А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Полиые аиалитические фуикдии 52. Полные аналитические функции 2.1. Покатые полной аыаяитической фупкции. г)у Определеиие 1. Полной аналитической функцией назовем савокуппасть всех канонических элементов, получаемых из пдпаго какого-нибудь элемента Р апалитичвсхими продолжениями его вдаль всех зкордапавих кривых, иачииающихся в цептрв о злемепта Р, для которых такие продолхсгвил возможлы. Покажем, что понятие полной аиалитической фуикции ие зависит то выбора начального элемента Р. Действительно, пусть (г — любой другой злемеит полной аналитической функции, определенной иачальиым элементом Р. Это означает, что О получаем из Р продолжением вдоль некоторой кривой Г = (Т, у„„).
Тогда Р можно получить из ('„З продоюкеиием вдоль кривой Г = ( у , 1,,). Пусть теперь элемент Ф получаем из элемента Р продолжением вдоль пути Г, = (Тп Т~). Тогда, очевидно, получаем Ф из ('„З продолжением вдоль пути Г О Г,. Принимая во внимание теорему о едииствеииости аналитического продолжения вдоль пути, естественно дать следующее определеиие. Опрелелеиве 2. Двв полные аналитические функции считаются р а в и им и, если аии имеют хотя бы один общий элемент. Теорема Р Обьедипгиие кругов сходимасти элементов, принадлежащих палпаи аналитической фуихции, образует область. щ Пусть Р— это объединение. Оио открытое как объединение открытых множеств, т.е.
если вв б Р, то ", б К вЂ” кругу сходимости некоторого элемента и К С Р. Пусть а и Ь— произвольные точки множества Р. Тогда найдутся элементы, для которых а и Ь являются центрами. Эти два элемента получаем аиалитическим продолжением друг друга вдоль некоторого пути Г = (Т, )т), соедиияюшего точки а и Ь. Ясно, что т С Р. Следовательно, Р является связпым сткрьпым множеством, т.с. областью. Оиа называется естгствгниай областью определения полной илалитичгсвой функции, или областью ег существования. Ы Заметим, что полная анаяитическая функция может ие быть в области Р функцией в обшеприиятом понимании, поскольку ие будет одиозиачиой.
Сколько значений функции сопоставляется фиксированной точке из области РУ Ответ иа поставленный вопрос содержится в следующем угверждеиии. Теорема 2 (Пуаикаре — Вольтерра). Палица аигьтитичвская функция может ииеть пе более чгм счетное множество разных элементов с центром в фиксироваппай точке. щ Пусть полная аналитическая функция определяется начальным элемситом Р с центром в точке а, и г — произвольная точка из области определения Р полной аию~итической функции. Пусть Р.
— один из злемеигов с центром в точке г, прииадяежаший полной аиалитической функции. Его можно получить из элемента Р, с помощью конечной цепочки элементов с цеитрами в точках гп г„..., г„„г, в которой каждый следующий элемент является иепосредствеииым аналитическим продолжением предыдущего. Не ограничивая общности можно считать, что точки х„гг, ..., г„| имеют рациоиальиые коордииаты. Действительно, пусть сначала цситры г'„г,', ..., г'„, произвольные.
В как угодно малой окрестности точки хь (й = 1, п — 1) возьмем точку хь с рациональными координатами и заменим элемент Р„злемеитом Р„. Сов гласио теореме об иивариаитиости аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопиых деформаций путей, при достаточио малых (хь' — гь( результат продолжения по новой цепочке будет совпадать со старым. Множество непосредственных аналитических продолжений Р„ с рациональными центрами элемента Р счетное, точно так же счетное множество и элемеитов Рчи ..., Р,, Задание Р,„, и точки х однозначно определяет элемент Р,.
Следовательно, число различных Р, ие более чем счетиое. Ы Вводя в рассмотрение понятие полной аналитической функции, ие обязательно пользоваться лишь каноническими элементами. Можно брать произвольные злемеиты, рассматривая полную аиалитическузгз функцию как совокупность аналитических злемеитов (Р, )' ), где и пробегает некотоРое множество индексов Л. При этом кяждый из этих элементов получаем из любого другого элемента аналитическим продолжеиием.
Гл. 6. Аналитическое продолжение 238 2.2. Примеры полных аиалитичесвжх функций. Функции, аналитические в С, а также аналитические в С за исключением счетного множества особых точек, являются, очевидно, полными аналитическими функциями. Приведем также пример полной аналитической функции, состоящей из одного канонического элемента. рассмотрим канонический элемент Р = (К, У), где К = (х б С: ~х! < 1), ~(х) = 2, х"'. ю Покажем, что этот элемент не может быть продолжен ни по какому пути с началом в точке х = О.
Если бы такое аналитическое продояжение существовало, то некоторая дущ окру:кности у = (х б С: 1х( = Ц состояла бы полностью из точек аналитичности функции 1'. Однако на г любой такой дуге содержится бесконечное множество точек вида хч — — е ч, где р и д — целые положительные числа, которые не могут быть правильными точками функпии 1". Действительно, положим х = рхч, О < р < 1.
Тогда получим: ч-! Для любого натурального числа )ч( > д имеем и ч-> ~У(хН > ~,р"' — ~~,14" >()ч( — 8+1)д" — (д — 1). =ч Отсюда, в силу произвольного выбора Аг > д, приходим к выводу, что функция 1 при приближении к точке хч по радиусу стремится к бесконечности. Следовательно, хч не может быль точкой аналитичности функции (. Изученные в главе 3 многозначные функции ~/х и )лт г, которые рассматривались нами как объединение конечного или бесконечного (однако счетного) множества однозначных аналитических функций, являются полными аналитическими функциями.
Определяя ~/х с помощью канонических элементов, можно в качестве начального взять элемент Оч с центром в точке х = 1, состоящий из круга Кч — — (х б С: ~х — 1( < 1) и аналитической в нем функции ' до(х) = (1 + (х — 1)) " = ~ — — — — 1 " — — й Ч- 1 (х — 1)". Й!пзп ) (п ь=ч При х = х функция д, является биномиальным разложением действительной функции х ъгх на интервале (О, 2), а дч(х) является аналитическим продолжением этой функции в кр)т Кч.
Элемент (Гч аналитически продолжается вдоль любого пути с началом в точке х = 1, не содержащего точку х = О (ем. пример и. 1.! ). Итак, областью определения полной аналитической функции ~/х, порожденной элементом Оч, является область 22 = С\(О). Функцию ~lх можно такке определить как совокупносгь аналитических элементов Р (22 У ),аб)2,где чя Р„= ( — я+а < )з < я+а), )'„(х) = Оггеч, -я+ а < (е < я+а. Действительно, в круге Ко — — (х б С: 1х — 11 < 1) функция Уо(х) элемента Ро — — (Ро, Уо) совпадает с функцией дч(х), определенной формулой (1). Это означает, по определению 2 из предылущего пункта, что полные аналитические функции, определенные элементами Я = (Кч, дч) и Ро = (Юо, Уо).
совпадают. Аналопгчно, полная аналитическая функция (ля может быть определена с помощью канонических элементов, или как совокупность аналитических элеменюв Р = (Р„, 2„), а б К. В первом случае исходным может быть выбран элемент Д = (Кю дч), где д ( ) = ~ (-1)"-,', К, = ( б С: ~.
— И < 1). , (х — 1) в 2. Полные аналитические функции 239 Функция до является аналитическим продолжением в Ко из интервала (О, 2) действительной функции х ~-+ 1и х = 1п(1 + (х — 1)) . В другом случае возьмем Р = (-от+ а < ур < ог+ а), у„(х) = 1п г+(ор, -рг+ а < ор < я+ а. Обласп определения 1.па совпадает с областью определения чгг: Примером полной аналитической фунющи также является общая степенная фунюгия и = хи, р 6 Ж (см.
п.4,1, гл,3). Однако общая показательная функция (см. п.4.2, гл.3), определенная равенством *ь т = а* = е* не является полной аначитической функцией, поскольку ее отдельные элементы не являются аналитическим продолжением друг друга (а' есть совокупность различных аналитических в С функций вь — — Уь(г) = екы +'" ', й б Ж), 2.3.
Особые точвн полной аналитической функции. Определение 1. Точки границы области определении иапнай аналитической функции называютгя вг особыми тачками. Наибольший интерес представляют собой изолированные особые точки. Пусть г = а — изолированная особая точка полной аналитической функции з, ); — ее проколотая окрестность, расположенная в области Р определения у. Лемма. Если какой-нибудь канонический элемент Ро, принадлежащий З, при аналитическом продолжении вдоль нгкатарага замхнутога пути Го — — (7о, 7оот), 7о С )ч, нг измгнягтсн, та и любой элемент Р, напученный из Ро анаиитичгснии продолжением в !', нв изменяется при прадопхггнии вдоль любого пути Г = (7, 7,р), если жардановы кривыг 7о и 7 гоматопны в 1' .
щ Пусть Г = (7, У,'„) — путь в 1;, переводящий Ро в Р. Упорядоченный набор Го = (Г, Го, Г ) является ориентированной замкнутой кривой, совпадающей с Го. Поэтому кривые ГЗ у, ГЗ у' и 7 гомотопны в !'. Согласно теореме 1, п.1.3, аналитические продолжения элемента Р по путям Ги и Г совпадают. Но аналитическое продолжение вдоль Г" не изменяет элемента Р, поскольку Г переводит Р в Ро, Го не изменяет Р,, а Г' переводит Ро в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
