А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 66
Текст из файла (страница 66)
2.2. Итак, согласно формуле (2),п. 2.2, имеем 2 У(х) = Л(х) + Е 28. Локазать равенство 1 1 ~-~ (-!)"2х — + с ~ хг изхгг х за их (и Е Е) 4 Функция г м „вЂ” „' имеет простые полюсы в точках Ь„= их (и Е Х), (-1)" У.( )= х — ил 1 2 2 1 2У ~ !Япх) Г (+1) з е( +1) г еа+е а сйр 2) х = а х ! ги+ — х 2 ! 1 2 2 1 1 ( — ( — ( 1. !а!и4 -( +1) . ( +1) ( +-) -( .$.-) аЬ (из+ -) зг а!г Т В качестве Т возьмем границу квадрата с вершинами в точках (ги -ь -!) х(~1 ~ 1). Оценим ! —: 1) на сторонах квадрата, параллельных мнимой оси; 2) на сторонах квадрата, параллельных дейстангельной оси.
Имеем 264 Гл. 7. Вычеты н нх применения Таким образом, оценка (7), п.2.3., выполняется при р = О, Р„(2) = А~ = гез —,,'„. Отсюда Ре(х) =- О, Р„(2) = — „' . По формуле (9), п.2.3, находим: 1 1 ~-~г ( ( — 1)" 1 1 1 ~- (-1)" 22 зги з х ~-~ 1 2 — пл пл 7 2 ~-~ х' — а'л' »=! 29. Доказать справедливость разложения М Заменив в (12), п. 2.3, з на !а и сократив на — 1, получим: Отсюда следует, что 2 2 2 х 2 2 ч-~ 22 = — — + — с!)2 — = — — + 1+ 7 е' — 1 2 2 2 2 аз+ 4пгггз 30.
Найти разложение мероморфной Функции 2 ! У(2) = л с!акт без использования формулы (12), и. 2.3 М Рассмотрим рял Фурье функции х ! 12(Х) = Савах, -гг < х < л. Имеем пЕХе. Поэтому япаа- 2аяпал ч — ~ „сохах совах = + ,7 ( !)" ал 2 Прн х = л получаем: сохах 1 ч 1 лсГаал = гг — = — +2а у ып агг а аз — пг ' Если продолжить аналитически это соотношение с действительной оси в комплексную плоскость, то получим решение задачи в внле $ '= — +,7 2 9 3.
Бесконечные произведения Изучение функций в комплексной плоскости позволяет установить не только новые, иногда неожиланные их свойства (например, связь между показательной и тригонометрическими функциями), но и выделить отдельные классы функций. Целесообразность вьшеления таких классов должна быль подтверждена их значением лля развития самой теории функций и ее применений. аь соз ах = — + ~ а„соз пх, 2 =! х з 222 е* — 1 2 ~-~ з' + 4п'л' 1 ~-! 2» сгЛ. = -+ ~ х ~ х2 ! п2222' Г „2а япал где а„= — / созахсозпхг(х =(-1)" —— л л а2 п2' 265 б 3.
Бесконечные пропзведенпя 3.1. Числовые бескоиечиые произведения Предполагается, что читатель знаком с понятием бесконечного произведения действительных чисел и некоторыми результатами состветствуюшей теории. Пусть (з„) — произвольная последовательность комплексных чисел. Определение 1. Бесконечное произведение П(1 +.„) (1) называется сходящимся, если последовательность (Р„) частичных произведений, гдг '- =П( +") »=! сходится к конечному и отличному ат нуля предельному эиачеиию Р: Р„-! Р, О < )Р~ < со, которое иаэываетгл значением бескаигчиага произведения (1) и обозначается через П(1+ х„). Если среди множителей (1 + з„) есть конечное число равных нулю, то бесконечное произведение называется сходяшимся или расходяшимся в зависимости от того, каким является бесконечное произведение, полученное из данного пугем извлечения из него нулевых множителей.
В случае, когда среди множителей (1+ з„) есть бесконечное множество нулевых, бесконечное произведение называется расходяшимся. В соответствии с данными определениями исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости бесконечного произведения, все сомножители которого отличны от нуля. Очевидно, для сходимости бесконечного произведения (1) необходимо, чтобы 1!ш э„= О. Действительно, 1пп (! + з„) = 1пп р~" — — р — — 1, следовательно, з„-! О. Хеарема 1 (о рави осходимости бесконечного произведения и числового ряда).
Бесконечное лроизввдгиие П(1+ э„) и рлд 2 1п(1+ х„), — т < !ш 1п(1 Е з„) < л, одновременно стдятсл или расходятся. щ Пусть бесконечное произведение П(1+ э„) сходится. Тогда 1пп Р„= Р, Р ~ О, Р т» со, гле Р„ = 2 (1 + х»), Р = ге'т. Если Р„ = г е'в", -и < (а„ ( к, 1 + э» = р»е'и", и < В» ( к, »=! то р„ )э, В» О при з» вЂ” О, Обозначим Я„ = ',Э" !п(1 + э„) Тогда »=! Я„= !пР„+ 2т„хг, (2) где т„— целое число. Очевидно, 2т„!г = В, + В, + ...
+ „— (в„и, таким образом, 2л(т„ю — т„) = В„ю — ()з„»! — р„). Поскольку В„», О, (и„»! — р„-! О, то !2к(т„»! — т„)) < 2!г при достаточно большом и. Поэтому т„, = т„= т для указанных и и Б„= !п Р„+ 2тх!. Сяедовательно, ! цп Б„= '5 1п(1+ э„) = 1п Р + 2тх!', =! т.е. рял 2 !п(1+ э„) сходится.
Пусть 2 )п(1 + з„) = Я. Из равенства (2) получаем е " = Р„, откуда !нп Р„т ехр ~ Вт Б„) = е = Р, т. е бесконечное произведение П(1+ з„) слезится. Если бесконечное произведение П(1+ х„) расходится, то и рял 2 !п(1+ х„) расходится. Допустив, что этот ряд сходится, получили бы противоречие с доказанным выше.
Аналогично, из расхолимссти Ря!т,> !п(1+ в„) слелует расходимость бесконечного произведения П(1+ э ). ~ 266 Гл. 7. Вычеты и их иримеиеиия Определение 2. Бесконечное произведение (1) называется абсолютно сходящимся, если бесконечное произведение (3) сходится. Бесконечное произведение (!) и ряд 2 з„одновременно абсолютно сходятся или расходятся. Действительно, из оценки 1+ 1з;1 < е!' ! следуют неравенства, выполняющиеся !гп е йй 1з!1+ 1сз1+ ., + 1з„1< (1+1з,1)(!+ 1з,1) ... (1+1з„1) < е!'!!+~*О+"'~'"~. (4) Частичные произведения П (1+ 1з„1) и частичные суммы 2 , '1зй1 соответствующих бесконечного й=! й=! произвеления и числового ряда образуют монотонно возрастающие последовательности, которые, согласно неравенствам (4), одновременно ограничены сверху или неограничены.
Теорема 2. Абсолютно сходящееся бесконечное произведение сладится. т Пусть бесконечное произведение (3) сходится, Є— его и-частичное произведение, Р„- Р. Для частичных произведений бесконечного произведения (1) имеем 1Р.-Р.,1= 1Р. !11з.1 =114зй111+зз1... 11+я. !11з.1< (1+1з!1) ... (1+1з. !1) 1з.1 = Р.-Р„„ так как Р„= П(!+1,1), Р„- Р„, = (1+ 1.,1) ... (!+1 „,1)1.„1, > 2. й=! Поскольку Р„- Р, то рял ~ '(Є— Р„, ) (и > 2) сходится и, согласно теореме сравнения рядов, булет сходящимся ряд 2 ,'(Є— Р„,) (и > 2). Это означает, что ЄЄР, Ф оо. Осталось доказать, что Рв ~ О.
Согласно теореме 1, ряд 2 1л„1 сходится. Поскольку начиная с некоторого номера модули 11 -ь з„1 ограничены снизу, то ряд 2 , ') !*.л — ! сходится. Поэтому, по теореме 1, бесконечное произведение П (1 -ь ) —,'". 1) сходится, а вместе с ним и бесконечное произведение П о, где l о„= П ~1 — Д-) (чтобы убедится в этом, полагаем выше Р„' = о„, Р„' = П (1+ ~.Д-~) ), й=! й=! Таким образом, существует 1!ш !)„= !2в Ф О. Так как !2„= р', то Р„Р, ~ О. М Значение абсолютно сходящегося бесконечного произведения не зависит от порядка сомножителей. Действительно, в этом случае сходится ряд 2,'1з„1 (по теореме 1). Пусть е = ! .
Тогда существует такое и, Е )4, что тп > и, 1з„1 < —,' (т.к. 1л„1 О в силу необходимого условия сходимости ряда) . Для указанных и получаем оценку з„~й" 2 3 ''') ~ 2 3 1 1 1 1 1 1 «<1 + — — -)- — — +... < 1-)- — + — + ... = 2, 2 2 4 3 2 2! из которой следует, что чя > и, 1!п(1+я„)1 < 21з„1. Следовательно, ряд 2 )п(1+ я„) абсолютно сходится.
Теперь утверждение о независимости значения абсолютно сходящегося бесконечного произведения (!) является следствием равенства (см. теорему !), поскольку лля абсолютно сходящихся рядов выполняется свойспю коммутатив- ности. 267 $3. Бесковечнме произведения 3.2. Равномерно сходящиеся бесконечные произведения Пусть (/„) — последовательность функций /„: С С, и !Гп б 1ч Т)г„—— С, где б С С— некоторая область. Тогда 'Фг б С мо:кно рассматривать бесконечное произведение П(1+ /„(г)). В случае его сходимости оно называется поточечно сходяшимся в области С. При этом оно определяет в С некоторую функцию г Р(г). Если последовательность (Р„) частичных произведений Р = П(1+ /ь) равномерно сходится на любом компакте К С С к функции Р (Р„х Р), то ь=! бесконечное произведение П(1+ / ) называется равномерно сходящимся в области О.
Согласно теореме б, и.1.3, гл. 5, бесконечное произведение П(1+ /„) сходится равномерно в области С тогда и только тогда, когда гюследовательность (Р„) его частичных произведений равномерно фунламентальная в С Теорема (достаточные условия равномерной сходимости бесконечного произведения). Кля равномерной сходиткти бесконечного нроизведения П(1+ /„) достаточно существования такой числовой носледовательности (а„), чтобы винолнллись условия: 1) чп б М !!/„!! < а„ 2) бесконечное произведение П(1+ а„) сходится. и поскольку бесконечное произведение П(1+ а„) сходится„то последовательность (Р„) его частичных произведений Р„= П(1 л- ак) фундаментальная: ь=! ч оь,чн:!! - .,рчь! р„-к=П!'+"( П!'+"!» ь=! ь= +! Оценим '! ! ! .>р Пе+ь -П!»!!!,= П!.!( П !»- ) к=! ь=! ! ь=! ь= +! лля и > и, и всех р б )ч(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
