А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 57
Текст из файла (страница 57)
к-э 3" + 1 и Обозначим «" «" 1 1 = Š—,-, = Е 3-.1'Е 3--+ ! — - = »=0 предполагая, что функции Л и гз определены на некотором множестве. Ряд ~ , '— „', сходится в круге кн —— («е с 1 ф < к), где 1 Л= = !пп х/3" +1=3. и Очевидно, справедливо разложение функции г' на простые дроби 1 1 1 1 (1) «(« — З)з 9«9(« — 3) 3(« — 3)1 После некоторых преобразований дроби в праной части равенства (1) можно рассматривать как суммы бесконечно убывающих прогрессий. Имеем 226 Гл. 5. Ряды аналитических фувкций.
Изолированные особме точки Областью сходимости ряда 2, =„', . —,'„является множество 22 = (з б С: )з~ > г), где г = 1пп ~~~, = 1. таким образом, заданный ряд сходится в кольце кь, = (з е с ~ 1 < !з~ < 3). м г я+1 26. ФУнкцию Я ~-~ !(з) = з пиз — Разложить в Рад ЛоРана в кольце )гв = (з Е С ! 3 О < 1я! < сю). м Имеем г 5)пя =3 з1пвг 1+ = з з1п = з 1 г) з (2пт1)! з =в ( 1)»-~$ 2 вс ю 27. Функцию Бесселя 1-го рода п-го порядка,7 (з) при целых п можно определить как ко- 1,! - !с--) эффициент при (" разложения в ряд Лорана функции ( е! ' сг в кольце )гв,, — — (Г Е С ~ О < ф < сю); 2) ет(С С) = ~,У.(з)~" Локазать, что 1 Г (-1)" ,т (з) = — / сов(п — зйпВ)дВ = э я г-г !г!(п -1- гв)! 2 в в=в ч По формуле (2), п.
2Л, имеем 'г (з)= —. д(, О<р<со. эяг ! ("+' г, При р = 1 получаем: вв ВВ = — е'с* ьв- вг 1В г 2я/ Далее, Отсюда находим 28. Найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки зв —— со функции з з (йз +з))п —, 1 — з' если выбранная ветвь логарифма действительна на верхнем берегу радиуса (О, Ц. ~(~-с) А(з)= ./ дь= — /ег'' е 2кв / ~"вг 2я! / = — ) сов(х ип  — пВ) ВВ + 2я/ 1 — / з!п(з пп  — пВ) ВВ = — ) соз(п — з в!и В) ВВ. й 2. Рад Лорана и юолированные особые точен аналитических функций 227 ° а Имеем (2» +»)!И вЂ” = (2» +»)Ьà — = (2» +») 1И вЂ” +ЕК = (2» +») ~-1И ~! — — у! +!Х) = 3 1 †» — ) » г = (2» +») (!х+ — + — + — + ...~ = 2га» +гя»+ 2» » 2»» 3»з г' 1 29.
Иайти особые точки функции» ° 7(») = мп —,, установить их характер и исследовать со»- поведение функции 7 на бесконечности. 4 Для функции ~ ~ з!и Г точка ( = со является в С единственной особой точкой, а именно, существенно особой точкой, Следовательно, особые точки функции у определяются равенством соз —, = О. Таким образом, функция 7" имеет бесконечное множество существенно особых точек 2 (»„= „„'„; и Е У.). Точка» = Π— предельная для указанного множества.
Далее, 1цп 7(») = пи 1, поэтому» = оз — устранимая особая точка функции г. м 30. Пусть» = а является изолированной особой точкой функции 1' и йги(» — а)7(») = О. Доказать, что: 1) / ~(») г(» = О, где Г = (7, т,р) — произвольный замкнутый положительно ориентированг ный жорданов путь, лежащий в проколотой окрестности точки а (г, „= (» Е С ~ О < 1» — а~ < )2) . 2) ~(») = — / — г((, » Е (» Е С / О < !» — а~ < и < Я), Г„= (7, 7„'~), 7„= (» 6 С: 1 Г ~(Г) 2я» / г. 1» — а! = и). м точка а — устранимая особая точка функции г.
поэтому 1) следует из теоремы коши, а 2) — из формулы Коши. в. 31. Доказать, что когда ( является аналитической функцией в окрестности точки а Кл —— (» Е С: !» — а) < 22) и не принимает в этой окрестности значений, находящихся в круге Л; = (гс Е С: ~га — ю,~ < и), то точка» = а либо устранимая особая точка, либо пояюс. ° е Справедливость утверждения следует из теоремы Сохоцкого.
м 31. Доказать, что функции» с)г» и» з)г» в окрестности бесконечности принимают все значения из С. и Пусть А Е С. Решим уравнение с!з» = А: е* = А+ тГ»А» — 1 Ф О, » = !.и (А+ ЗугА» — !) . Пусть»„= !и~А + ъА» — 1 ~ +» (ага(А + ьгА» — !) + 2ох), и Е Е. Имеем йщ»„= со, сЬ»„= А. и 33. Определить характер особой точки» = 1 следующих функций: »» — 3»+ 2»' — 3»+ 2 а) б) в) (» — 1)е*-'. »» — 5»+4' »» — 2»+ 1' 2 з+» М а) Поскольку 1пп у=2*-+ — = йщ — , 'з = -,', то» = 1 — устранимая особая точка для данной функции.
б) В достаточно малой проколотой окрестности (ге,, точки» = 1 »з — 3» + 2 (» — 1)(» — 2)» — 2 »' — 2»+ 1 (» — 1)»» — 1' поэтому» = 1 — пРостой поляк заданной функции. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные осабме точки 228 в) Разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности точки « = 1 имеет вид ! (« — 1)е *-! = (. — !) 7 а!(« — !)" =Е ! ! ! =14-« — 1+ а!(« — 1)" 4 2!(« — 1) а!(« — !) =4 Главная часть ряда Лорана содерхсит бесконечное мнохсество членов, поэтому « = 1 — суше! ственно особая точка функции «4 (« — 1)е*-' .
В. 34. Определить характер точки « = со для следующих функций: + 4 1, 2 -2* 2 2 а); б)«соз —; в) «е 24+ 2 м Полагая « = —, получим: 2 С' «2+2 (~(1-1-2( ) 4 1 соа( «соз — = «!е+ 2 1+ 2('!е ' « ~4 а) Точка (' = О является нулем восьмого порядка функции (; -мй, следовательно, точка « = со — нуль восьмого порядка заданной функции. 6) Точка Г = Π— полюс четвертого порядка функции б 4-4 — 4, поэтому точка « = со является полюсом четвертого порядка для данной функции.
в) Разлагая заданную функцию в степенной ряд, получим 42 «'е * = ~~4 (-2)" =е Таким образом, « = оо — существенно особая точка функпин «4 «'е . ь 35. Пусть степенной ряд ~ ~' а„«" имеет своим кругом сходимости единичный круг, и на окружности т = («Е С: («( = 1) его сумма у не имеет никаких других особенностей, кроме полюсов первого порядка. Доказать, что последовательность (а„) ограничена. М Так как сумма / ряда имеет на окружности .! своими особенностями лишь простые полюсы, то этих полюсов может быть лишь конечное число, поскольку в противном случае у имела бы на границе круга сходимости и неизолированную особую точку.
Обозначим этн полюсы через «,, (у = 1, п«) и рассмотрим функцию Тогда 2 1) «3 »4;(4 '-'.„' .4.)4» 4.4» =4 2=! а„«" =е Отсюда получаем 4ун > О: )а ) < ) (с«1+(Ь„) ~ (М = сова!. 1ь 2=2 а„= (-1)" — „, +Ь„, С« « р() = 7( )-~' 2=! где;-~ — — главная часть ряда Лорана функции 7 в окрестности точки «„(у = 1, т). Каждая точка «, является для функции )2 правильной, вследствие чего (е аналитическая как внутри круга К = («б С: )«( < 1), так и на окружности у, т.е.
в некотором круге Кл, В > 1. Поэтому справедливо представление т(«) = ~~2 2 + ~~4 Ь„«", где 1нп 224(Ь„! < 1. =е 2ЗО Гл. 5. Ряды авалвтнчесвих функций. Изолированные особые точки 12. Доказать, что если функция у(«) = ~ , 'а «" является аналитической в круге К = (« б С: =о !4 < 1) и непрерывна на окружности у = («б С: )«! = 1), то рял ',) /а„!~ сходится. 13. Пусть а Ф О. Найти области схсдимости следующих рядов Лорана: а) 2 а «"=~,а«"+~,'а "« "; б)~,а "«"=~ а "«"+~ а "« "; в) ') а !м«" =~ а "«" +~ а-"«-". 14.
Найти разложения в ряды Лорана в соответствующих областях по степеням « — «е следующих функций: а)« — *, «»=1; б)« -соз-г+ — *, «»=О в)« —,-' — «»=О 15. Разложить в ряды Лорана в указанных областях следующие функции: а) «! -,,!»!т;у — и при 1< ~«( <2; б) «!-»,—,! От! — г — !при ф > 2; в) «с!8«приО< ~4 <»г; г) «! с«8 «при х < )«) < 2»г. 16. Показать, что при всех «: О < !4 < со » ! а) сЬ («+ —,') = а» + ~ а„(«" + — '„), где а„= — ' 1» сЦ2 со« В) соз пВ г(В; » 2 б) е «*' = ~ а„«", где а„= — ',„( соз(сйиВ(1 — со«В) — пВ)е'~~~~' юВВ. о 17.
Показать, что область сходнмости ряда ~ — „,', „состоит нз внутренности и внешности единичной окружности, и что в каждой нз этих частей ряд представляет одну функцию. 18. Определить характер точки « = О для следующих функций: ! »» * 3 «» 2* а) е *; б) — ' — т', в) (е* — 1 — «)сгй «; г) в!з-г — г, д) е '-*. »»-.» — * »0!*-!!--* 2 19.
Определить характер точки « = со для следующих функций: ,а „! »,, »2 а) — *,; б) соз« вЂ” ип«; в) -т; —, г) -т' — -»!. 20. Найти особые точки следующих функций; 21. Пусть сумма 1 степенного ряда ~ , 'а„«" имеет на границе круга сходнмости только одну особую точку «» — простой полюс. Показать, что в этом случае ча- — «» и, следовательно, !" — ~ -! Я, где Я вЂ” радиус сходимости ряда.
22. Доказать, по когда точка « = а является существенно особой точкой функции 1, то она остается существенно особой точкой и для функции «Р(1(«)), где Р(гз) — многочлен (Р(ы) ~ сопя!). 23. Доказать,что функциональное уравнение У(«) = ((й«), « Ф 1, не имеет решений, аналитических в точке « = О и отличных от тожлественной постоянной. 24. Пуси радиусы сходимости рядов ~,'а„«" и 2 Кеа»«" равны единице и Кеа» > О 'чл б Е». Доказать, что точка « = 1 является особой для сумм этих рядов.
25. Пуси функция 1 — аналитическая в области г» за исключением конечного числа полюсов и А б С. Доказать, что функция «» 7Яз)2 (логарифмическая производная функции У вЂ” А) имеет простые полюсы во всех полюсах функции у и во всех А-точках этой же функции н не имеет никаких других особых точек. Глава б Аналитическое продолжение Анализ ическое продолжение является одним из основных и важных понятий комплексного анализа. Оно позволяет лучше понять природу функций комплексного переменного и наиболее естественно определить многозначные анкштические функции.
Выясним, какие данные являются достаточными для определения аналитической фргкции во всей области ее существования, и как по этим данным можно построить аналитические выражения, определяющие функцию в этой области. В случае целой рациональной функции степени и достаточно знать ее значения в и+1 точках, чтобы определить ее на всей плоскости. Дги определения дробно-линейной функции, являющийся отношением двух целых много- членов степени ш и и, достаточно задать пг+ и Ч- 1 ее значений. Но уже в случае целой трасценцентной функции недостаточно задать ее значения даже на бесконечном множестве дискретных точек. Например, условие Г(з) = О при з = йл ()е Е Х) может относиться к функциям г(з) = О, г(з) = йпз, г(з) = Аз(па, А = сопзг, В случае целой трансценденпюй функции достаточным является, например, задание значений функции и ее производных всех порядков в любой точке з,, поскольку по этим данным можно построить степенной ряд Е~"(" ' „", сходящийся во всех точках плоскости и, таким образом, опрелеляюший в ней функцию 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
