А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Функции г 1(г) = г!и „!, аналитическая в проколотой окрестности 1'ь (г б С ( О < !г — 1~ < со). Раздол!ение этой функции в ряд Лорана в )~ имеет вид 1 ! ! 5!и — = —— г — ! г — ! 3!(г — 1)! из которого следует, что г = ! — существенно особая точка функции 1. 2.3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке. Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки полностью описывается следующими двумя утверждениями. Теорема 1. Если лри нодходе к июяированной особой точке г = а функция 1 ограниченная ияи имеет норядок рости меньше единицы, то г = а — устраниыая особая точка.
м Пусть функция 1 в окрестности точки г = а удовлетворяет неравенству М (Т(г)(<, О<а<1. !г — а! Тогда чп б (!( получим: 1 )с (= — Г(г)(г — а)~ 'дг < — р" ' '2лр=Мр" 2л! / 2чг г, Принимая во внимание, что и — а > О, а р можно выбрать как )тодно малым, имеем с „= О !уп б И . Следовательно, г = а — устранимая особая точка. М Теорема 2. При нодходе к устранимой особой точке г = а функция 1 имеет конечный предел, и если его оринеть в качестве значения функции в точке г = а, то 1 становится аналитической функцией в точке а. М При г Е )ь я = (г б С ! О < 1г — а~ < Л) 1(г) = со+ 2 с„(» — а)", откуда !пп 1(г) = сь. =! Лоопределим функцию 1 в точке г = а равенством 1(а) = сь, Тогда разложение 1(г) = сь+ 2 с„(г — а)" будет справедливым в круге Кл — — (г Е С; !г — а( < К). Ряд Лорана пре=! образуется в ряд Тейлора, а функция 1 становится аналитической в круге Кз, и, в частности, в точке г = а.
М В дальнейшем, как правило, будем считать устранимые особые точки точками аналитичности соответствующих функций. Поведение функции в окрестности полюса устанавливается следующей теоремой. Теорема 3. Изогированнач особая точка г = а функции 1 является нолюсом тогда и только тогда, когда !ьш 1(г) = со. М Необходимость. Пуси г = а — полюс функции г порядка р. При г б )гь л имеем 1(г)т е -!- " +... = ~~! с„(г — а)", с рфб.
(г — а)е (г — а)е 1(г) = ~~ с (г — а) = ~~~ с (г — а) 1! (г) (2) (г — а)я (г — а)я (г а)г =о где 1! — аналитическая в круге Кя = (г б С: )г — а! < Я) функция, 1!(а) = се = е р зь О. Из (2) следует (1). й 2. Рад Лорана и изолированные особые точки аналитических фуикпвй 223 Итак, при подходе к полюсу функции у она стремится к бесконечности, и чем выше порядок полюса, тем быстрее это стремление. Достаточность. Пусть з = а — изолированная особая точка функции у и 1пп г(з) = со. Очевидно, сушествует проколотая окрестность точки а, в которой ~(з) ф О.
Поэтому точка з = а является изолированной особой точкой функции з ьч )з(з) = — и 11гпш(з) = О, т.е. а— пю устранимая особая точка функции ш. Устраним ее, полагая р(0) = О, и пусть з = а — нуль функции ш кратности р. Тогда согласно формуле (3), и. 1.8., имеем ш(з) = (з — а)зр,(з), где (о,(з) р 0 в окреспюсти точки з = а. Следовательно, 1 1 з(з) = ф(г), (г — а)я(о~(з) (з — а)я где ф — аналитическая в точке = = а функция и ф(а) ф О. Представим ее в окрестности точки з = а рядом Тейлора: ф(з) = ~~~ с„(з — а)", сь — — ф(а) ф О.
=ь Тогда у(з) = ~~ь с (з — а)" ", =а т. е. точка з = а — полюс функции у порядка р, т Следствие. Точка з = а является тыюсам функции / порядка р тогда и только тогда, когда функция ш = — (р ~ 0) аназитическая в точке а, и точка а — ее нуль кратности р. 2 7 Из проведенных выше рассуждений следует такое утверждение.
Теорема 4. Для того чтобы изолированная особая точка з = а функции у оыла ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы у не имела предела при з а. Углублением и уточнением теоремы 4 являеюл следующее утверждение. Теорема 5 (Сохоцко го). В окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает значения как угодно близкие любому наперед заданному числу расшцренной комплексной плоскостш Другими словами, если з = а — существенно особая точка функции у, то з(А е с найдется такая последовательность (з„), з„-ч а, что 1пп у(з„) = А. щ 1) Пусть А = сю. Функция г' не может быть ограниченной в окрестности точки з = а, поскольку в противном случае точка а была бы устранимой особой точкой.
Поэтому в проколотой окрестности Уь и = (з б С ( 0 < )г — а~ < 22) найлется такая точка зш что 11'(зь)! > 1. Возьмем проколотую окреспгость )г )т ~ = (з Е С (0 < 1з — а! < --'- — 1 ) . В ней найдется такая точка гз, ь, т что ~ ((яз)~ > 2 и т д. В проколотой окрестности Р (гз щ = Тз Е С ! 0 < 1з — а( < ць„:-'-1 ) найдется ч такая точка з„, что 12(з„)) > и. Очевидно, что з„а и 1пп (у(з„)1 = +ос.
2) А ф оо. Здесь возможны два случая: 1') А-точки функции у имеют а своей предельной ючкой. Тогда, очевидно, найдется такая последовательность (з„), з„-ч а, что у(з„) А при п оо. Следовательно, утверждение справедливо. 2') сушествует проколотая окрестность точки з = а, в которой у(з) ф А. Тогда лля функции з р(з) = ' „точка з = а является изолированной особой точкой. Установим ее характер. Рассмотрим возможные случаи.
Допустим, что а — устраннмая особшз точка функции (р. Ч'бгда чз имеет конечный предел при подходе к ней: бш чз(я) = В и бгп у(я) = А+ — '. Отсюда следует, что если В т' О, то я = а является устранимой особой точкой функции у, а при В = О точка з = а — полюс функции у. Обе возмо;кности противоречат условию теоремы. Следовательно, з = а не может быть устраннмой особой точкой функции (о.
224 Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки Допустим теперь, что» = а — полюс функции у!, т. е. 1пи Р(») = оо Л йш 1'(») = А. Следовательно, » = а — устранимая особая точка функции У, что снова противоречит условию теоремы. Таким образом, остается единственный возмозкный случай, что» = а — существенно особая точка функции р. Тогда, согласно доказанному в 1), существует такая последовательность (»„), »„ а, что 1ип (е(»„) = со л 1ци г'(»„) = А, ~ Рассмотрим пример. ! Пусть У(») = е* = 2 —,'„!» Е 1е ~ = (» Е С ! О < !»! < оэ), Здесь а = Π— существенно =О особая точка функции г. С помощью очевидных соотношений ! ! 1ии е= =со, йт е ° =О *= >о =*со о *-е проверяем утверждение теоремы Сохоцкого для А = оо и А = О. Пусть А ~ ( . Решим О ! уравнение е = А: 1 1 1 1 — = 1.иА, » — —— — п Е»..
» ' 1.иА 1и (А)+ !'Лей А !п !А! + г(агд А -1-2п;г)' Пусть 1 1и!А! е !(а»в А+ 2и!г)' ! ! Очевидно, что»„- О, е ° = А, следовательно, йщ е* = А. Характерным в этом примере является то, что за исключением значений О и со, все остальные значения А достигаются не в пределе, а на целой последовательности. Оказывается, что это не случайность, а общая тенденция.
Об этом свидетельствует меорема Пикара, уточняющая теорему Сохоцкого и утверлщаюшая, что в окрестности существенно особой точки функция у принимает, причем бесконечное число раз, любое конечное значение, за исключением, может быть, одного. Этим случаем для е * является нуль. 2.4. Бесконечная изолированная особая точка. Пусть у — анюгитическая функция в области )гл — — (» Е С ! В < !»! < оо). Это означает, что точка» = со является изолированной особой точкой функции г.
Представим функцию У в окрестности бесконечности рядом Лорана 1'(») = ~~! с„»". Члены ряла 2 с„»" с неположительными степенями» образуют его правильную часть, а с положительными — его главную часть. Харис»ар особой точки» = оо определяется, как и в случае конечной особой точки, главной частью ряда Лорана, а именно: точка» = со явшется соответственно устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой в зависимости от того, отсуютвует ли главная часть в разложении (1), содер;кит ли главная часть конечное или бесконечное число членов.
Например, функция» ! у(») = —,' имеет на бесконечности устранимую особую точку, функция» ~+ !р(») = » имеет на бесконечности полюс первого порядка, а функция » 3 м » !-! гр(») = яи» = ~ (-1)" (2и+ 1)! =е имеет на бесконечности существенно особую точку. 4 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 225 Замечание 1. Все сказанное в и. 3.2 о поведении аналитической функции вблизи конечной изолированной особой точки справедливо и в случае, когда « = со является изолированной особой точкой.
Замечание 2. Если « = со является изолированной особой точкой функции «, то ( = Π— изолированная особая точка функции ( р(() = у ( — ), лорановское разложение которой в окрестности ( = О получаем 11' (с) нз разложения (!) заменой « = — .
1 Замечание 3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке полностью опредевяет характер особенности этой точки. Это свойство можно положить в основу классификации изолированных особых точек, а именно, если при подходе к изолированной особой точке « = а функция имеет конечный предел, то зта точка называется устранимой особой точкой. Если предел существует и равен бесконечности, то « = а называется полюсом. Если же при подходе к точке « = а функция предела не имеет, то эта точка называется существенно особой. Рассмотрим примеры.
! 24. Разложить в ряд лорана в кольце Р1 1 = (О < !« — Н < 2) функцию «1 )'(«) = «(« — 3)' ! ! ! ! — (-!) (« — П (« — 1)-ь ! (« — 1) (1+ ' ) « — ! ~-~ (-1) (« — 1) = ~ (-!) (« — 1), 1« — Ц > 1, =-1 1 1 1 1~"-~ 1 — — ( — !)" П-2 2 ! =.-,1 гС (« — 1)" 2"+' =-Е *=0 ~« — 1~ < 2, « — 3 («вЂ” ( ! Х) !ч чп — — — — ( — 1)" 1« — 3/ 2 2" =1 =0 и+1 2" чз (« — 1)", (« — Н < 2, (« З)1 «(« — 3)1 х-т 9 « — т ! 9 . 2"+' 3 2"+з / =-1 =0 (-1)" ' „Зп+ 5 (« — !)" + ~~1 (« — 1)" И Е Ъ'1 =0 25. Найти множество точек «, в которых сходится ряд 'хз ', и Е Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
