А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Находим сумму ряда в точке з Е Р: Таким образом, К С Р и У(з) = д(г) Чз Е К. М 8. Привести пример функций У~ и Ум аналитических соответственно в областях Р1 и Рм причем Р, П Рз — — Р = гь, ы гьз и У1(з) = Уз(а), если а Е Ь!, Л(з) и Уз(а), если з Е гь,.

м Пусть У1(з) = 1п [г[ ь (агвз, Р, = (г Е С ~ — я < агвз < —; ), Уз(з) = (п [с[ -1- !агва, Рз = Тз Е 0 [0 < агва < — ' ), йч — первый квадрант, Ьз — третий квадрант а-плоскости (см. также пример перед определением 4, п. !.1). Функции У1 и Уз удовлетворяют поставленным требованиям. м 9. доказать, что когда функция У Е л(С) удовлетворяет условиям 1гп У(а)), = Ке У(з)(, = О, то она нечетная, т. е. У(-з) = -У(а).

М Принимая во внимание равенство 1гпУ(з)[„е — — О, по принципу симметрии имеем У( ) =У(й) Введем в рассмотрение функцию Тогда !гп Е(з) и, принимая во внимание, по точки г и ~-~ г(з) = !У(з), (, = ВеУ(а)! = О, -Л симметричные относительно мнимой оси, получаем Р(х) = с( — д), Второе из этих разложений является непосредственным аналитическим продслзкением первого, третье — второго, четвертое — третьего и первое — четвертого. м Упражнения для самостоятельной рабства 1. Функцию х У(х) = —,' с интервала ( — 1, 1) С Ж аналитически продолжить методом степенных рялов сперва в круг К = (х Е С; [л[ < 1), а затем в круг К' = (а б С: [з — ![ < 2).

2. Пусзь Р~ = (з б х. [ 1 < [а[ < 2 л (юл > 0), а У(а) = )па = !и [а[ 4 (мйз. Найти аналитическое пролозскение функции У из Р, в область Рз -- (х б С [ 1 < [л[ < 2 л 1гл х < 0) через интервалы (-2, -1) и (1, 2). У( ) = -У(- ) (2) Из (1) и (2) следует нечетность функции У. > 10. Построить четыре элемента функции а ~ —.' с пентрами в точках л = 1, г = з, г = — 1, а = -1 и выяснить, какие из них являются непосредственными аналитическими продолжениями лруг друга.

м Непосредственно получаем четыре разложения 1 ч — ~ 1 к (-!) (з — 1) , [а — 1[ < 1; — = аз ! (з — !) , [а — ([ < 1; з 3 =о =о 1 (а+1)", [а+1[< 1; — = ч) (-!)" (а+1)", [зе([<!. з а Гл. 6. Аналитическое продолжение 3. Пусть С вЂ” комплексная плоскость с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, К = (х Е С: >х — !! < 1), Л(х) = Г -((, х с С, гг(х) = ~ 1 — >„— (х — 1), х б К. 1 ю Доказать, что Уг и уг являются аналитическими продолжениями одной и той же функции. 4.

Пусть функция уг аналитическая в кольце К, и = (х Е С ! г < >х) < Л). Доказать, что функцию у, определенную в круге К„= (х Е С: ~г~ < г) соотношением у()= —,.',,)(( — )"(а(Ь)4Ь ( б~>, Г,=(?.,?,"'), ?.=((ОС:! >=1); г,. можно аналитически продолжить в круг Кл = (х Е С ~г~ < В) и что зто аналитическое продолгкение г (х) можно задать формулой Е( ) = —,', ) (( — ) аг(()а(( (~ Е К), 1'л — — (Ул, У"„), Ул — — (( Е С: Ц = В). у'л 5.

Доказать, что функции х ~-а Д(х) = ~ х" (>4 < 1) =а и х уг(х) = ) е кг *!а(1 (Кех < 1) а являются аналитическими продолжениями друг друга. 6. Найти аналитическое продолжение функции х ~а агсбп х из интервала (-1, 1) С В в крут К = (х Е С: ~г! < 1). 7. Пусть на интервале ( — 1, 1) определена функция у, где ! у(х> ~ е -', если х Ф О, ( О, если я=О.

Можно лн аналитически продолжить ее в С? 8. Доказать, что функции х~,у(х)=~,-~; — — и х~ уа(х)= / ! е г(1 =а а являются аналитическими продолжениями друг друга. 9. Какие функции определяются рядом 1( + -'.) + С ( - -.') ( —,.'„, —,. '.,) (. ?() в областях Ка г — — (х Е С ! О < е < (х! < !) и К = (х Е С: >х( > 1)? Являются ли они аналитическими продолжениями друг друга? 10. Пусть 1 У(х) =,) е"С Д, г = (Ъ Ом), ? = Е б С: К! = 1). г Доказать, что эту функцию можно аналитически продолжить в С.

11. Доказать, что функцию У, где а мо кно аналитически продолжить в область Р = (х 6 С: ! агв х( < гг) . 12. Доказать, что если функция у является аналитической в елиничном круге и в каждой точке его границы, то она аналитически продолжается и в некоторый круг Кр — — (х б С: )х) < р), где р > 1. 13. Пусть у' — аналитическая в окрестности точки х = О функция, а последовательность (у'"г(х)) сходится там равномерно и 1лп Уму(О) = 1. Доказать, что предельная функция атой последовательности аналитически продолжается в С.

Глава 7 Вычеты и их применения 9 1. Определение вычета. Основная теорема С а = ГЕ5з (З). Принимая во внимание формулу (2), п. 2.1, гл. 5 для коэффициентов ряда Лорана, имеем 1 геь)(з) = — / ((з)дз, Г = (-~р, у "), (!) 2я( гр где г„— окружность радиуса р с центром в точке з = а, у, с О (Π— окрестность точки а). Заметим, что в случае, когла з = а — устраннмая особая точка, гезу = О. Если з =- а— полюс первого порядка, то гез)' Ф О. В остальных случаях геэ ( может быть равным, а может и не быть равным нулю, например; 5(п е 1 гез — =О, гез — =1, геье=о =О. о з ' з з — 2 ' о Получим формулы для вычисления вычета относительно полюса, Пусть з = а — полюс функции у порядка р. Разложение функции у в ряд Лорана в проколотой окрестности точки з = а имеет вид у(с) .= р + ..

т — + э се(з — а) (з — а)р з — а =о Отсюда получаем: у(з)(з — а)' = с, +с „„(з — а)+ ... + с,(з — а)" '+ ь с (а — а)"", еО йр-о —, (у(з)(з — а)") =с,(р — 1)!+ ) с„(п+р)... (и+ 2Нз — а)" ', !р -! 1пл —, (З(з)(з — а) ) = с ~(р — 1)!. йер ' Имеем формулу для вычисления вычета функции у относительно полюса р-го порядка: ! , йр-г гео.у(я) = — !1гл —, () (з)(з — а)") . (р 1)! г)ее (2) и ь еочьльные Егеьн еньье тине (феона.) — енчее. 1.1. Вычет относительно изолированной конечной точки. Определение. Вычетолг аналитической функции ) относительно ее изолированной особой точки з = а Е О называется коэффициент с ~ нри нервой отрицательной стенени разлоэкения Функции г' в гьяд Лорана в окрестности этой точки, Обозначение вычета ~: 24б Гл.

7. Вычеты и вк примеиеитв В частности, при р = 1 формула (2) принимает вид гезу(г) = Ош у(г)(г — а). (3) На практике оказывается полезной небольшая модификация последней формулы. Пусть функция 7 в окрестности простого полюса г = а имеет вид У(г) =— Р(г) ф(г) (4) где !о и ф — аналитические в точке г = а функции, причем р(а) ф О, ф(а) = О, ф (а) зе О. В соответствии с формулой (3) имеем !з(г)(г — а), зз(г) у(а) гез |(г) = !пп = !пп т.е р(а) гез Г(г) = —, ф'(а) Например, ге»си) г = гез ',~,' = ,'— „", = 1.

ь ь В случае, когда функция у определена формулой (4), а функции !з и ф имеют в точке г = а нули порядка выше первого, для вычисления вычета удобно заменить функции р и ф несколь- кими членами разложения их в ряд Тейлора. Например, 9 3 .Э з з!пЗ» — Зз!пг Зг — -г +... — Зг 4 = -4» гез, = гез 1 2 = гез, = 24. О япг(5!Пг г) О ( м~+ 1 ( з ) 0 1.2. Вычет относительно бесконечности. Пусть г = со — изолированная особая точка функции У. Разложение функции У в окрестности бесконечности О = (г Е С: г < (г! < оо) имеет вид у(г) = ~~> с„г". ПРоинтегРиРУем это Равенство по окРУжности Г„= (У„, Улм ), оРиентиРованной в напРавлении хода часовой стрелйн (при этом бесконечность остается слева).

Тогда получим: у(г)йг = ь с / г бг = — 2яФс г- г- так как г" Игтб при пав!. Г гез Г(г) = -с, = — )' у(г) аг, 2я(,/ (2) гЗаметим„что в соответствии с данным определением гез У(г) определяется коэффициентом ) правильной части ряда Лорана и поэтому может быть отличным от нуля и в том случае, когда бесконечность является Ус»ранимой особой точкой функции у, например, геа -,' = — 1. гОпредеаеиие. Вычетом функции у' относительно бесконечности но»мелется коэффициент лри первой отрнцотельной степени рамон»ения функции у е окрестности бесконечности, умнолселный на — 1.

Принимая во внимание (1), имеем и 1. Определенве вычета. Основная теорема 247 Пуси бесконечность является устранимой особой точкой функции 1. Введем обозначение йш 1(г) = 1'(оо). Тогда гезу(г) = йщ г (У(ос) — У(г)) . (3) Действительно, разложение функции Т в ряд в окрестности бесконечности в этом случае имеет вид 1(г) = 1(оо) + ~ с ьг откуда г(1(г) — 1(ос)) = ~~) с ьг и=! Совершив в последнем равенстве предельный переход при г со, получим формулу (3). Легко можно получить следующую формуяу гез Г(г) = — (о'(О), (4) гле р (-) = 1(г) и р(г) — аналитическая функция в точке г = О.

1.3. Теорема о вычетах. Теорема 1(Коши). Если функция 1 аналитическая в Р Ы дР С С, зо исключением некоторого мнозкества изолированных особых точек (аь„й = 1, и), принадлехсаты области Р (но не дР), то справедливо равенство à — / Г(г)с(г = ~~! гезу(г). 2я! / оп и=! I т РассмотРим окРУжности 7!, .(г, ...,7„( ( ) 7ь и! причем рь выбираем настолько малыми, пабы круги лежали области Р. Рассмотрим область Р ! (Крь, й неодносвязной области (см.

теорему 4, и.3.3, гл.4): =ц!) радиуса рь с центром в точках аь, К,ь с гРаниЦами уь компактно пРинад= 1, и) и применим формулу Коши лля 1 г — / 1(г)бг = ~~! — / ((г)дг = ) гез|(г), 2!Г! 2я!',1 ь ап г. и=! ь Г„ы (7а 7,") . и. Эта теорема имеет большое принципиаььное значение. Она сводит вычисление глобатьной величины, которой является интеграл от аналитической функции по границе области, к вычислению величин яокальных вычетов функции в ее особых точках.

Например, вычислим интеграт дг Р = (» б С: ~г — 1 — г~ < 2). (г — 1)'(»' + 1)' оп Подынтегральная функция 1 аналитическая в замыкании Р, за исключением точек г! = 1 (полюс второго порядка), г, = ! (полюс первого порядка). С помощью формулы (1) получаем: Иг г 1 1) = 2ьп' (гезу(г) + гез Г(г)) = 2я! — — +— (г — 1)г(гг+1) ! ! ( 2 4/ 2 ' оп Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть 1 б А (С ! (аь( й = 1, и)). Тогда сумма вычетов функции 1 во всех ее конечных особых точкак и вычета на бесконечности равна нулю: гезу(г) ! ьч51(г) = О, (2) и и=! 248 Гл. 7. Вычеты и их применения М Пусть ( = (я Е С; !а! = 22) — окружность столь большого радиуса Я, что она охватывает все конечные особые точки аь. Тогда согласно формуле (1) и формуле (2), п 1,2, получим: 1 — / у(а)гЬ = ~~г гез у(я) = — гезу(я). И 2я! / ь ь=! Доказанная теорема может оказаться полезной при вычислении интегралов по контуру. В качестве примера рассмотрим интеграл з о, Г=(7,7р),7=(хЕС:!х(=2 г Согласно теореме 1 имеем з 2=2кг тех, +7 гез о гз(аи 2) ~~ С~ зз(а~о 2) ью где (ь ()г = 1, 10) — корни уравнения =" — 2 = О, или, воспользовавшись формулой (2), 1 1 = -2я(гез = О.

Характеристики

Список файлов книги