композицией изученных ранее отображений. В частности, отображение в = созе есть композиция поворота на угол — и отображений, осуществляемых показательной функцией и функцией Жуковского: 1/ 1)щ,=(х; 2)мха - е '; 3)м= — зез+ 21 мз/ а) 6) В) Г) Используя этот факт, рассмотрим простейшие конформные отображения, осущеспциемые функцией и = соз л (рис. 36).
% б. Трнганаметрическяе н гиперболические функции 103 Из формулы .+--) .„- ( -М япа = 2 следует, что отображение в = 5!из является композицией отображений я 1/ 1) в1 — — з — —; 2) юг — — нон 3) юз — — е, 4) в = — ~во+ — ( .
2' ' ' 2~, юз( В качестве примера найдем образ паласы С = Тх Е С; — —, < Вез < — ) (см. рис. 37). г .зт Из рассмотренных конформных отображений следует, что вертикальные полосы, ширина которых равна э., являются областями одналистностн функций з ~-~ яп з и 2 ~-~ соз 2. Рассмотрим более дезвльно отображение полосы 23 = (з Е С: -я < Ке5 < 0), осуществляемое функцией в = сов з. С помощью теоремы сложения и формул (1)-(3) находим; в = и+ ге = сова =сов(х4 !у) = созхс)2у — ояпхзйу, или и = са5хс)гу, э = — 5!и хо)гу. НайДем обРаз пРЯмой х = хо —— сапе! (-Я < хо < 0 Л хо Ф вЂ” Ц.
Имеем и =созхос)2У, э = — Япх,зйУ. (4) Отсюда находим Точки разветвления этой функции: х1, оа. Тангенс и котангенс в комплексной плоскости определяются формулами 51П Х сао а гйа = —, сгйх =— саз х япх (б) е" — е " е" +е '* 1ва=-о 1 г . сгйх=о ег*+ е '* ег* — е '* (7) 2 2 2 2 — = 1. СО5 хо 51п хо При — — ' < хо < 0 прямая х = хо переходит в правую ветвь этой гиперболы. При -л < хо < —— она переходит в левую ветвь гиперболы.
Прямая х = 0 (мннмая ась) переходит в разрез вдоль действительной оси от точки 1 до бсо, а прямая х = -ог переходит в разрез вдоль действительной оси от точки — ! до -со, прямая же х = — переходит в мнимую ось. Образом полосы )3 является 2 вся плоскость ю с выброшенным отрезком действительной оси и от — 1 до! через бесконечность. Разбивая всю плоскость з прямыми х = йя, й Е Е на вертикальные полосы — области однолистности функции ю = соз з и взяв для каждой из них свой экземпляр в-плоскости, путем нх склеивания можно получить поверхность Римана многозначной функции з = Агссозго, которая является обратной к функции в = сов г и имеет вид 1 х = Агссозв = — Сп(в+ 3/ю~ — 1). (5) 104 Гл.
3. Элементарные функции в комплексной плоскости Эти функции диффере нцируе мы всюду в С, за исключением тех точек, в которых знаменатели дробей в (7) обращаются в нуль. найдем, например, нули знаменателя дроби, определяющей с!8 з; е'* — е '*=О, е"=е '*, (з=-(г+2йяг, а=ля, ЙеУ. Функции з ~-~ 18 г, з ~-~ с!8 з периодические, с действительным основным периодом з.. Для них сохраняются известные из анализа формулы дифференцирования и основные тригонометрические соотношения. Отображения, осуществляемые этими функциями, являются композицией уже изученных отображений. Так, отображение е" — 1 3 ю = 18 3 = -1 е'- + 1 есть композиция таких отображений: агз 3) юз =, 4) и = -низ. югч.
1 1)в,=2(з; 2)мг=е Используя этот факт, рассмотрим простейшие конформные отображения, осуществляемые функцией ю = 18х (см. рис. 38). В Изучая отобрюкения и = !8 а и и = сгйз, приходим к выводу, что области однолистности этих функций — вертикальные полосы шириной т. Разбивая всю плоскость а прямыми я = (гя (й Е Е) на области однолистности тангенса и взяв для каждой из них свой экземпляр 0 6. Тригонометрические и гиперболические функции !05 в-плоскости с разрезом по отрезку [ — 1, 1[, путем склеивания их мо:кно построить поверхность Римана многозначной функции ! 1+зв х = Ага!я в = — !.и 2! 1 — !в Функция Агсгби имеет две точки разветвлениЯ: хС Рассмотрим примеры.
31. Найти образ прямоугольника Р = [ Е С: 0 < Кех < я, 0 < [шх < Ь) при отобралгении В = СОзт. м Пусть х = х + ту, тогда созе = созхсйу — 15!пхаб у, 1ши = — 5[ох ай у < О. Следовательно, образ прямоугольника Р принадлежит нижней полуплоскости плоскости в. При з=х в = созх, 0 < х < а"! при з = л -1-1у и= — сйу, 0<у<Ь; при "=гу в=сйу, 0<у<Ь; при т = х -'; 1Ь в = н+ !е =созхсйЬ вЂ” 1апхзЬЬ, 0 < х < я, т.е 2 1 и = созхсЬЬ, е = — 5[пхз[зЬ, — -Ь вЂ” = 1. сйтЬ 12! Таким образом, прямоугольник Р отображается на нижнюю половину э1пипса с полуосями сй Ь и 50Ь.
Заметим, что в угловых точках з = О, 5 = гг нарушается конформность отобралсения, а именно, прлмые углы перешли в углы, равные я, в фокусах эллипса х1. В этих точках (созе! = 5[п =О. ~ Зл. Доказать, что функция в = 10': отображает полосу Р = (г Е С: 0 < Кех < —,) на круг !( = [в Е С: [в[ < 1) с разрезом вдаль отрезка [ — 1, О[. М Заданное отображение является композицией отображений 2 И1=5 Ит= ВЗ вЂ” твз> В=ИЗ. 101+ 1 Рас. 39 При последовательном выполнении этих отображений заданная полоса преобразовывается в области, указанные на рис. 39.
М 33. ДОКаЗатЬ, ЧтО На СтОрОНак КаадратОВ С ВЕрШИНаМИ В тОЧКаХ я(П+ -!)(~! ж 1), и Е Уе, выполняется неравенство [созес 5[ < 1. 106 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости м Из определения функции з ~ созесг =,—,.„получаем: 1 1 1 1 1созесз~ = 'Р,— ' Я, цч' На горизонтальных сторонах прямоугольников х = х х ( (и+ !) х имеем к / ./ 1 ! зЛ и+-! х>аЛ вЂ” > 1, совес тях~! ~п+- ( х) = < — < 1. ь'( 1) ° *='( +д" ь1х 1 1 1 созес х н + — х+ !у из которого следует очевгщное неравенство ~ созес (х (и + —,) з. + !у) ~ < 1. м Рассмотрим теперь разные примеры, относящиеся ко всем разделам этой главы.
34. Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего. 1) верхнюю полуплоскость на себя; 2) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость; 3) верхнюю полуплоскость на правую цолуплоскостья 4) правую полуплоскость на себя. Показать, что во всех случаях преобразование однозначно определяется заданием одной пары соответственных внутренних точек илн двух пар граничных. м 1) Рассмотрим функцию в( = ах + Ь, яаляющу(ося целым линейным отображением. Для того, чтобы она переводила верхнюю полуплоскость на себя, требуется, во-первых, чтобы действительная ось перешла в действительную, т.е.
м(з) Е Ж, если з Е К. Поэтому а и Ь должны быть действительными числами. Во-вторых, для выполнения поставленного требования должно выполняться также условие ю'(з) = а > О. Таким образом, функция и = аз + Ь, а Е К, Ь Е К и а > О, отобрюкает верхнюю полуплоскость на себя. 2) Очевидно, что таким отображением является зв = — ах+ Ь, а Е Ж, Ь Е Ж л а > О. 3) Для решения поставленной задачи отобразим верхнюю полуплоскость на себя, а затем применим преобразование поворота на угол — —,. В итоге получаем: м = -((аз + Ь), а б К, Ьбйла>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
