А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Следующая теорема устанавливает единственность аналитического продолжения вдоль пути. Теорема 1. Если канонический элемент Рь продолжить вдоль пути Г, то полученныи в результате его аналитического продолзкения элемент не зависит от выбора семейства, осуществляющего зто продолжение. щ Применим метод доказательства от противного. Пусть Р, — эяемент, полученный из Рь продолжением вдоль пути Г с помощью семейства Р„а (), — элемент, полученный из Р, продолжением вдоль Г с помощью семейства Ог. Имеем Рь — — (уь, Рассмотрим множество точек 1 из интервала 1, для которых Р, = (;1,: Е = (1 Е 1 ( Р, = <;)г).
Очевидно, Е ~ а, поскольку 1 = 0 Е Е. Покажем, что Š— открытое мнолсество. Пусть (ь Е Е: Рь, — — 0и Обозначим через Ои С 1 такую окрестность точки гь, что Р(0„) С Кя,, 'а ' где Кя, — общий круг сходимости элементов Ри и г'„)и Тогда 'у( Е Ои элементы Р, и гй, получаются непосредственным аналитическим продолжением одного и того же элемента Ри = (2м Отсюда Р, = гйг (см.
замечание 3, п. 1.1), т.е. О„С Е и .Š— открытое множество. Теперь докажем, что Š— замкнутое множество в топологии 1. Пусть гь — предельная точка множества Е. Обозначим через Кл, меньший из кругов сходимостн элементов Рм и Ои, и пусть Ои — такая окрестность точки 1,, что (о(Оы) С Кя, . Поскольку гь — предельная точка множества Е, то в окрестности Ом обязательно найдется точка 1, Е Е и, следовательно, Рп = геь, Б силу замечания 3, п.
1.1, имеем Р,„= г2м, т. е. 1, Е Е и Š— замкнутое множество. Таким образом, непустое множество Е, являющееся подмножеством множества 1, одновременно открыто и замкнуто в топологии 1, Поэтому .Е = 1 (см. теорему з 3, гл. 2) и, в частности, Р, = О, . ~ Нас будет интересовать следующий вопрос. Мы имеем определения аналитического продолжения вдоль цепочки элементов (определение 4, п. 1.1) и определение аналитического продолзкения вдоль пути. Как они связаны между собой? 235 и 1.
Основные понятия. Аналитическое продолвгевие вдоль пути Лемма. Пусть В(1) — радиус злеиента Р, из семейства элементов, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль жарданава пути Г, и пусть, далее, все круги Кл, имеют конечные радиусы схадимпсти. Тогда )2(1) — непрерывная функция на отрезке 1 = [О, 1). т Пуетв го Е 1 — ЛЮбая тОЧКа. Сущветлувт таКая ОКрЕСтНОСтЬ ОП ТОЧКИ гв, Чта Чг Е ОЫ элемент Р, является непосредственным аналитическим продолжением элемента Р,, Согласно неравенству (2), и. 1.1, имеем [В(1) — В(гь)[ < [)г(1) — Фгь)[ гле зг — параметрическое представление жордановой кривой Г.
Поскольку отображение (е непрерывное, то В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1. т Теорема 2. Пусть элемент (д получен из элемента Р посредствам аналитического продолжения вдоль жарданава пути Г. Тагди ('„З является аналитическим лрадалжением в понимании алределенив 4, л. 1.1. т Пусть (Р,),е, — семейство элементов, осуществляющее аналитическое продолжение вдоль кривой Г (Рь = Р, Р, = Д). Радиус семейства В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1, и )Г( б 1 В(1) > О.
Огсюда слелует, согласно свойству непрерывных функций, что 'чг б 1 В(1) > е для некоторого г > О. Поскольку параметрическое представление ьг жордановой кривой Г есть равномерно непрерывная функция на сегменте 1, то существует такое разбиение П= [гь1 к=О и) сегмента1, где О=ге <гз « ... 1„=1, что М(г ) — Т(г — )[<г (Ь= » ). Тогда (е(гь) Е Кл „, и, согласно определению 3, и. 1.1, элементы Р иь~ н Р пь а являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, а элементы Р = Р оа и гд = Р „„; — аналитическим продолжением друг друга вдоль цепочки элементов Р пь. (й = О, гь), т.е. элемент (,> является аналитическим продолжением элемента Р в смысле опредеяения 4, п.1.1.
М Рассмотрим, например, семейство элементов Р~ = (Клин геь), 1 Е 1 = [О 1[, где Кла~=[еЕС;[г — е' '[<1), уь= чгге'", — г+хг<(е<з рвг. Очевнано, и" = 1,"(г) = г, поэтому в каждой точке г Е К,ио сушествуег 1,'(г) = и 1,'(е) ос при г О. Получаем, что функция 1, аналитическая в круге Кщо. Представляя ее рядом Тейлора в окрестности точки е' ', получим степенной ряд с кругом сходимости Кщп.
Таким образом, элементы Р, = (Клон у,) при 1 Е [О, Ц образуют семейство канонических элементов„осуществляющее аналитическое продолжение элемента Р, в элемент Р, вдоль полуокружности 7 = (г 0 С [ г = е' ~, 0 < 1 < 1). Очевидно, элемент Р~ можно также получить из элемента Рь анатитическим продолжением с помощью цепочки элементов Рь, Рй, Р,. 1.3. Иввариаитиость аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотоппых деформаций этого пути.
Пусть 1 = [О, 1[, К = 1х1, К С вЂ” гомотопия жордановой кривой -Гь вжорданову кривую 7~ еь еь с общими началом и концом, 1 уа 1 — 7, — параметрические представления кривых 7ь на на и 7ъ Тогда чс Е 1 ю(0, О = (вь(0), (е(1, 1) = юь(1), т.е. любая кривая 74 с параметрическим прелставлением б ьч Зг(1, 4) имеет то же начало, что и Ть с 7~ и тот же конец, что и 7ь с 7~ (см. п.5.1, гл.4). Теорема 1. Пусть гкарданавы кривые 7ь и 7~ гамотапны как кривые с общими концами, а элемент Р аналитически лрадаллеаетсв вдаль любой кривой 74 с параметрическим представлением б ' ' Р(1~ О 0 < 1 ~< 1, где и — гвматалия кривой 7е в кривую 7~ .
Тогда результаты аналитическагв прадацкенил элемента Р вдоль кривых Гь и Г~ совладают, где Го = (7ь, 7ь ). Г~ =<7~ 7т ) м Согласно условию, аналитическое прололжение элемента Р вдоль любой жордановой кривой Гг, имеющей общие концы с кривыми Гь и Г,, существует. Обозначим через (гг результат аналитического прололжения, осуществляемого семейством элементов (Рь )ьаг вдоль нуги 236 Гл. б.
Аналитическое продолжение Гг = (ТГ, Тс ). ПУсть Е = (с Е Х ( Я~ = (Г ). Множество Е непУстое, так как Р = О Е Е. ПУсть 4ь Е Е. По лемме п. 1.2 существует такое с > О, что радиусы Л(г) семейства элементов (Р,'),аг, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль кривой Гг„удовлетворяют (Г( Е 1 неравенспзу 22(1) > с. Поскольку гомотопия (с является равномерно непрерывным отображением на компакге К, то в К найдется такая окрестность 0(„С 1, что )г(Е Е 0(„1 Е Х) выполняется неравенство )(э(б, 1) — ы(1„1)) < —.
2 (1) Выберем точки (ь Е 1 (й = О, о) так, чтобы ч)» )»гь = )э(бь, гь) удовлетворяли неравенству (2) !~уь — Уа-~1< —. 2 и элементы Р,,", Р~ь,, были непосредственным аналитическим продолжением друг друга. Обо- значим )»~ = 1»(б, 1ь) и заметим, что при Х Е Оы, согласно (1) н (2), выполняется неравенство 1Уь - уа ,1 < 1Ргь Рь~ ~ )рь 4, ,( < с, (3) Очевидно, что элементы Р» и Рчь ЯвлЯютсЯ непосРедственным аналитическим пРодолжением друг друга (так как РГ' и Рг,' являются непосредственным анаяитическим продолжением лруг друга согласно (3), н также Ргь и Рг,' являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, н все три элемента Рг,', Х»»г,', Рг,' имеют общую часть).
Аналогично показываем, по элементы Рн н Р,, являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга и т.д. сь г Наконец, РГ и Рг' являются непосредственным аналитическим продолженнемдруг друга и, кро- МЕ ТОГО, ИМЕЮТ Общий цситр, ВСЛЕдетанс ЧЕГО СОВПадаЮт: Р, = бег = Рг' = Ягь. ИтаК, Об С Е, т. е. Š— открытое множество.
Пусть бь — предельная то'ка множества Е и Ос, — окрестность этой точки, рассмотренная выше. В этой окрестности найдется такая точка Х Е Е, что продолжение элемента Р вдоль кривой Гс приводит к элементу (2< = О~. Повторяя приведенные выше рассуждения, получим, что аналитические продолжения вдаль кривых Гг и Г, приводят к одному и тому же элементу г;)г" = Ог = („г, т. е. Хь Е Е, откуда следует, что Š— замкнутое множество. Следовательно, о Е = 1 и, в частности, Я' = О, по и требовалось доказать.
т ь Замечаиие. Если хотя бы вдоль одного из дусей Гг, определяемого гомотолией ь», элемент Р аналитически не продолжается, то результаты его продолжения вдоль кривых Гь и !'! могут оказаться разными. Для иллюстрации сказанного вернемся к примеру, рассмотренному в конце и. 1.2. Элемент Рь можно продолжить ьлохь нижней единичной полуокружностн гг = (» б С !» = е *™, 1 б 10, 11 = Рг с помощью ели»яства элементов Р,' = (Клог, Хг~), где Кл, — — (» б С: )» — е * ') < 1), 1» = "Угг' — — — к! < Р < — — кг. Тогда Р„= Ра, но Р! Р Р,, хотя их круги схолимости одинаковые.
Рассмотрим, » например, значения 1!(г) и 1~~(») в точке» = — 1; 1!( — !) = е', Х!~(-1) = е, 1!( — 1) Р 1!( — 1). Это объясняетсв тем, что гомотолию Т н Т, можно осуществить лишь в области, содержащей точку» = О, однако аналитическое продолжение элемента Рь вдоль луги, проходящего через точку» = О, невозможно (в конце п.
1.2 показано, что 1»(») со лрн» О). Теорема 2 (о монодромни). Пусть Р = (К, 1) — некоторый аналитический элемент, К С В, где  — такая аднасвяэная область, чта элемент Р аналитически лрт)сижсается вдоль любой экардановай кривой, лелсагцей в В. Тогда савакулнасть всех аналитических лрадалэкений анределяет в абласти В аналитическую функцию. щ Прежде всего заметим, что любые две жордановы кривые с общими концами, лежащие в области В, гомотопны вследствие односвязности области В.
Пусть» Š — произвольная точка. Рассмотрим множество всех хгордановых кривых, лежащих в В, с общими концами а и», где а — центр заданного элемента Р. Результаты аналитического продолжения вдоль этих кривых по теореме 1 совпадают. Значения этих продолжений в точке» сопоставим ей. Этот закон и определит в области В аналитическую функцию. М Ф 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
