А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Согласно следствию 4 из теоремы 1, В = еоо. Если ! = +ос, то чг Ф го а„(г — го)" Ф 0(1). Согласно следствию 2 из теоремы 1, В = О. Пусть 0 < ! < +ос. По радикальному признаку Коши из равенства (4) следует, что чг Е Кг = 1г б С: (г — го( < —,' ) ряд (1) сходится абсолютно. Следовательно, К! С Кн и -,' < В. 1 ! Если (г — -о( ) -,', то из Равенства (4) полУчаем, что а„(г — го)",г о(1). Согласно следствию 3 из теоремы 1, —,' ) В. Таким образом, В = —,'.
М Если гГго Е г( (а„( ) 0 и существует !пп (-"-'-"-~ ), то, как известно из курса математического анализа, Ош "„/(а»( = !!щ ~ '"" ~. В этом случае радиус сходимости степенного ряда (1) мохгно найти по формуле а„ В= !пп а„», (5) Теорема 4 (вторая теорема Абеля). Если степенной ряд (1) с конечным радиусом скпдимости В ) 0 сходится в некоторой точке г, Е ул = ( Е С: (г — го( = В), то его сумма з(г) = 2,' а (г — го)" стремится к Т(г~) при подходе к точке г, вдоль радиуса [го, г,] »о а Не ограничиваа общности можем считать, что г, = (В, р,), чего можно достичь преобразованием т = ге' при некотором а Е Ж.
Тогда Чг Е [го, г,] г = (х, уо), хо < х < В, го = (х — хо 0) (г — го( = (х — хо] и Ъг Е (го г,] У(г) = ~~ а„(х — хо)" = ~~~ а В" ( ] (6) »о »о По условию теоремы числовой ряд 2 а„В" сходится, что равносильно его равномерной сходимости. Последовательность ([-*л*г) ) монотонно возрастает на отрезке [хо, В] и ограниченнаа, так как чх Е [хо, В) [--Р] = -'=и-г < 1, По пРизнакУ АбелЯ (см. теоРемУ 4, и.
1.4) ряд 2, а»(г — го) сходится равномерно на отрезке [го, г~], в силу чего его сумма ! является непрерывной функцией на этом отрезке (см. теорему 1, и. 1.5 и следствие из нее). Поэтому !'(гг) = !нп Т(г). т о*о о!о* Теорема и следствия из нее не содержат никакой информации о свойствах степенного ряда на окружности 7я = (г Е С: (г — го( = В). В силу формул Эйлера рял (1) на окружности 7л превращается в тригонометрический ряд. Вопрос о поведении степенного ряда на границе круга схолимости Кя требует в каждом конкретном случае специальных исследований. Может случиться, что в некоторых точках г Е гл ряд сходится, а в некоторых — расходится.
Существуют также степенные ряды, сходящиеся или расходящиеся в каждой точке г Е уя Теорема 2 (первая теорема Абеля). Пусть числовой ряд 208 Гл, 5. Ряды аиалитичесявх фувквий. Изолироваявые особые точки Немешпой математик А. Приигсхейм (1850 †19) доказал, что при выполнении условий теоремы сумма ряда У иепрерывиа в точке з, вдоль любой жордаиовой кривой г, лежащей внутри какого-либо угла раствора, меиьшего я, с вершиной в точке з, и с биссектрисой, совпадаюшей с радиусом (зо, зо). При исследовании некоторых проблем с применением степеииых рядов иад ними производят арифметические операции, в том числе операцию умиожеиия степенных рядов.
В курсе алгебры произведением мноючвенвв Р(г) = ~~о аьз, ог(з) = ~ Ь х" ь=о ,=о называется миогочлеи В(з) = ~~~ с,з", (7) =о где с„= ~ азЬ„, (и = О, и+ оп). а=о Это определение согласуется с правилом умножения конечных сумм в том смысле, что огз б С Р(з)О'„О(х) = К(х). Сформулируем правило умножения степенных рядов, обращаясь с ними, как с миогочлеиами. Определеиие 2. ))роизведением отененная рядов ао + ~~о а (з — зо)", Ьо + ~~о Ь (з — зо)" (8) називввтсв степенной ряд + ~~', с (х зо) (9) где с„= ~ а,Ь о )Гп б Бо. ,=о Полагая в рядах (8) и (9) в — зо = 1, получим правило Коши умиожения числовых рядов. Пусть Кл, и Кл, — соответственно круги сходимости рялов (8), а их произведение (9) имеет радиус схолимости В.
Тогда В > ш)п(Ко, Кг) и оуз б Кл, го Кл, .*-Е.Г-(~.*-* ")(~. ° -*»") ЕЕха Еаа Еяа Так как каждый степенной ряд ) а„(х — ш) с ненулевым радиусом сходимости абсолютно сходится в круге сходимости, то любая его перестановка имеет ту же сумму, что и сам рял. Этот факт отмечается записью ~, а„(х — зо)". Ето По первой теореме Абеля степенной ряд ~ а„(з -з,)" сходится равномерно в любом замкнутом круге К„= (х б С: 1х -зо! < г) С Кл.
Поскольку любое компактное подмиожество К круга сходимости Кл прииадлежит ему, то дня степенного ряда в круге сходимости выполняются все условия теоремы Вейерштрасса (теорема 3, п. 1.5). Следовательно, в круге сходимости Кл сумма степенного ряда У(з) = ~, а„(з — хо)" является аналитической функцией, ряд можно почлеиево ио диффереицировать сколько угодно раз и при этом сгепеииые ряды, получаемые в результате дифференцирования, имеют тот же радиус сходимости Л.
1.7. Теорема Тейлора. В предыдущем пункте было показало, что сумма стеленного ряда является аиалитической функцией в круге сходимости. Вполне естественно поставить вопрос о возмевкиости разложения в степенной рял аиалитической функции. Ответ иа него содерхгится в следуюшем угверлсдеиии. $1.
Ряд Тейлора 209 Теорема (Тейлора). Аналитическую в области 2) функцию г можно в окрестности каждой точки зо Е 22 лредставить суммой стеленною ряда у(г) = ~~ь а„(г — го), =о радиус схадимоани которого не мгггьше расстояния д от точки зо до границы области )2. ц Рассмотрим круг К„= (з Е С: ~з — зо~ < г), г < д, К„Се Р.
По интегральной формуле Коши ч(г Е К„имеем ) 1 ~ У(()д(' 1 ~Г У(() К 2я( / ( — г 2я( ( . )1'1 ак. Для каждой фиксированной точки г Е К„выпшгняется неравенство з — го !г го! = — =9<1 (' — зо г если ( Е дК,. Поэтому выражение,, можно рассматривать как сумму геометрической 1 г-=о прогрессии: (2) Ряд 2 ~Яо) равномерно сходится на дК„, поэтому его можно почленно интегрировать.
Принимая во внимание (1) и (2), получим г(з) = ~~' (г — го) —, / .1 Г У©К 2к( / (('-зо)- =о вк,. Таким образом, (4) где им ~'"'(") 2лг / ((' — го)"+' вй (5) вк. У(з) д на (з зо) ) =о вследанвие чего его коэффициенты онределены однозначно и вычисляются ло формуле уоо(го) а„= — (в Е Рб. и! Поскольку ряд 2 (-*--;-а) для каждой фиксированной точки г Е К, сходится равномерно относительно (' Е дК„, а коэффициенты а„одни и те же для всех г, где 0 < г < И, то радиус сходимости 22 степенного ряда ~ а„(г — го) не меньше чем д. Действительно, предположив, что 22 < д, получим противоречие с определением рааиуса схолимосги этого ряда, так как в качестве г можно взять число, большее 22.
м Ряд 2; а„(з — зо)", коэффициенты которого вычисляются по формуле (5), называется рядом Тейлора функции Х. Следствие 1. Кагкдый сходящийся стеленной ряд 2 , 'а„(г — зо)" являетсн рядом Тейлора своей суммы 211 в1. Р дТейлора где г( — расстояние от точки»ь до границы области Р, т. е. г( = !п( р(»ь, »). В силу этого имеем чадо а'„(»„— »ь)" = ) а'„'(»„— »ь)". Е '- --.
=ь =ь Переходя к пределу при и со, получим, что а,' = а,". Таким образом, справедливо равенство Е'-- а'„(»„— »,)" ' = ~~! а'„'(»„— »ь) =! =! При и — оо получим, что а', = а",. Продолжая эти операции предельного перехода, убеждаемся в том, что хгп Е И а'„= а'„' (применив метод математической индукции).
Следовательно, ч» Е Кр У!(») = Уг(») Пусть» б Р— любая точка. Рассмотрим жорданову кривую у С Р, соединяющую точки»ь и»'. Пусть рь > Π— расстояние от кривой у до кривой ОР, т. е. рь = ш!" р(», (). Очевидно, *чт, сввп что р, < р. Пусть р, < р, — некоторое полохгительное число. Разделим кривую у на дуги точками»ь, »!, ..., »„,, »„= »* так, чтобы !»ь — »ь г! = р,. Рассмотрим круги Крь! — — (» б С: !» — »ь! < рь) (й = О, и — 1). Очевидно, что Кр~ "г! Кргьч ~яг и центр круга Кргр! принадлежит кругу К,'„'!.
В круге К~в,~ У, = У,. 11ентр», круга К,",,! является предельной точкой множества, на котором У! = Уг, и, таким образом, повторяя предыдущие рассужления, получим, что У! —— У! вК,. Продолжая этот процесс, после конечного числа шагов постигнем круга К!",', т.е. Ч» б К,'",' Уг(») = Уг(») и, в чаем!ости, У, (»*) = Уз(»" ). ПосколькУ»* б Р— пРоизвольнаЯ точка, то ж» Е Р У!(») = Ут(»). Ь Опртгелевие.
Пусть А б С вЂ” нроизнольнвв конечное числа, У вЂ” аналитическая в некоторой области Р функция. А точками функции У называются корни уравнения У(») = А. Из теоремы единственности следует, что в случае, когда У(») й А, множество А-точек не может иметь ни одной предельной точки, принадлежащей области Р, поскольку допустив противное, получили бы, что У(») ы А.
Отсюда, в частности, следует, что любой компакт К С Р может содержать лишь конечное число А-точек для фиксированного А. Действительно, предположив, что К содержит бесконечное множество А-точек, получим, что это множество имеет предельную точку, принадлежащую К. Пусть», — какая-нибудь А-точка функции У, т.е.
У(»,) = А. В окрестности гочки»ь имеем " У'"'( ) У(») = А Ч. ~~' , (» — »ь) =! У! 1(» ) У(») — А = ~~! , (» — »ь)". (!) »=! Если У(») ~ А, то среди коэффициентов правой части равенства (1) найдугся отличные от нуля. Пусть (» — »ь)" — младшая степень» — »ь, коэффициент при которой отличен от нуля. Тогда равенство (1) принимает вид У(») — А = (» — »ь) ~~' . (» — »ь) У" '(»ь) (2) г! у=ь где У!и!(»ь) Ф О.
Число й 6 М называется порядком или кратностью А -точки»ь. В случае, когда й = 1, А-точка называется лростой, в случае, когда й > 1, — кратной. ПРостаЯ точка хаРактеРизУетсл тем, что ллн нее У(»ь) = А и У'(»ь) Ф О. КРатнал А-точка порядка й > 2 характеризуется соотношениями У(»ь) = А, У (»ь) = О, ..., У' (»ь) = О, У ь'(»ь) ~ О. Гл. 5. Рады аналитических функций. Изолированные особые точки 212 Если А = О, то точка го называется нулем функиии У. Она называется нулем крашнпсгли и, если У(ко) = У'(го) = " = У|п '(зо) = О, Ум'(го) Ф О. В последнем случае разложение функции У в ряд Тейлора в окрестности точки г, имеет яид У(г) = ~~' аь(г — го), откуда (3) У(г) = (г о) Р(г), где .(г) ш'.).ау(а - го)' " (4) г= Из формул (3) и (4) следует, что аналитические функции обра|цаются в нуль как целые степени к — го, а из теоремы единственности получаем, что отличные от тождественного нуля аналитические функции не могут иметь нулей бесконечного порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
