А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Вычислить интеграл 1 = / х йп з Аг, Г = (7, )ър), 7 = (х б С: |4 = —, )ш х > О). г М Поскольку 1 б А(С), где 1'(х) = е йп х, то в любой односвязной области, содержашей кривую 7, функция 1 имеет первообразную Р(х) = -хсоз х+ йп х. Применив формулу Ньютона— Лейбница, получим: 1(х)ех = О (Ь = 1, пз — 1), Г» = (7», 'у» ).
м Необходимость. Пусть функция 1 имеет в области Р первообразную. Тогда Т(а) х=о, Г=(7,~,), г где у С Р вЂ” любая замкнутая кусочно-глаакая кривая. (2) Р 1=(-хсоз х+з!и х)) =2 Параметрическое представление кривой имеет вид )г = — е*~, -я < ( < О. Тогда а = —,е ' = — —, — начальная точка кривой Г, Ь= -;е" = —, — ее конечная точка, ° . 4.
Пусть функция 1 аналитическая в конечной ш-связной области Р, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими кривыми 7„1„..., 7 . Локазать, что для сушествования первообразной функции 1 в области Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства б 6. Ивтеграл тапа Коши Для данного 1 < а < пг — 1 выберем кусочно-гладкую замкнутую кривую Г так, чтобы функция 1 была аналитической в двусвязной области с положительно ориентированной границей Г гз Г» (или Г»з Г). Тогда по теореме Коши для неодносвязной области имеем 1(з)дг = О. Достаточность.
Равенство (2) для любой замкнутой ориентированной кривой Г = (7, 7.,), 7 С Р следует из равенств (1) и применения теоремы Коши шш односвязной или неодносвязной области. В. 5. Пусть 1 6 А(Р), Р = (г б С: ~1з~ < Л) и 1 непрерывна в замыкании Р. Вычислить интеграл 1 = 1(з) дк ду. свми м Применив теорему о среднем, получим и з 11» „з 1 = / рбр / 1(реге) др = 2яу(0) = лу(0)(Я вЂ” г ). о 2 ь ф 6.
Интеграл типа Коши В теории функций комплексного переменного значительное место занимает интеграл типа Коши, являющийся обобщением интеграла Коши. 6.1. Определение н основное свойство интеграла типа Коан. Интегралои типа Коши называют интеграл вида ~ ж)д( 2яз,г' ( — г ' г где Г = (7 7 р) — ориентированная гладкая или кусочно-гладкая кривая, 1 — непрерывная функция чг б 7. Если 7 — спрямляемая кривая, то требуем, чтобы 1 была суммируемой на 7 (кривая Г называется спрямляемой, если ее параметрическое представление Гз является функцией ограниченной вариации на отрезке Р = [а, Ь)).
В случае, когда путь .Г замкнут, а à — аналитическая функция в замкнутой области, ограниченной контуром .г, то интеграл типа Коши совпадает с интегралом Коши, т.е. Р(г) = У(з). Ф" ( ) = — ' у о( 1 1(ГЩ (и б Щ 2 (,/ (à — ) + ' г (2) (т, е, ик получают формоаьньгм дифференцированием под знаком интеграла (1)). Следовательно, интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.
Основное свойство интеграла типа Коши сформулируем в виде теоремы. Теорема. Интеграл типа Коши ичеет производную любого порядка в любой точке з Е С, не принадлезкащей кривой 7, и эти производные определяютса следующими равенопвами 176 Гл. 4, Интегрирование в комплексной плоскости. М Применим метод математической индукции.
Пусть з б С вЂ” произвольная точка и е К 7. Покажем, что Р'(з) существует и вычисляется по формуле (2) при и = 1. Рассмотрим выражение Р(+Д)-Р() ! 1 / ( — — У(() — — 4( = Дз 2ага Да,( ), à — з — Дз ( — з/ г .У(()Д 4( 1 / И>4С 2ла Дз / (( — л — Дз)(( — а) 2ага / (( — л)(( — з — Дз) Оценим модуль разности Р( +Д )-Р() 1 //(()4( Дз 2л» / (ь' — л)! !' /' ( 1 а~ Да /' 7'(() а(( — У(() ,~4( = — / 2ла' 7 ~(( — з~(С вЂ” а — дз) (( — г)! ! 2ла 7 (à — з)а(( — з — дз) Выберем /Д4 настолько малым, чтобы (а + Да) К 7. Очевидно, существуют такие числа ро > О и М > О, что апГ !( ! «> Ра Р(7, + Дз) = ап( /( — з — Да/ > ре )~(()( < М )а( б ге'! ге! Тогда ауе > О справедлива оценка Е(з+ Да) - Г(з) ! Г У(Г) М(Да~В а(( « е, Да г.а./ (Г- )' 2лр! г а,' если !Да) < мсз, где Ь вЂ” длина кРивой У. Таким обРазом, Р (а) = — / 1 / У(0 2ла / (( — а)' г Предположим, что утверждение справедливо для и = й и покюкем, что из этого предположения следует справедливость утверждения для и = й + 1, Имеем Р!"а( + Де) — Г!'а( ) й! / /' 1 Дз 2агаДз,/ ( (( — з — Дз)а ы (( — г)ьы / — / У(() ~ — 4( г )а! / (à — а) +' — (( — з — дз)вы = — /У(() 4(= 2агадз 7 (ь — л — да)"+'(( — з)! ы г (à — з)~~' — ~ (-1)аС~ь,а(à — з)ь+а 'Дзз й! /' !=а 2ладз 7 У(0 (( з Дз) ч (( — л) г ьа! Е( — 1)а+'С„ы(à — л)ь+! адгз ' Е(-1)аса+,'(à — а) здза й1 /' а=! )а! / ус — У(0, кГ = —, Ы) 2ла' у (à — з — дз)"+'(( — л)»ы 2аа,у (à — з)ьаа(( — е — Дл)ь+! Оценим выражение еб.
Интеграл типа Коши 177 Р!й'(гц-ГЗ ) — Р!й!(г) (а+1)! р Г(Г)б( Ьг 2кг / (б — г)й+' г (-1)2 С„+, (( — г) 2 Гйгз —. '1 т) 2ап' ( (б — г)" ю(( — г — ййг) й+! 1 а+1 ((- )"' бб 2.(-1)'С'„,",(( — )""-'Л ' — (а+1)(б — г — Ьг)"! 2!12 / У© (( г)ййг(( г дг)йй! г (Ь + П ((( — .)"" — (С - г — Ьг)"" ) + ~-(- 1) С',",',(( — .)"'- 21г — У(() 2лг / (( — г)й~г(б — г — ййг)й+! бб г йй! й (12+ 1) ~(-1)2+!Сю(( — г)й ю 221!г! + ~( — 1)2С'"!(( — 2)йы 2Дгз ! — У(() 2яг',/ (( — г)й+2(( — г — ййг)й+! бб г йХ ~бйг1М)У Е < ' = В)2л4 < г, ЕСЛИ !йй4 < —. 2яр2"" В а В полученном неравенстве )У вЂ” постоянная, зависящая лишь от й и р,.
Таким образом, формула (2) справедлива при и = й + 1, а значит и чи Е (ч. Ь Следствие. Аналитическая в области Р С С функцию 2 имеет производную любого норядка 7!"'(2) 2(г Е Р. М ПУсть га ŠР— любаЯ точка. РассмотРим ее б-окРестность Кг = (г Е Р: 1г-га) < б) 4 Р. Согласно интегральной формуле Коши, имеем у(г) = —. / Т у(() 2лг / ( — г 'з кб Рассмотрим некоторые факпл, непосредственно следующие из свойства бесконечной дифференцируемости аналитической функции.
6.3. Гармоничность действительной и мнимой частей аиалитвческой Фуиавви. Восставовлевве аввдвтвчесиой фувицви по ее действительной (мнимой) части. Оирепелеиие. зтвамсды диффвренцируемоя функция и: мй -! Ж, Р = б, называется гармонической в области б, если она удовлетворяет в В дифференциальному уравнению Ланласа Поскольку интеграл Коши является истным случаем интеграла типа Коши, то функция у имеет производные всех порядков в точке г,. Поскольку г, б Р— произвольная точка, то 27(г Е Р, и Е Щ ЗУ!"!(г).
> Полученное следствие можно кратко записать в виде г Е А(Р) =о й((г Е Р, и Е Щ зз "!(2) Л 2'"'(г) б А(Р). Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 178 аги 8)и ази = — + — = О (1) ах' ау' в' е' Дифференциальный оператор го = е -т + — т называется операторам Лапласа. Пусть р = и+ ач, у б А(Р), Р С С вЂ” односвязная область. Из бесконечной днфферен- цируемости функции Р следует, по функции и и ч имеют в каждой точке области Р частные производные любых порядков.
Запишем условия Коши — Римана аи ая аи дч ах ау' ау а*' Продифференцируем первое равенство в (2) по х, второе — по у и сложим полученное, в'. в' приняв во внимание,что а,а = а„+„-. Имеем 8)и 8)и Ьи= — + — =О. дх' ду) Аналогично получаем равенство Ьч = О.
Следовательно, действительная часть и и мнимая часть ч аналитической в области Р функции У являются гармоническими функцнямн. Функцию ч принято называть гарманыческн са~рлзкеннай с функцией и. Пусть в односвязной области Р задана гармоническая функция и. Найдем сопряженную ей гармоническую функцию ч. Из условий (2) получаем: а а аи аи йч = — йх + — ду = — — йх + — йу, ах ау ад ах (2) откуда (,о) аи аи о(х, у) = / — — йх+ — йд+ С, ау ах С = сопя(, (хо уо) б Ра С б И.
(3) ( а оа) Подынтегральное вырюкение в этом криволинейном интеграле является полным дифференциалом, вследствие чего интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Таким образом, аналитическая функция Г в односвязной области Р определяется ее действительной частью с точностью до адаптивной постоянной )С по формуле (* ю аи аи У(з) =и(х, у)+а / — — йх-~- — йу-у?С. ау ах ( а уа) Формула (*,ч) Г а а У(я) = / — йх — — ауЕС+?ч(ха у) ау ах (5) ( о чо) восстанавливает аналитическую функцию у по ее мнимой части с точностью до произвольной адаптивной действительной постоянной С. 1 / У(Г) 1 / (Т()?еи)2?еи Т (Яо) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
