А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В частности, лучу ага з = 0 соответствует луч р, = (ш Е С: Ке в > 1, 1гп в = 0). Действительно, ) при а = 0 из (2) получаем, что с = О, и = — ~'" > ~/ — „= 1. Аналогично устанавливаем, что лучу ага з = я соответствует луч р„= (ш б С: Ке ш < -1, 1т ш = О), а лучам атй = ш —, — ось Ке ш = О. ш 87, Пользуясь функцией Жуковского, отобразитгс 1) внешность отрезка ( — с, с] (с > 0) на внешность единичного круга при условии, что ш(оо) = со, агав (|ю) = а; 2 7 2) внешность эллипса — + — = ! на внешность единичного круга так, чтобы ш(оэ) = со, оз 02 агав'(со) = 0; к у 3) верхнюю полуплоскость с выкинутым полуэллипсом — + — < 1, у > О, на верхнюю з 02 полуплоскость. М 1) Полагаем ш, = =,.
При этом отрезок ( — с, с( перейдет в отрезок ( — 1, Ц. Теперь применим к функции ш, отображение, обратное функции Жуковского: шз™!+Ъ'в! 1. I 2 Дифференцируя функцию шм находим: айвз ш~ — =1+ дш, /Т Гл. 3. Элементарные функции в комплексно» плоскости 134 Таким образом, е (+ /г 2) — искомое отобрагкение. 2) Проведем преобразование подобия точек так, чтобы фокусами эллипса были точки (-1, 0) и (1, 0): 2/а' — Ьт Определим радиус г окружности, в которую функция Жуковского преобразует данный эллипс и Ю 2+ (~/ 2-ь2) (,„Г 2-ь2) Обозначим а = " .
Тогда находим г из уравнения а = -, (г+ р) или г — 2аг+! = О, откуда /2-ь' ' г = а+ 2/а' — 1 (берем перед радикалом знак "+", поскольку должно быть г > 1). Имеем а Ь' а+Ь 2/аг — Ьг Ч аг — Ь' 2/аг — Ь' яг 2/аг — Ьг à — +, — 1 = — 1' + '-(а -Ьг)). а+Ь ~ 2/аг — Ьг а' — Ь' /~ аЬЬ 2 3) Воспользуемся решением предыдущей задачи. Отобразим данную область на верхнюю полуплоскосп, с выброшенным единичным полукругом: ! м2 = — (з+ гг — (аг — Ьг)). а+Ь Теперь связь между функциями п22 и и устанавливается функцией Жуковского 2', ° Р:2 '-2'2 /;Г 2,,: — 2 2 2( — ' -'2'-2'2)) 2 ~ а2 — Ьг ..
- 2,Л: 2 ' - 2'2 а' — Ьг а 4Ь 88. Отобразить двусвязную область, ограниченную софокусными эллипсами г х р, а у — + — =1, — + =! (а>Ь), Ьг 2 аг+Ьг Ьг+Ьг на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат и найти модуль данной двусвязной области (каждая двусвязная область, границы которой не вырождаются в точки, может быть конформно отобрахсена на концентрическое кольцо с вполне определенным отношением р радиусов внешней и внугреинсй ОКРУжностей. Число р называется модулем двусвязной обдасти).
< Преобразование подобия я22 = —,-* —; преобразует заданный эллипс в эллипс с фокусами 2/ '-ьг в точках а! и осями а = =$, Ь = — ~А -Ь ' ьг -Ы' Теперь с помощью функции, обратной функции Жуковского, отображаем эллиптическое кольцо на круговое: 2/ат ь2 Далее применяем функцию, обратную функции Жуковского, полагая мг = мг + Х/вг2 — 1. Тогда искомая функция и определяется равенством 135 б 6. Тригонометрические и пзиерболические фуивцив Если совершить преобразование поворота и подобия, то снова получим концентрическое кольцо.
Таким образом, в обшем случае искомое отобрюкение ш имеет вил [ ° ( ' †( ' — г1), 5 »вЂ” Модуль области равен отношению радиусов окружностей концентрического кольца. В плоскости ш( большими полуосями э(шипсов являются а )газ+ йз 1/ а( —— , аз = 5(( 2, т.к. а = — [ Г+ — ), Г =Ь~ЗУа' — 1. что( — Ь'' т' о2 — Ь'' ' 2 ( г) ' Следовательно, 1'1 ~,,2 51 2( т-'зт ах 6 а — Ь 2 ,[ т + 62 ь(Ь2 + Ьт Г2 / 1121 Г 1 21 5/Е2 Ч. ЬТ.Ь 51ГЬ2 1. 112' '1(' т-ьт * "1(' т-зт 89. Найти область, на которую функция Жуковского отобрюкает круг К = (» б С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1[ (-1 < а <!).
Рассмотреть случаи о > О и е < О. М Пусть а > О. Поскольку функция Жуковского отображает единичный круг на всю плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, 1), в который переходит граница круга, то она отображает заданную область иа всю плоскость ш с разрезом по отрезку [-1, —, (а 6 — ) ) . 1( 11 Пусть а < О. Функция Жуковского ш = —,' (»+ -') переводит точку о в —,' (о + — ') < — 1, точку — 1 в -1. Пусть» = х. При х -+ -О 1 (х+ -) — со, а при х +Π— (х+ -) — +со. Таким 1) образом, а рассматриваемом случае функция 1Куковского отображает заданную область на всю (глоскость ш с разрезами по лучам (-со, [ (а+ -)) и [ — 1, +со). ш 90. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг К = (» Е С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку Ц, 1). и Функция жуковского ш, = —,' (» 6 —.) отображает заданную область на всю плоскость ш( с разрезом по отрезку [-1, 1) .
Получили задачу 79, в которой», = ш, = — 1, »2 — — ш, 51 (П (21 5 Следовательно, искомое отобрюкение — функция 91. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг Ь = (» Е С: [»[ < 1) с разрезами по радиусу [-1, О[ и отрезку [а, 1[ (О < а < 1). М Функция Жуковского ш, = —, (»+ Т) отображает заланное множество на всю плоскость 1 2 ш, с разрезом получу (-оо,; (а+ —,)). Действительно, —,' (а+ -) > /а -' = 1, » = х — -со при *- — О, а окружность 7 = [» Е С: [»[ = 1) переходит в разрез по отрезку [-1, 1[. В итоге получаем плоскость с разрезом по лучу 7 = (-со, - (о+ -)). Функция шз = ш( 1 (е+ ) 1( 11 отображает плоскость ш, с разрезом по лучу у' на всю плоскость (и, с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси.
Функция шз — — -ш, Отображает плоскость шз С раЗреэом вдоЛь отрицательной действительной полуоси на всю плоскость ш, с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. Следовательно, требуемая функция— Гл, 3. Элемевтарпые фупкщвп в комолекспой плоскости 13б 92. Отобразить на верхнюю полуплоскос]ь верхнюю половину круга К = (з б С: [з[ < 1[ с разрезом по отрезку (О, !а[ 10 < а < ! !. м Функция ш, .= з' отображает заданное множество на единичный круг с разрезом вдоль отрезка [-а], 1[.
Функция Жуковского ]л] = -, (]и, + — ) отображает этот круг с разрезом на !г' ]\ всю плоскость ш] с разрезами вдоль лучей (-со, — -] (а] + т) ) и [О, +со!, а функция ш, + -,' (а' о --'т ) И]] ]я] о~обряжает эту плоскость с двумя разрезами на всю плоскость с разрезом вдоль положительной лсйствительной полуоси. Следовательно, ]и = гш] — искомое отобркжение. Таким образом, 93. Отобразить на верхнюю лолуллоскость верхнюю половину круга К = (х Е С: [г[ < ! [ с разрезом по отрезку [а], ][ 10 < а < 1).
м Функция ш] — — з отображает заданное множество на единичный круг с разрезами по отрезкам [-1, — а'[ и [О, ![. Функция Жуковского ш] = -' (ш] + — ') отображает этот круг с двумя разрезами на всю плоскость в, с разрезом вдоль луча [-1 (а'+ ]г), +оо) Функция 1!г ] ш]- — ш,+ — а +— а]) отображает плоскость ш] с указанным разрезом на всю плоскость в]с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. Следовательно, — требуемое отображение. м 94. Отобразить круг К = (з Е С .
[з[ < 1) с выкинутым отрезком [(1 — Л)е', е' ) на единичный круг плоскости ш. Функция ш, = —,*„отобрюкает эаланную область на единичный круг с разрезом ио отрезку [(1 — Л)е', е' [, а функция ш] = -, (ш] + — ') отображает этот круг на всю плоскость в, с разрезом по отрезку [-1, Л,[, где й, = (1- й+ —,'„) = н]„~'„ь~. Длина этого и-л1]ь] ]]-лр отрезка равна ]н„, + 1 = — „, „,. Возьмем половину длины этого отрезка и рассмотрим чи- а ь]] л' сло Л, — „,] —— „, ь,.
Осушествим преобразование переноса так, чтобы разрез [-1, Л][ стал симметричным относительно начала координат, полагая Л' в] = ]6]— 4(1 — й) Функция ш] отображает плоскость ш, с разрезом по отрезку [-1, Л,[ на всю плоскость ш] с разрезом ло отрезку (-,-[] ь]-„14-,] ь[-~ . Рассмотрим в плоскости ]и единичный круг К] = (ш б С: [ш[ < 1[, на который отображается круг К.
Функция и = -' (ш+ -') отображает круг К, на всю плоскость и с разрезом по отрезку [-1, 1[. Полагая 137 бб. Тригонометрические и гиперболические функции и подставив в это равенство получим после сокращения на — ,: 2 1+ ю+ — = — +— 95. Отобразить на внешность единичного круга: 1) всю плоскость с разрезами по отрезкам ]-1, 1] и ]-1, (] (внешность креста); 2) всю плоскость с разрезами до лучам (-гю, — 1], ]1, +ж), ( — гж, — 1], ]1, ч.(со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
