А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 68
Текст из файла (страница 68)
И 35. Доказать, что бесконечное произведение П (1 — — 11 е абсолютно сходится прн с+ и) всех з, если только с не является отрицательным целым числом. М Пусть г б С вЂ” фиксированное. При больших и получаем асимптотическую формулу — — — )и - -(~- )(~ — ' ° о( —,)) = = — — — +о —, = +о Если с не является отрицательным целым числом, то ряд (! — (1 — — ) е ) абсолютно сходится, поскольку сходится рял (,.'".',."М Согласно теореме 1, и. 3.1, данное бесконечное произведение абсолютно сходится, если с Ф вЂ” и, пбМ. > 36. Пусть (л„) — последовательность комплексных чисел, удовлетворяюшая условиям: а) )Гп б г( 0 < !л„( < 1 и 1з„~ < (з„ы П б) ряд сходится. Доказать, что бесконечное произведение (2) сходится в круге К = (х б С: ф < !) и представляет в этом круге аналитическую функцию Р, обрашаюшуюся в нуль лишь в точках зь еп ... и удовлетворяюшую неравенству 1Р(з)( < 1.
М Рассмотрим в круге К1„! = (з б С: !з! < )зь|) функцию з„— з -П вЂ”" (3) ! — зз„ =ь Все сомножителн в (3) отличны от нуля. Из оценки 1(з„— з)д„1 — )з.!т 2(1- 1я.И 1 — ля„)! — ау„) 1 — )за ~ н схолимости ряда (1) делаем вывод о том, что бесконечное произведение (3) равномерно сходится к функции, аналитической в круге К1,„! и отличной от нуля в этом круге, а бесконечное б 3. Бесконечные проюведеиия 273 произведение (2) является функцией Р, аналитической в круге К), 1, обращающейся в нуль лишь в точках г„зг, ..., г„,. Так как 1цп г„= 1 (это следует из сходимости ряда (1)), то Р является Функцией, аналитической круге К = (г Е С: !г! < 1), обрашаюшейся в нуль лишь в точках г„гг,....
Оценим модуль произвольного сомножителя бесконечного произведения (2) прн !4 < 1; ! — г„< 1У„) < 1. 1 — гг„ Следовательно, |Р(г)1 < 1 т'г Е К. И 37. Доказать равенство г г +ь, гг (а — 6) з \ е ' — е * = (а — Ь)ге г *П ~1+ 4пгя' ) ' м Воспользуемся формулой разложения синуса в бесконечное произведение (см, п. 3.4). получим после некоторых преобразований; е* — е*=е г *(е г * — е г 'гг=2е г "ьй — з= — 2(е г *пп 2 2 ьь, г(а — Ь) ' (а — Ь) г ' .ьь, г (о — Ь) г " / г г, I г г; — * — гП~ !+ 4ягпг ) ) = (а — 6)хе г * П ~ 1+ 4пг,г =ь =г 1 1 1 38.
Пусть аг ь — — —, аг„= — — + —. Доказать, что бесконечное произведение П(1+а„) сходится, а ряды ~~ь а„и р а„расходятся. г М Если о,„, = 0 (+), аг„= 0 (~), а,„, = 0 (-'), о,'„= О ( г ) при и со, то а„= 0 (+), о„' = О ( г ) при и ог и ряды 2 , 'а„, 2, а~ расходятся по признаку сравнения с гармоническим рядом. Необходимое условие сходнмосги бесконечного произведения П(1+ а„) выполнено. Оно сходится тогда и только тогда, когда сходится П(1 4 а,„, К1 4 от ).
Поскольку 1 (1+ а,„,)(1+ аг.) =— и,/й и ряд 2 —,-'~ сходится, то вместе с ним сходится и данное бесконечное произведение, м 39. Найти поршюк функции г у(г) = сохах', где а Е С. м Поскольку ~г«ь 1!г+ М(г) = шах !сохах~) = гпах аыгь" < = = ей!а!г '-~ (2п)! с-~ (2п)! 2 ь =ь ,. ьщл г и в точке гь = ььг!ге ' г у(гь) = сй !а(г, то е!'*!" + е ! !" М(г) = 2 Поэтому, применив формулу (4), п.3.5, получим: 1 !гь-г !г д= Ппг и и г 1п((д)г~ + !и(! + е-'! !" ) — 1п 2) = Ппг — 2. > )цг 0 Ьзг Гл. 7. Вычеты и ах ирвмеиеиия 5 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов 4.1. Примевевие вычетов дла вычвслевва определевиых ввтегралов.
Основная теорема о вычетах (см. теорему 1, п. 1.3) позволяет свести вычисление интеграла по замкнутой кривой к вычислению суммы вычетов подыитегральной функции относительно ее особых точек, охватываемых кривой. Иногда с помощью этого же метода удается вычислять ии- тегралы по незамкнутым кривым и, в частности, некоторые определенные интегралы от функций действительной переменной. При этом специальными преобразованиями вычисление таких ии- тегралов сводится к вычислению интегралов по замкнутым кривым, к которым мокло применять теорему Коши о вычетах. 1) Пусть (х, у) й В(х, я) — рапиоиальиая фуикцяя от я и у, ие имеющая особых точек на окружности у = ((з, у) Е Ж: з Е р' = 1) . Тогда справедлива формула з =Г.([- ) ! /! /з — — ь+-'й В(ь(пг, соьь) г(1 = 2я ~ геь 1 -Л ~ — ', — *~ (1) й1ь 1, 2ь ' 2,/ о йы где (ьй! ь = 1, и) — полюсы функции размещенные в едииичиом круге К = [з Е С: [з[ < ! ).
1)дя получении формулы (1) следует в иитеграле перейти к комплексному переменному ии- тегрироваиия з = е". Тогда ( . )., (з — — з+ -й йь 1 22(ыпь, соьг) Й = )à —, ~ Г = (717 ь) й, 2ь ' 2,~ ьь' ь г Осталось применить теорему Коши о вычетах, в результате чего получим формулу (1). 2) Пусть функция у аналитическая в верхней полуплоскости, включая и действительную ось, за исключением конечного миожеспи точек (ьй) й = 1, и), лежащих в верхней полуплоскости (1т зй > О т» = 1, и). Пусть, далее "у„= (ь Е С: з = 22е, О < С < 1г), М(Я) = гпах [((ь)[, 22 > птах [ьй[ о<ай< и !пп 22М(В) = О. яТогда справедлива формула (2) У(я) яя = 2я(~ геь ((ь).
йы (3) ° Пусть 7 = [-22, зь[ ы 7», Г = (7, 'ум) = (Гп Г») г!сложительио ориентированная кусочио-гладкая замкйутая кривая (рис. 85). Согласно основной теореме о вычетах выполияется равенство г .ьь я )"=1 (.)" +1 '"= -Ы ' г -я г йы » Перейдем в этом равенстве к пределу прв  — +ос, привяв во внимание соотиошеиие (2). Получим формулу (3).
И в 4. Г)рвмеиение вмчетов для вычленения интегралов и сумм рядов 275 1нп ~$(г)от~* дг = О, Гл м ("1„, У,о) йгп Т(з)е'"' дз = О, Г = (Ун„, 7~ ) . (5) н т !и м,/ г„ тя м Оценим интеграл в левой части формулы (5), используя известное равенство з!п1 > —, й выполняющееся ч( Е (О, з ) . Имеем гл = 22(М(К) ~е '"'д(< 2ЛМ(Н>~е «и = г() — е ") . Л о о Из условия (4) и полученной оценки следует справедливость соотношения (5).
р Замечание 1. Анализируя доказательство леммы Жорлана, убеждаемся о том, что условие аналитичности фуикпии 1 не является существенным. Замечание 2. Лемма Жорлана, доказанная лля верхней полуплоскости, может быть сформулирована н доказана без всяких затруднений и дол других лолуплоскостей. Считая во всех случаях Л > О, а полуокружность чн лежащей в соответствующей полуплоскости, запишем формулу (5) для случаев: а)Я =(гЕС:1шз<0), )нп У(г)е '"*да=О; (6) н д гл б)Яп=(зЕС:Кег>0), йп У(г)е "'де=О; г„ в) Ял — — (* Е С: Кег <О), йш 1 У(г)е~*дг = О. (8) н- г гл Если функция 1 удовлетворяет условиям леммы Жордана и имеет в полуплоскости Яп конечное множество особых точек (аь! й = 1, и), 1тп аь > О, то, повторяя рассуждения, проведенные в 2), получим ЧЛ > 0 формулу +с Т(х)ег дх = 2ят ~~~ геь (Т(х)ег"') .
ь ьт Отсюда +Х ле. 1.ь=г (~ г;- (гьь-')). ь ьт (10) 3) Лемма (Жордана). Пусть функция У аналитическая в верхней нолуляоскости Я~ ш (г Е С:!гп г > О) за исключением конечного мнолсества изолированных особых точек и 1!тп М(Н) = О. (4) и (ияи 1нп М(В ) = О, где (В„) — такая лосоедовательность чисел, что лооуокрухсности ун„с н„ центром в начале координат не содерхсат особых точек функции У).
Тогда оЛ > 0 выполняется предельное соотношение Гл. 7. Вычеты и их применения 276 пы у!.... =.(..е.,(г!,.")) ь ь=! Пример. аа(пЛе тесы 2я!. ге " — вх = (гл 2я! гез =1гп = ге 1+ хз, 1+ зз 2! 4) Пусть функция 7' удовлетворяет условиям 2) и, сверх того, имеет конечное множество простых полюсов (Ь,; 7' = 1, и!) на действительной оси, т.е. !пзЬ; = О. Тогда справедлива формула 1 г! )! - ь!(2 ' г! ! — 2 У(*)), 2 ь, з=! (12) где интеграл вычисляется в смысле главного значения относительно всех точек Ь, и со. м Рассмотрим замкнутую жорданову кривую 7„„= (-)2, )2) ( („) (Ь, — ° « * Ь, -Ь ) ( ) 7, ( ) „, з=! з=! где уз„— верхняя полуокружность радиуса г с центром в точке Ь, и г достаточно малое, у веРхнЯЯ полУокРУжность с центРом в начале кооРдинат и Гь достаточно большое, а кРиваЯ ул охватывает все особые точки аь (Ь = 1, п). Рассмотрим кусочно-гладкую положительно ориен- тированную замкнутую кривую Г„„= (Г„Г,„, Г„..., Г,„„Г ч„Г„), состоящую иэ упорядо- ченного набора ориентированных глалкнх кривых (рис.
86). Применив теорему Коши о вычетах, имеем +! У(е)!(е = ~~~ / у(е)!(з+ ~~! / Г(а)!(е+ / у(е)!(з = 2яз~~ геа,((г). чь г у=! г у=! г ь=! а ! г. Я Э Гл. 7. Вычеты и их применения вследствие чего имеем х~ 'Г(х)!(х = -е1~ '!! ' / х '3(х)г(х = 2яй~~! гезз" 'у(з). й й о й=! Таким образом, интеграл ~ х 'Т(х)!(х существует и о 1- х у(х)г(х = . ~' геях у(з). 1 — е'!" о й=! (15) Пример. Вычислить Т = 3' -! †* . Здесь р = О, д = 2, а = -', и условие р < а < е !/Ы(*!.!.4) ' о выполняется. Согласно формуле (15) имеем х ( ) л(е 6 — е !) з(е й — е 6) .4 ! — е ! 4.2.
Применение вычетов и вычислению сумм рядов. Пусть У вЂ” мероморфная функция, имеющая конечное множество полюсов (а„; л = 1, и), среди которых нет целых чисел. Пусть, далее, (т ) — последовательносп замкнутых жордановых кривых, окружающих начало координат и не проходящих через целые точки з = и, а также через полюсы функции у и таких, что г -+ со при ш -+ оо, где г — расстояние от начала координат до кривой т . Тогда, если 1!ш / У(з)сздза!(з = О, Г = (у, т~), г„, ( у(з)г(з (пп =О, ,! яп хз г, и соответствующие ряды сходятся, то справедливы соответственно следующие равенства: 1(п) = — л )' гезу(х)сгб7Гз (3) «й й=! (-1)" У(п) = -зг ) гез— 3(х) зю !гз =! й=! (4) и Докажем справедливость формулы (3).
Для простоты считаем, по кривая у симметричная относительно мнимой оси. Выберем гп настолько большим, пабы все полюсы ай (й = 1, и) охватывались кривой Т, н обозначим через 2Р количество целых точек, охватьшаемых этой кривой. Тогда, согласно теореме о вычетах, имеем и Р— у(х) стб аз !(з = ~~! газ я у(х) с1д лх+ ~~! газ я) (х) сгд ха = ~~! газ х)(х) сгдиз+ ~~!,у(3). 2!и / й !' й й=! у=-л. й ! !=- Р г Перейдя в этом равенстве к пределу лри ш — оо и приняв во внимание соотношение (1), получим формулу (3). 5 4.
Применение вмчетаа дла вычислеииа интегралов и сумм рядов 279 Формулу (4) получим аналогично с помощью соотношения (2), приняв во внимание, что гез ~~ = (-1)г Щ). Условия (1) н (2) выполняютсл, если 1(г) = 0(г~) при г — со, а у г .[г Е С г [г[ = гп+ -'), так как в этом случае Чг Е 7 1+с 1 [сгйлг[ <, [г!плг[ < —. 1 — е 5!г ПРимеР. Найти сУммУ Рвла 2; — '-т, и Е Ж Имеем 7(г) = --ьмт, г = -- — полюс втоРого поРЯдка фУнкции 1, ! г 4 (легаль [гч ь) ) л и лг — йп = — 1пп — — с!ало = а дг ) (а+ьг)г /, а ьз дг ьгг'пз гв ь / * ь Е 1 лс(алг = — мо (а+пЬ)з а (а+Ьг)г ь Рассмотрим задачи.
40. Доказать равенство 2л если а>О, ъ'аг -Ь Ьг 2л — если а < О. »газ+ ЬУ 2 а — оЬС051 о 41. Вычислить интеграл соз пох 1= Дх, а О)й, [а[ уо 1, пь Е [ь( 7 1 — 2асозх+а м поскольку функцил х ь х(х) = —,-в"— -"--т, Р,, = [-ог, л[, нечетнаа, то ) у(х) ~хх = О, в силу чего е' 'ах 1= 1 — 2асгмх+ а' ° Ф В соответствии с формулой (!), п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
