А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 41
Текст из файла (страница 41)
29. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность угла 0 < агдз < я)3, где 0 <,3 < 2, с разрезом по луге окружности 7 = (х Е С: [х[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е' , где 0 < а < (3. 30. Отобразить на верхнюю полуплоскосзь внешность единичного верхнего полукруга с разрезом по отрезку [О, -1) (внешность лопатки). 31. Найти преобразование полярной сетки с помощью функций: 1) м = - [г — -); 2) м = -,' [ х -~- — ') (а > О); 3) м = 1' (л Ч- '— ), с = [с[е*т (О < 7 < к). 32.
Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезку [-а, — 1) и лучу [1, Чсо), где а > 1. ЗЗ. Круг К = [л Е С: [з[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1), 0 < а < 1, отобразить на круг К' = (м Е С; [м[ < !) так, чтобы м(0) = О, в'(О) > О. Найти м'(О) и длину дуги, соответствующей разрезу. При каком значении а разрез перейдет в полуокружность? 34. Круг К = (з Е С: [з[ < 1) с разрезами по отрезкам [а, 1), [ — 1, — Ь! (О < а < 1, 0 < Ь < 1) отобразить на круг К' = [м Е С: [м[ < 1) так, чтобы в(0) = О, м'(О) > О, Определить и'(О) и длины дуг, соответствующих разрезам.
35. Отобразить внешность единичного круга С = (х Е С: [з[ > 1) на м-плоскость с разрезом по дуге агд Я = () (О < [()[ < л) так, чтобы м(оо) = оо, агд м (со) = а. 36. Выяснить, во что преобразуются при отображении м = е*: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) прямые у = )ел+ Ь; 3) полоса а < у < (3 (О < а < () < 2л); 4) полоса между прямыми у = х, у =х+ 2к; 5) полуполоса х < О, 0 < у < а < 2к; 6) полуполоса х > О, 0 < у < а < 2л; 7) прямоугольник (а, 11) х (7, Ь) (б — 7 < 2а). 37. Выяснить, во что преобразуются при отображении м = 1и г: 1) полярная сетка [г[ = )2, аглл = Р; 2) логарифмические спирали г = Аеьг (А > 0); 3) угол 0 < агд з < а < 2я; 4) сектор Я = (з Е С: [з[ < 1, 0 < агд х < а < 2к); 5) кольцо К = [з Е С: г, < [з[ < гз) с разрезом по отрезкУ [гп гз).
Зй. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = агсз!и з: 1) верхняя полуплоскость; 2) гшоскость с разрезом по действительной оси вдоль лучей (-оо, -1), [1, +со); 3) первый квадрант; 4) полуплоскость Р = (з Е С: Вез < О) с разрезом по действительной оси вдоль луча (-со, -1). 39. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = 16 з: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса Р = (з Е С: 0 < Вез < я, 1ш з > 0); 3) полоса С = (а Е С: О.
< Вез < я); !48 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 4) полоса 2) = (» б С: О < Ке» < 4 ); 5) полоса 2У = (» Е С: — 4 < Ке» < —, ); 40. Выяснить, во что преобразуются при отображении аг = с!6% Ц полоса Р = (» Е С: 0 < 1гп» < 'г); 2) полуполоса Р' = (» Е С: Ке» > О, 0 < 1т» < з'). 41. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заключеннукг между софокусными параболами у' = 4(х+ 1), д = 8[х+ 2). 42.
Найти функцию аг = аг(»), отображаюшую область, ограниченную окружностью у = (» б С: ~»( = Ц и прямой, уравнение которой !т» = 1 (полуплоскость Р = (» Е С: (т» < Ц с выкинутым кругом); Ц на круг !з = (ег б С; (ег~ < Ц с нормировкой аг(-3() = =',+', аг8 ю'( — Зг) = —,. 2) на верхнюю полуплоскость с нормировкой х( — Зг) = 1+ г,агйаг'(-Зг) = л. 43. Отобразить на верхнюго полуплоскость гюлосу 6 = (» Е С; 0 < Ке» < Ц с разрезами вдоль отрезков (О < х < 6н у = 0) и (1 — 6, < х < 1, у = 0) (6, + 6, < 1).
44. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу 2) = (» Е С: 0 < Ке» < л, (гп» > О) с разрезами вдоль отрезка уг — — (» Е С: Ке» = —,, 0 < 1пг» < 6г ) и вдоль луча 7г = (» б С: Ке- = —,, лг ~ ((т= < +.о) (6г > 6,). 45. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями уг — (» Я С: (» — 1( = Ц, 7г = (» б С:!» + 1! = Ц с разрезом по лучу уг = (» Е С: 2 (~ Ке» < +со, 1гп» = О). 4б.
Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями у, = (» Е С Ц» — 1( = Ц, уг —— (» Е С Ц» — 2~ = 2) с разрезом вдоль отрезка уг = (» Е С: 2 < Ке» < а, 1гп» = 0) (а < 4). 47. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями 'уг = (» Е С: (» — 1( = Ц, 'уг = (» Е С: (» — 2~ = 2) с разрезами вдоль отрезков 7г=(»ЕС:2<Ке»<а, 1пг»=О) и 7» —— (»ЕС:Ь<Ке»<4, 1пг»=0) (а<Ь). 48. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную округкностями у, = (» Е С: ~» — Ц = Ц, уг — — (» Е С: 1» -Ь 1( = Ц с разрезом по отрезку 'уг = (» Е С: Ке» = О, -а < 1т» < )З) (а > О, гЗ > 0).
Глава 4 Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши Главное внимание в этой главе уделяется интегральной теореме Коши, одной из основных теорем всей теории анатитических функций. С ее помощью устанавливаются глобатьные свойства аиатитических функций. Вместо неопределенного интеграла рассматривается интеграт Ньютона — Лейбница, облалаюший многями достоинствами, Операция интегрирования в смысле Ньютона — Лейбница является обратной по отношению к операции дифференцирования.
4 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 1.1. Первообразная. Определение 1. Пуст~ У: С С и множесн~во Рг не имеет изолировонных точек. Функция Р: С С называется пер вообразной функции у, если Рн = Рг и )зг В Рг с ( ) = у( ) Пусть с" — первообразная функции у. Так как гг(г б РР С 6 С) (Р+С)'(г) = с'(г), то У+С также является первообразной функции У. Поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет. Исследуем характер неолнозначности первообразной.
Нам понадобятся понятие кусочно- гладкого пути (см. определение 6, и. 2.9, гл. 2) и неравенство Лагранжа (см. и. 4.7, гл. 2). Определение 2. Множество У С С называется линейно-связным, если дт любых точек г~ Е Я, гз Е Я существует кусочно-гладкий путь, соедиьтющий их и лежаьций в множестве о. Теорема 1. Пусть У С ь С и Рг — линейно-связное множество, содерзкащее более чем одну точку.
Если чг Е РГ У'(л) = О, то функция У постоянная. щ Пуси г, Е Рг, гз Е Рг. По определению линейно-связного множества существует кусочно-гладкий путгч соединяющий точки хн лз и лежащий в множестве Рг. Следовательно, найдется такая непрерывная функция [а, Ь[ - Рг, что )ь(а) = г,, ы(Ь) = г, и уз'(() существует всюду, кроме конечного множества точек. Занумеруем их в порядке возрастания Гь = а < 1, « ... Г„= Ь. Согласно неравенству Лагранжа, имеем [(Уь Р)(1„) — (У Р)((ь,)[<[[У' уг'[[(Гь-(ь,)=О (Ь=), .) Таким образом, (У о Зз)(вь) — У(л~) = (У ь уз)(1 ) У(лз), т Теорема 2. Пусть сг и сз — нервообразные функции У: С С, определенной на линейносвнзном мнонсестве, содержащем более одной точки. Тогда существуепз такая постоянная С Е С, что ьул Е РГ ез(л) = Р~(л)+С.
Ь 150 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. < Рассмотрим функцию Р = Ег - ры Так как тгх б Рт Е'(х) = Ет(х) — Е,'(х) = О, то„согласно теореме 1, функция Н постоянная. м Предлагаем читателю составить таблипу пераообразных основных элементарных функций. 1.2. Интеграл Ньютона — Лейбница. Определение. Пусть 1: С ч С и Рг — линейно-связ«ое множество„содержащее более одной точки. Функции ( называется интегрируе ной в смысле Ньютона — Лейбници, если оно имеет первообразную. При этом Уа б Рт Функция Е в (1) называется иитегролои Ньютона — Лейбница с фиксированныи нижним пределом интегрирования а и переменныи верхним пределом. Ее значение Е(Ь) называется определенным ь интегралом Ньютона — Лейбница и обозначается 1 1'(() йЬ, где Ь" — переменная интегрирования, от выбора которой величина интеграла не зависит, т.
е. Запись ) 1(х) дх не имеет смысла, поскольку буква х используется лля обозначения верхнего предела интегрирования. Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбница). Пусть ); С С, Рт — линейно-связное лгножество, содержащее более одной точки. Если функция ( интегрируемо в смысле Ньютона— ь Лейбница и Ф вЂ” ее первообразная, то ьх(а б Рт, Ь б Рт) интеграл ~,1'(Ь) дй существует, определен однозначно и справедлава формули Ньютона — Лейбница Т(~) йь" = Ф(ь) — Ф(а) = ФЯ/ (2) щ Полагаем рх б Рт Е(х) = Ф(х) — Ф(о). Тогда Е(а) = 0 Лтгх б Рт Е'( ) = Ф (х) = У(х).
Согласно определению, имеем ь И) б( т Е(Ь) = Ф(Ь) — Ф(а). Убедимся в том, цо интеграл определен однозначно. Пусть ,((()бС = ф(Ь), ф(а) = Олух б Рт ф (х) = 1(х). По теореме 2, п.1,1, существует постоянная С: Ух б Рт ф(х) = Р(х) + С. Полагая х = а, получим, по С = О. Следовательно, ф(Ь) = Р(Ь), т. е. интеграл определен однозначно. щ Ф 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 15! Теорема л. Пусть у ) С -) С и Рг — линеино-связное мпозкество, состоящее белее чем из одной точки Если функция У интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, то справедливы равенства: ь у(я) йг = — з~ у(х) йя ч(о б РР Ь б РГ), ь ь ь )'(я) йя = / г'(х) йл+ / г'(г) йз М(а б ВР Ь б ВР с б РГ), )(((О~() =П*) г(. яс ь ь,), < ь /')(О(() = -л ) ч(.
я„ь,). (3) (4) (5) (6) Ы Пусть Ф вЂ” первообразиая функции /, Согласно формуле Ньютона — Лейбница (2), имеем у(я) йз = Ф(Ь) — Ф(а) = -(Ф(а) — Ф(Ь)) = — / У(л)йя, ь ь ь гг(г) йе = Ф(Ь) — Ф(а) = Ф(Ь) — Ф(с) + Ф(с) — Ф(о) = / у(г) йг+ / у(г) йг, с ) )(()(() =(Ф() — ь\))'=Ф()=((*), < ь ) у(() й( = (Ф(Ь) — Ф[я))' = -Ф'(г) = -У(я). М Равенство (3) называется правилом перестановки пределов интегрирования, равенство (4)— аддитивностью интеграла относительно пределов интегрирования, формулы (5) и (6) — правилами дифференцировиния интеграла по верхнему и нижнему переменным пределам интегрирования. (Лг + рд)(л) бе = Л ~ г (я) йя + р / д(л) йя М(а б Я, Ь б Я). Н Пусть Р, Р— первообразиые функций У и д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
