А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в будет однозначно определено и равенство з = ~у(вв(е' будет определять однозначную функцию в области 2)*. Если теперь положить для гвр б Р* В = Вв + 2гг, то получим другую ветвь, при В = В, + вк — третью ветвь и т.д. Таким об~атом, фиксируя значение В в точке гвв разными способами, полагая В = Вв + 2ая (й = О, и — 1), получаем и функций, для кюкдой из которых 02. Степенная функция ю = х" (и Е И, и > 2). Многозначияя фуиквяя ю = .ъух 93 стеленная функция ю = г" является обратной, Объединение этих функций (однозначных ветвей) назовем многозначной функцией г = 7/и.
Точка, при обходе которой в достаточно малой ее окрестности совершается переход от одной ветви многозначной функции к другой ее ветви, называется точкой разветвления этой многозначной функции, Причем, если после и-кратного обхода в одном и том же направлении опять возвращаемся на начальную ветвь, то говорят, что это точка разветвления (и — 1)-го норядка, в противном случае — бесконечного норлдка. Точки разветвления конечного порядка называются алгебраическинн точками разоетеленил.
Точки ю = 0 и ю = ж являются алгебраическими тачками разветвления (и — 1)-го порядка функции г = ъ/ю. В этих точках сама функция принимает по одному значению: ъ'0 = О, ъ/ж = сс. На поверхности Римана они будут концевыми точкалги разрезов, общими для всех листов. Кюкдая ветвь функции г = 7/ю является аналитической в области Р* с производной 1/ю — ъ'ю = — ф О. дю пю Таким образом, отабражени, осуществляемое каждой ветвью, конфорлное в любой области Р' (О й Р' и ж й Р'). Рассмотрим примеры.
17. Найти образы следующих областей при отображении ю = г'. а) внутренности правой ветви гипербояы х' — у = а; г 2 2, б) области, ограниченной правой ветвью гиперболы х — у' = 1 и лучами агйг = х 4 1 в) полуплоскости Р = (г Е С:!ш г > с; с = сопи > 0). Ч а) правая ветвь гиперболы переходит в прямую и = а . Принимая во внимание, что г х > О, по правилу обхода устанавливаем, что внутренность правой ветви гиперболы переходит в полуплоскость (г = (ю Е С: йею > а ).
б) Лучи агдг = хд являются асимптотами гипербояы х' — у = 1. При отображении ю = гг Т лучи переходят в мнимую ось, а правая ветвь гиперболы х' — у' = 1 — в прямую Кею = 1 Образом заданной области является полоса М = (ю Е С: 0 < )(ею < 1). в) При у = с имеем и = х — с, о = 2сх, х Е !(. Исключив х, находим: и = -"-, — с'. 2 2 Принимая во внимание, что с > О, по правилу обхода устанавливаем: образом полуплоскости Р з является внешность параболы и = — ', — с (т.е.
область, ограниченная этой параболой и такая, что ей не принадлежит фокус параболы). м 18. Построить конформное отображение области, ограниченной двумя параболами у' = 4(х -1-1), у = 8(х+ 2) на полосу М = (ю Е С: 0 < йе ю < 1). м Образом прямых 1шИ' = с в пяоскости г = И' являются параболы у = 4с (х+ с ) 2 з (см. предыдущий пример). Следовательно, функция Иг =,/г (/1 = 1) отображлет заданную область на полосу М' = (И' Е С: 1 < !га И' < 2). С помощью отображения ю = -(ъ2+ Ц((И'-ь1) полоса М' перейдет в полосу М.
Окончательно имеем ю = — (ъ'2-1- 1)((ч/г 4 1). М 19. Найти образ области С = (г Е С: !юг > 1, ~4 < 2) при конформном отображении -=-( , '',)' м Область С вЂ” круговая луночка. Точки г, = -ъ'3+ г, г, = ъ'3+ ( — ее угловые точки. С помощью равенств ю,(г) = — 1, ю,(2() = ' * з устанавливаем, что функция ю, =;*=-**а отображает луночку С на внутренность угла я < агйю, < '-зя. Отображение ю = -ю', переводит точки внутренности угла в множество Р = (ю е с: !пз ю > О), являющееся образом области с. м йО. Найти отображение области (луночки) С = (г Е С: 1г( > 2, (г — з/2( < ъг2) на верхнюю полуплоскость.
~ Найдем точки пересечения окрухсностей Т, = (г Е С; ~г! = 2) и .Гз —— (х Е С: ~г — з/2( = ч/2); г, = ъ/2 — 1'/2 гз = ./2+ з /2. 1л. 3. Элементарные фуизщии в комплексной плоскости 94 Функция е — а, (ъ22 — 1) (-1 + 2) го, =, го,(2) =, ш,(2ъ'2) = з 22 2 — ъ'2 отобрюкает луночку 6 на внутренность угла —, < ага ш, < — ',, а функция ш = шв отображает внутренность угла на верхнюю полуплоскость Р = (ш Е С: 1щ ш > О). Следовательно, искомое отобрюкение имеет вид х — ъ22(1 — г) ( ш= ) х — ъ22(1 4 з) ) 21. Конформззо отобразить плоскость с разрезом вдоль промежутков ( — сс, — -'], Ц, тоз) на круг К = (ш Е С: [ш[ < 1) так, чтобы 0 О. М Искомое отображение находим посредством следующей цепочки отображений: *в аз ш(гз) = е* —, ш(з) = О.
аз -1-з аз+1 гз(х) = 2е, е,(2,) = г,— 1' гз(гг) = ъ хг, гз(- 1) = з, Окончательно имеем в1 — и) — 4а ш=е 2о вШ2 З В ш =е' = е' шг-Ьз ох+1+1 23. Найти образ области 0 = (г Е С: [г[ < 1, зъе г > О, 1гп г > О) при отображении 1 ъ'Г+ т' ~/1-,'- аг = 1. :=о М Отрезок [О, 1) отображается функцией ш в отрезок —, 1~, а отрезок [О, 2[ — в луч (ер з [1, тсо).
Дуга з = еп (О < 1 < -", ) перейдет в кривую ш = — '.-.,—,-, или ш = и ~-зо = — ",==-- ""-. Исключив параметр (, получим, что дуга окружности переходит в часть гиперболы и -о = -,, и > О, о < О, В соответствии с правилом обхода, искомым образом является область Р = ((и, о) Е ж': и'+ о > -', о < 0) . м 53. Показательная функция ю = е' и многозначная функция л = Ьп ы. 3.1. Показательная функция ш = е'.
Показательную фуолцию л ьв е*, 2 б С определим соотношением ш = и + го = е* = е'+з" = е (соху+ г Нп у). для действительных х = л это определение совпалает с обычным. Чтобы установить этот факт, полагаем в формуле (1) у = О. 22. Найти конформное отображение плоскости с разрезом вдоль интервала ( — оо, — 1) на круг К = [ш Е С: [ш[ < 1), при котором = 0 ~ ш = О. м При отображении ш, = ъгг + 1, шз(0) = 1, заданная область переходит в правую полуплоскость Р = (шз Е С: не газ > 0). При отображении шг — — зшз = вчем+ 1 правая полуплоскость Р переходит в верхнюю полуплоскость Р' = (шг Е С:!зп юг > 0), шг(0) = з.
С помощью формулы (4), п.1.3, при а = г окончательно получаем: $ 3. Показательная функция ш = е' и миогозиачиая функция л = Ья ш. 95 Функция ш = е* аналитическая тх Е С. Действительно, ди дс ди дс — = — = е* сову, — — = — = е з!п у, (2) дх ду ' ду дх т.е. чз Е С функции и и с удовлетворяют уравнениям Коши — Римана. Дифференцируя функцию ю, че Е С имеем ди дс — е' = — -1- г — = е сову + ге яп у = е'. Ве д д Для функции з г е сохраняется теорема сложения е 'е*' = е" ".
(3) (4) Действительно, пусть зг = х, + !уп хг — — х, Е !уг. Тогда е'ем = е '(соху, + (япу )его(сову,4 гз!пу ) = е ' '(соз(у, + уз) 4(яп(у, +уз)) = е' Функция ш = е' периодическая с чисто мнимым основным периодом 2я!. Действительно, пусть е*""' = е', ю = а 4 ЕЬ Ум!гожим обе части зтого равенства на е *. Получим е = е созД+ж 5!и)) = 1 или е" соз)) = 1, е" яп)5 = О. Отсюда находим: а = О, )3 = 2тя, ш = 2тя(, т. е. 2яг' — основной период функции ш.
Функция в определена в С и не имеет предела при з со, так как йщ е'=ос, 1пп е =О. :=*>и <а Показательная функция не принимает в С нулевого значения, т.е. начало координат не приналлежит образу плоскости С при отображении з ~-~ е'.
Чтобы доказать зто, полагаем в формуле (4) г, = г, з, = — з. Тогда е'е =1, или е ' = — ',. Отсюда и следует утверждение, так как если бы в какой-нибудь точке показательная функция обратилась бы в нуль, то в точке -з она не бьща бы определена, что противоречит ее определению. Покюхем, что любая другая точка плоскости ю (т. е. ю Ф 0) принадлежит образу плоскости С при отображении (1).
Пусть ш — пронзволыгая точка плоскости С, отличная от нуля и бесконечности. Найдем по ш такое з, что е' = в. Имеем !в( = е ш х = !п(ш(, у Е Агав. Следовательно г = х+гу =!п!в)+гу =!п)ш~+!(агйш Е2ял), Ь Е б. (5) Замечаем, что существует бесконечное множество прообразов точки ю е С л ш м О. Все они лежат на прямой, параллельной оси Оу, на расс~оянии 2я один от другого. Таким образом, ш = е': С С)(0). Это отображение однозначное, но не взаимно однозначное, поскольку каждая точка в Е С)(0) имеет бесконечное множество прообразов, Любая область, не содержащая двух разных точек, в которых действительнме части совпадают, а мнимые отличаются на 2йя, Ь Е У„будет областью однолиспюсти показательной функции з ~-~ е*.
Так, областью ее однолистности будет полоса М = (г Е С: Ь < 1шх < Ь+ 2я). Ее обраюм будет вся плоскость в с выброшенным лучом, выходящим из начала координат под углом Ь. Пусть в = ре'е. Тогда из равенства ре*е = е*ег" имеем р = е*, В = у, т.е. прямые у = сопя! функция ш = е' переводит в лучи, а отрезки ч = ((х, у) Е )(с': х = сопзг, Ь < у < Ь+ 2я) — в окружности с выброшенной точкой, лежащей на луче В = Ь.
Кюкдая горизонтальная полоса шириной 2я Мь —— [х Е С: 2йя < 1шх < 2(й+ 1)з), й Е е., отображается показательной функцией на множеспю бя = ((р, (е) Е К: 0 < р < +со, 2йя < В < 2(й+ 1)я), т.е. на плоскость в с РазРезом по положительной действительной полуоси. Гл.
3. Элемевтарнме функция в комплексной ияоскоетн 3.2. Миогозвачияя функция я = (лз тн. Разобьем всю плоскость х на области однолистности функции ю = е', например, прямыми у = 2Ля, Л 6 Е. Для каждой из этих областей возьмем свой экземпляр плоскости ю, являющийся ее образом при отображении н нн е*. Чтобы сохранить взаимно однозначное отображение области вместе с границей, каждую из этих плоскостей разрезаем вдоль положительной действительной полуоси. Подкладывая эти листы друг под друга и склеивая их надлежащим образом (например, нижний берег разреза каждого листа с верхним берегом разреза находяшегося под ним листа), построим поверхность Римана многозначной функции з = (.и ю, являюшейся обратной к показательной ю = е*.
Согласно (1), п. 3.1, имеем Еию = 1и(ю)+ 1(ага ю ч- 2йн), Л Е Е. (1) Дая функции ю н-~!и ю точки 0 и оо являются точками разветвления бесконечного порядка. В любой односвязной области Р*, не содержашей точек 0 и оо, можно построить счетное множество однозначных функций, по отношению к которым функция з ~-~ е* будет обратной. Эти функции назовем однозначными ветвями функции х = Вп ю. Для того чтобы выделить в Р' одну какую- нибУдь ветвь, фиксиРУем точкУ юь и задаем Ве б Ага юь. ПРи этом считаем, что пРи непРеРывном изменении ю в Р" В б Ага ю изменяется непрерывно. Тогда, принимая во внимание, по 0 (2 Р и со к Р*, для каждой точки ю Е Р' В Е Агбю будет опрелелен однозначно и мы получим в Р' однозначную функцию з = 1и )ю ( + (В.
(2) Изменив значения Вь на Ве+ 2я (Вь — 2я), получим с помошью предыдуших рассуждений вторую ветвь и т.д. Ветвь функвми х = Еию, для которой В = агйю, называется ее главной ветвью. Рассмотрим примеры. 24. Доказать, что функция ю =- е' отображает полосу М = (з Е С '. 0 < 1ше < —,) на первый квадрант ю-плоскости. М Сторона у = 0 полосы М переходит в положительную часть действительной оси; 1ю! = е а1йю = О, -оо < х < +со. Сторона у = — переходит в положительную часть мнимой оси: ~ю( = е", агйю = "—,, — со < я < +оо. Используя правило обхода, получаем первый квадрант ю-плоскости. ю 25. Отобразить плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси на полосу М = (ю Е С: 0 < (ш ю < !) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
