А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Сумма ею п-остатка ь — 0 при п оо. Оценим ((г„— О(! = ((г„(!. Поскольку точка х„= ! — — приналлежнт интервалу (О, 1) ььп > 1 и ь„(х„) = (! — ь ) е ', то ((г„(! ь' 0 при п оо и ряд схолится неравномерно. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки и оценим ее. Получим !Йг) — б(гьН < ~~' Уь(х) + ~~', Уь(хь) + Ф,(х) — 8 .(гьН < ь= ы ь= ч! 2 ) Уь + !э *(х) э,(хь)1< — е-Ь !о,(х) а,(гь)1. 3 ь = .!- ! Поскольку члены ряда являются непрерывными функциями в точке г,, то и их конечная сумма 5„, непрерывна в этой точке.
Поэтому по заданному е > О найдется такое б > О, что из условия )! < б ггх 6 Кь выполняется неравенство !о„, (х) — Я„, (гь)! < -',. Объединяя полученные оценки, имеем: гге > О Вб > О такое, что )ь < б ~ 'чг 6 Кь !Я(г) — 6(гь)! < е, т.е. сумма Я равномерно сходящегося функпиона!!ьно!о ряда является непрерывной функцией в точке гь. М Следствие. Если члены ряда 2, У„непрерывны в области !л и ряд сходится равномерно в !л, то его сумма б является непрерывной функцией в этой области. Теорема 2 (о почленном интегрировании равномерно сходящегося функциои ал он ого ряда) .
Пусть члены ряда 2, („ являются непрерывными функциями в области б С С, у С 6 — гладкая или кусочно-гладкая жордояово крива» и ряд сходится равномерно в О. Тогда его можно интегрировать почленно вдоль кривой Г = (т, Эьр) и при этом !<|о-г=)гг„(!!. г "=' г м Поскольку и — остаток равномерно сходящегося ряда равномерно сходится к нулю, то !уе > О Бп, 6 (!(: (гп > и, !!г„(! = !!Я вЂ” о„!! < е. По теореме 1 сумма ряда Я является непрерывной функцией в каждой точке кривой у, поэтому интеграл ~ 6(г) дх существует. Из оценки г се!.!-!.!*!се )г!е!.!-!.!.г!ь!л )г!!.!!!! ! где 1 — длина кривой у, следует, что Я(г)дг — ~Я„(х)дх = / Я(г)дг — ~ / Уь(х)дх О при и оэ! т.е.
г г г ь=! г справедлива формула (1), В Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть (Уь) — последовательность функций, аналолшческих в некоторой области Р С С и ряд ~ У равномерно сходится но любом компактном подмножеапве этой области. Тогда: 1) сумма ряда У аналитическая в Р; 2) ряд можно почленно дифференцировать в колодой точке области Р сколько угодно раз; 3) все продифференцировпнные ряды равномерно сходятся на любом компактном подмножестве области Р М 1) Пусть хь 6 Р— любая точка. Рассмотрим круг КГ т (х 6 С: !г — ль! < г) Са Р. Согласно условию теоремы ряд 2 , 'У„равномерно сходится в круге К„и по теореме 1 его сумма У являегся непрерывной функцией !ух 6 К,. Пусть дсе — положительно ориентированная граница треугольника С С К„. Поскольку рял 2 у„равномерно сходится на дб, то согласно теореме 2 его можно почленно юпегрировать: Т()д =~:/Т.()д.
во "='вс б 1. Ряд Тейлора 205 й! й! — — < ч-сю. 2я((з — г,)ьы 2ятью (2) Из равномерной сходимостн ряда,> У„ и условия (2) следует равномерная сходимость ряда й( ть У„(з) 2яо ~-~ (з — зо)ью Пусть У вЂ” равномерная сумма ряда 2 , 'У„. Так как ряд (3) можно гючленно интегрировать по кривой дК, и его сумма равна,о —,-~Я-;т, то У» .у-'~ У() 2т( У (т — зо)аю ~-~ 2ло / (о — зо)ью ак. ак„ (4) Принимая во внимание формулы для производных от интеграла Коши, имеем У (зо) = ~ У (зо).
ю (5) Поскольку зо б Р— произвольная точка, то формула (5) справедлива Хгз Е Р, 3) Пусть К вЂ” произвольное компактное подмножество области Р и зо Е К вЂ” любая точка. Выберем число Ы > 0 так, чтобы выполнялось включение Кы = (з Е С: ~з — зо) < 2г() С Р. Ряд У„сходится равномерно на окружности дКы = (з Е С: )х — зо~ = 2о(), т.е. ое > 0 Вп„б г'М: хг(п ) п„з б дКы) ~~' У (з) < о (6) (и-остаток ряда 2 , 'У„ равномерно сходится к нулю). Имеем Рз Е Км.
Е У-(() Л. У- ( ) = 2,1 У ((,), (. ак и Пусть з б Ка = (з б С:!з — зо~ < г() и 6 Е дКы. Сшеним и-остаток ряла 2 У'~'. Приняв во внимание, что ~( — з~ > д, а также неравенство (6), получим У(п ) п„б б дКы) оценку ,';У»< — ', гол й!4лг(е 2ййе 2то(ь г(ь ' (8) не зависяшую от з Е Ка. Следовательно, ряд 2, Уы' сходится равномерно в круге Ка, т. е. в некоторой окрестности точки яо. Поскольку любое компактное подмножеспю области Р согласно теореые Бореля — Лебега может быль покрыто конечным семейством окреспюстей, в каждой из которых по доказанному ряд 2; Угол сходится равномерно, то он сходится равномерно на таком множеспю.
м ч ~ яппх Пример. Показать, по ряд ~ — удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса в обла- 2- 3- сти Р = (я б С: ) (та а) < 1п 3) и найти У'(0). По теореме Коши )гп б 2( ~ У„(з) г(х = О, вследствие чего ( У(з) Ых = О. Функция У удовлеас ас творяет условиям теоремы Морера (см. п.6.3, гл. 2), поэтому является аналитической в круге К„. В силу произвольности К„С Р приходим к выводу, что У Е А(Р). 2) Пусть зо ŠР— произвольная точка и К. = (з Е С: 1а — зо) < г) С Р.
Для кюкдой точки з б дК, и й Е (4 выполняется условие Гл. 5. Ряды аналитических фуикиий. Изолированные особые точки Очевидно, что згп б м У„6 А(2)), где Т„(х) = — "",."'. принимая во внимание равенство ! йп г~р = йп х+ зЬ у, при 1у( < Е!и 3, О < д < 1, получаем оценку 1У„(х)! < 3 "+ 3 "О " из которой по мажорантному признаку Вейершграсса следует равномерная сходимость ряда 2,' У„ в области 2). Сумма ряда у является аналитической функцией в области )3 и по доказанной теореме его можно почленно дифференцировать, т.
е. ч ч~ пспзпа у(') =хь 3- и 3 У'(О) = ~~ Применим теперь теорему Вейерштрасса к рядам определенного вила. 1.6. Степенные ряды. Рял 2 у„, где у„(х) = а„(г — хо)", и б Бо, а„б С, а„= сопзц го б С, х б С, называешься степенным. Частичные суммы этого ряда являются гшгебраическими многочленами, и поэтому его сумму 2 а„(г — х,)" можно рассматривать как дальнейшее обобшение понятия много пена. =о Члены степенного ряда являются аналитическими функциями во всей плоскости С. При опрелеленни степенного ряда возникает вопрос, в какой области он сходится равномерно и, следовательно, по теореме Вейерштрасса определяет аналитическую функцию.
Каждый степенной ряд 2, а„(г — го)" облалает замечательным свойством: с ним связано число О < К < Еоо, называемое его радиусом гходимости. Зная это число, можно ответить на вопросы о поточечной, равномерной и нормальной сходимости, указать свойство его шенов (ограниченность, стремление к нулю). Наиболее простой задачей является наследование членов ряда а„(г — хо) Е- на ограниченность. Ее решение служит основой определения радиуса сходимости степенного ряда.
Определение 1. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называетсл число Л = шр(г > О ~ а„г" = О(1)). (2) Поскольку (г > О ~ а„г" = 0(1)) ~оз, то точная верхняя грань этого множества в Ж существует. Теорема К Пусть К > О и О < г < К. Тогда ряд (1) сходится нормально в круге К„= (х б С: ~г — о~ < г) ° м По определению точной верхней грани сушествует такое г,, что г < г1 Л а„г", = О(1).
Пусть тг(г б К„, и б 1М) 1„(г) = а (з — хо)". Тогда )( г„'11 = )а„)г" = )а„г,"1 — = 0 Так как О «„— ' 1, то по признаку сравнения числовых рядов ряд 2 1(Г„11 схоДится, что по определению озиачает ноРмальную сходимость ряда ) У, т. е. степенного ряда (1) в круге К,.
в Следствие 1. Пусть К > О. Тогда ряд (1) лотвчгчна сходится в круге Кя. Если 12 < +со, та ряд (1) расходится нотачгчно вне круга Кн, т. е. в твх точках х б С, для которых 1г — го( > К. Следствие 2. Пусть К > О и 1х — го( < К. Тогда а„(х — хо)" = 0(1). Елли К < +со и 1х — го~ > Л, то а„(х — хо)" Ф 0(1). Слвделгвие 3.
Пусть Л > О и )х — яо) < Я. Тогда а„(т — хо)" = а(1). Если К < +оэ и 1г — го! > К, то а„(х — хо)" Ф о(1). Следствие 4. Пусть К > О и )х — хо) < К. Тогда ряд (1) сходится абсолютно в круге Кл. Если Я < +оо и 1з — го) > К, та ряд (1) не будет абсолютно сходящимся.
Следствие 5. Если К > О и О < г < К, та ряд (1) сшдитсл равномерна в круге К„. й 1. Ряд Тейлора 207 а„(г, — го) (3) сходится и г, ~ го. Тогда степенной рнд (1) сходится в круге К = (г Е С: (г — го] < (г, — го().
м поскольку ряд (3) сходится, то, согласно следствию 1, (г, — г,( < В. следовательно, К С Кн, где Кн — круг сходимости ряда (1). М Из теоремы 2 и следствия 5 получаем, что ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в круге К, = [г Е С: (г — го( ( (г), где г < (г, — го(. Теорема 3 (Коши — Адамара). Пусть  — радиус сходимвсти ряда (1) и ! = !лп Яа„(, Тогда В = -,', причем В = +со, если ! = 0 и В = О, если ! = +со. а Очевидно, что :Л.~*- »1-о*- л (4) Если ! = О, то по радикальному признаку Коши чг Е С ряд (1) схолится абсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
